微积分函数课件.ppt

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1、关于微积分函数第1页，此课件共40页哦第2页，此课件共40页哦悖论定义悖论定义l l“悖悖论论”这这个个词词的的意意义义比比较较丰丰富富，它它包包括括一一切切与与人人们们直直觉觉和和日日常常经经验验相相矛矛盾盾的的数数学学结结论论。那那些些结结论论会会使使我我们们惊惊讶讶无比。无比。l悖论主要有三种形式：悖论主要有三种形式：悖论主要有三种形式：悖论主要有三种形式：1、一一一一种种种种论论论论断断断断看看看看起起起起来来来来好好好好象象象象肯肯肯肯定定定定错错错错了了了了，实实实实际际际际上上上上却却却却是是是是对对对对的的的的（佯佯佯佯谬）；谬）；谬）；谬）；2 2、一一种种论论断断看看起起来

2、来好好象象肯肯定定对对了了，实实际际却却错错了了（似似是而非）；是而非）；3 3、一一系系列列理理论论看看起起来来好好象象无无懈懈可可击击，却却导导致致逻逻辑辑上上自相矛盾。自相矛盾。第3页，此课件共40页哦各种各样的悖论各种各样的悖论l l说谎者悖论说谎者悖论说谎者悖论说谎者悖论l l我我我我们们们们陷陷陷陷入入入入了了了了著著著著名名名名的的的的说说说说谎谎谎谎者者者者悖悖悖悖论论论论之之之之中中中中。下下下下面面面面是是是是它它它它的的的的最最最最简简简简单单单单的的的的形式。形式。形式。形式。这句话是错的这句话是错的l上面这个句子对吗上面这个句子对吗?l如果是对的，这句话就是错的！如果

3、是对的，这句话就是错的！l如果这句话是错的，那这个句子就对了！如果这句话是错的，那这个句子就对了！l像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。第4页，此课件共40页哦理发师悖论理发师悖论l l著名的理发师悖论是伯特纳德著名的理发师悖论是伯特纳德著名的理发师悖论是伯特纳德著名的理发师悖论是伯特纳德罗素提出的。罗素提出的。l一个理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着：告示告示:城城里里所所有有不不自自己己刮刮脸脸的的男男人人都都由由我我给给他他们们刮刮脸脸，我我也也只给这些人刮脸。只给这些人刮脸。l谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？谁给这

4、位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？l如如果果他他自自己己刮刮脸脸，那那他他就就属属于于自自己己刮刮脸脸的的那那类类人人。但但是是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。第5页，此课件共40页哦理发师悖论理发师悖论l l如如如如果果果果另另另另外外外外一一一一个个个个人人人人来来来来给给给给他他他他刮刮刮刮脸脸脸脸，那那那那他他他他就就就就是是是是不不不不自自自自己己己己刮刮刮刮脸脸脸脸的的的的人人人人。但但但但是是是是，他他他他的的的的招招招招牌牌牌牌说说说说他他他他要要要要给给给给所所所所有有有有这这这这类类类类人人人人刮刮刮

5、刮脸脸脸脸。因因因因此此此此其其其其他他他他任任任任何何何何人人人人也也也也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！l l伯伯伯伯特特特特纳纳纳纳德德德德 罗罗罗罗素素素素提提提提出出出出这这这这个个个个悖悖悖悖论论论论，为为为为的的的的是是是是把把把把他他他他发发发发现现现现的的的的关关关关于于于于集集集集合合合合的的的的一一一一个个个个著著著著名名名名悖悖悖悖论论论论用用用用故故故故事事事事通通通通俗俗俗俗地地地地表表表表述

6、述述述出出出出来来来来。某某某某些些些些集集集集合合合合看看看看起起起起来来来来是是是是它它它它自自自自己己己己的的的的元元元元素素素素。例例例例如如如如，所所所所有有有有不不不不是是是是苹苹苹苹果果果果的的的的东东东东西西西西的的的的集集集集合合合合、它它它它本本本本身身身身就就就就不不不不是是是是苹苹苹苹果果果果，所所所所以以以以它它它它必必必必然然然然是是是是此此此此集集集集合合合合自自自自身身身身的的的的元元元元素素素素。现现现现在在在在来来来来考考考考虑虑虑虑一一一一个个个个由由由由一一一一切切切切不不不不是是是是它它它它本本本本身身身身的的的的元元元元案案案案的的的的集集集集合合合

7、合组组组组成成成成的的的的集集集集合合合合。这这这这个个个个集集集集合合合合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。第6页，此课件共40页哦l l帕帕帕帕特特特特先先先先生生生生沿沿沿沿着着着着一一一一条条条条小小小小路路路路向向向向山山山山顶顶顶顶进进进进发发发发。他他他他早早早早晨晨晨晨七七七七点点点点动动动动身身身身，当当当当晚晚晚晚七七七七点点点点到到到到达达达达山山山山顶顶顶顶。他他他他在在在在山山山山顶顶顶顶做做做做了了了了一一一一

8、夜夜夜夜的的的的考考考考察察察察工工工工作作作作，第第第第二二二二天天天天早早早早晨晨晨晨七点沿同一条小路下山。七点沿同一条小路下山。七点沿同一条小路下山。七点沿同一条小路下山。l那那那那天天天天晚晚晚晚上上上上七七七七点点点点钟钟钟钟，他他他他到到到到达达达达山山山山脚脚脚脚。在在在在那那那那里里里里，他他他他遇遇遇遇到到到到了了了了他他他他的的的的拓拓拓拓扑学老师克莱因夫人。扑学老师克莱因夫人。扑学老师克莱因夫人。扑学老师克莱因夫人。l克克克克莱莱莱莱因因因因：帕帕特特！你你可可曾曾知知道道你你今今天天下下山山时时走走过过这这样样一一个个地地点点，你你通通过过这这点点的的时时刻刻恰恰好好与

9、与你你昨昨天天上上山山时时通通过过这这点点的的时时刻刻完完全全相相同同？帕帕帕帕特特特特：您您一一定定是是在在开开我我的的玩玩笑笑！这这绝绝对对不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。l尽管这样，克莱因夫人还是对的。尽管这样，克莱因夫人还是对的。不可逃遁的点不可逃遁的点第7页，此课件共40页哦l l的的排排列列无无规规则则，可可是是让让我我们们看看从从第第710154710154个个数数以以下下的数字是怎样排列的：一连串排有的数字是怎样排列的：一连串排有7 7个个个个3 3 3 3。l的的的的数数数数字字字字从从从从它它它它是是是是随随随

10、随机机机机产产产产生生生生的的的的这这这这一一一一点点点点来来来来讲讲讲讲，它它它它不不不不是是是是没没没没有有有有规规规规律律律律的的的的，可可可可是是是是从从从从它它它它的的的的数数数数字字字字排排排排列列列列规规规规律律律律是是是是“无无无无章章章章可可可可循循循循”这这一一点点来来讲讲，又又是是没没有有规规律律的的。数数学学家家对对的的小小数数位位不不断断增加作了很多试增加作了很多试 验，看是有什么验，看是有什么“规律性规律性”，可是毫无结果。可是毫无结果。的小数位的小数位 数字就像一个旋转圆盘可以数字就像一个旋转圆盘可以 旋到旋到旋到旋到0 0 0 0至至9 9任何一个数字那样任何一

11、个数字那样 毫无规律。毫无规律。圆周率圆周率中的数字结构中的数字结构第8页，此课件共40页哦时间机器时间机器l l布布布布朗朗朗朗教教教教授授授授刚刚刚刚刚刚刚刚返返返返回回回回到到到到了了了了3030年年前前，他他正正注注视视着着还还是是婴婴儿儿的的自己。自己。l l布布布布朗朗朗朗：假假假假定定定定我我我我把把把把这这这这婴婴婴婴儿儿儿儿杀杀杀杀死死死死，那那那那他他他他不不不不会会会会有有有有长长长长大大大大起起起起来来来来而而而而变变变变成成成成布朗教授！我会突然消失吗？布朗教授！我会突然消失吗？布朗教授！我会突然消失吗？布朗教授！我会突然消失吗？l l现现现现在在在在布布布布朗朗朗朗

12、教教教教授授授授又又又又跑跑跑跑到到到到未未未未来来来来30303030年年年年后后后后。他他他他正正正正在在在在他他他他实实实实验验验验室室室室外外外外的的的的橡橡橡橡树上刻他的名字。树上刻他的名字。树上刻他的名字。树上刻他的名字。l l教教教教授授授授又又又又回回回回到到到到离离离离去去去去的的的的那那那那个个个个时时时时间间间间。几几几几年年年年以以以以后后后后，他他他他决决决决定定定定砍砍砍砍掉掉掉掉他他他他那那那那颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。l布布朗朗：呣呣三三

13、年年前前，我我曾曾漫漫游游未未来来的的30303030年年后后，并并在在这这颗颗树树上上刻刻下下了了我我的的名名字字。27272727年年以以后后，当当我我到到了了我我过过去去曾曾经经到到过过的的地地方方时时，将将会会出出现现什什么么情情景景呢呢？什什么么树树也也没有了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢？没有了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢？第9页，此课件共40页哦神秘的悖论神秘的悖论l悖悖论论是是属属于于领领域域广广阔阔、定定义义严严格格的的数数学学分分支支的的一一个个组组成成部部分分，这这一一分分支支以以“趣趣味味数数学学”知知名名于于世世。这这就就是是说说它它带带有有强强烈烈的的游游

14、戏戏色色彩彩。然然而而，切切莫莫以以为为大大数数学学家家都都看看不不起起“趣味数学趣味数学”问题。问题。l欧欧拉拉就就就就是是是是通通通通过过过过对对对对bridge-crossingbridge-crossing之之谜谜的的分分析析打打下下了了拓拓扑扑学学的的基基础础。莱莱布布尼尼茨茨也也也也写写写写到到到到过过过过他他他他在在在在独独独独自自自自玩玩玩玩插插插插棍棍棍棍游游游游戏戏戏戏（一一一一种种种种在在在在小小小小方方方方格格格格中中中中插插插插小小小小木木木木条条条条的的的的游游游游戏戏戏戏）时时时时分分分分析析析析问问问问题题题题的的的的乐乐乐乐趣趣趣趣。希希尔尔伯伯特特证证明明了

15、了切切割割几几何何图图形形中中的的许许多多重重要要定定理理。冯冯冯冯 诺诺易易曼曼奠奠基基了了博博弈弈论论。最最受受大大众众欢欢迎迎的的计计算算机机游游戏戏生生生生命命命命是是是是英英英英国国国国著著著著名名名名数数数数学学学学家家家家康康威威发发发发明明明明的的的的。爱爱因因斯斯坦坦也也也也收收收收藏藏藏藏了了了了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。第10页，此课件共40页哦l什么是悖论？什么是悖论？什么是悖论？什么是悖论？l笼笼统统地地说说，是是指指这这样样的的推推理理过过程程：它它

16、看看上上去去是是合合理理的的，但结果却得出了矛盾。但结果却得出了矛盾。l悖悖论论在在很很多多情情况况下下表表现现为为能能得得出出不不符符合合排排中中律律的的矛矛盾盾命命题题：由由它它的的真真，可可以以推推出出它它为为假假；由由它它的的假假，则则可可以以推推出出它它为为真真。由由于于严严格格性性被被公公认认为为是是数数学学的的一一个个主主要要特特点点，因因此此如如果果数数学学中中出出现现悖悖论论会会造造成成对对数数学学可可靠靠性性的的怀怀疑疑。如如果果这这一一悖悖论论涉涉及及面面十十分分广广泛泛的的话话，这这种种冲冲击击波波会会更更为为强强烈烈，由由此此导导致致的的怀怀疑疑还还会会引引发发人人们

17、们认认识识上上的的普普遍遍危危机机感感。在在这这种种情情况况下下，悖悖论论往往往往会会直直接接导导致致“数数学学危危机机”的产生。的产生。的产生。的产生。l按按照照西西方方习习惯惯的的说说法法，在在数数学学发发展展史史上上迄迄今今为为止止出出现现了了三次这样的数学危机。三次这样的数学危机。神秘的悖论神秘的悖论第11页，此课件共40页哦希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机l l希希希希帕帕帕帕索索索索斯斯斯斯悖悖悖悖论论论论的的的的提提提提出出出出与与与与勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理的的的的发发发发现现现现密密密密切切切切相相相相关关关关。因因因因此此此此，我们从勾股定理

18、谈起。我们从勾股定理谈起。我们从勾股定理谈起。我们从勾股定理谈起。l勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。l天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。l它它它它在在在在数数数数学学学学与与与与人人人人类类类类的的的的实实实实践践践践活活活活动动动动中中中中有有有有着着着着极极极极其其其其广广广广泛泛泛泛的的的的应应应应用用用用，同同同同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国时也是人类最早认识到

19、的平面几何定理之一。在我国时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国.l最最早早的的一一部部天天文文数数学学著著作作周周周周髀髀髀髀算算算算经经经经中中就就已已有有了了关关于于这一定理的初步认识。这一定理的初步认识。第12页，此课件共40页哦l l不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。l一一直直到到三三国国时时期期的的赵赵爽爽才才用用面面积积割割补补给给出出它它的的第第一一种种证明。证明。l l在在在

20、在国国国国外外外外，最最最最早早早早给给给给出出出出这这这这一一一一定定定定理理理理证证证证明明明明的的的的是是是是古古古古希希希希腊腊腊腊的的的的毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯。因而国外一般称之为因而国外一般称之为因而国外一般称之为因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”。l l据据据据说说说说毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯在在在在完完完完成成成成这这这这一一一一定定定定理理理理证证证证明明明明后后后后欣欣欣欣喜喜喜喜若若若若狂狂狂狂，而而而而杀杀杀杀牛牛牛牛百只以示庆贺。百只以示庆贺。百只以示庆贺。百只以示庆贺。l l因因因因此此此

21、此这这这这一一一一定定定定理理理理还还还还又又又又获获获获得得得得了了了了一一一一个个个个带带带带神神神神秘秘秘秘色色色色彩彩彩彩的的的的称称称称号号号号：“百百百百牛牛牛牛定理定理定理定理”。l神奇的毕达哥拉斯学派神奇的毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第13页，此课件共40页哦l毕毕达达哥哥拉拉斯斯是是公公元元前前五五世世纪纪古古希希腊腊的的著著名名数数学学家家与与哲哲学学家家。他他曾曾创创立立了了一一个个合合政政治治、学学术术、宗宗教教三三位位一一体体的的神神秘秘主主义义派派别别：毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派。由由毕毕达达哥哥拉拉斯斯提提出出的的著著名名命命题题“万万物物皆皆数

22、数”是是该该学学派派的的哲哲学学基基石石。而而“一一切切数数均均可可表表成成整整数数或或整整数数之之比比”则则是是这这一一学学派派的的数数学学信信仰仰。然然而而，具具有有戏戏剧剧性性的的是是由由毕毕达达哥哥拉拉斯斯建建立立的的毕毕达达哥哥拉拉斯斯定定理理却却成成了了毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派数数学学信信仰仰的的“掘墓人掘墓人”。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第14页，此课件共40页哦 Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯l lPythagoras Pythagoras（约约约约-569？），生生于于SamosSamos岛岛，卒卒于于意意大大利利。毕毕氏氏学学派派的的创创始始人人。由由于于

23、他他万万物物皆皆数数的的信信念念，为希腊数学的昌盛奠下基本的思想质素。为希腊数学的昌盛奠下基本的思想质素。lPythagoras生生生生 于于于于 爱爱爱爱 琴琴琴琴 海海海海 东东东东 岸岸岸岸 靠靠靠靠 近近近近 安安安安 那那那那 托托托托 利利利利 亚亚亚亚 半半半半 岛岛岛岛 的的的的Samos岛岛岛岛，母母母母亲亲亲亲是是是是本本本本岛岛岛岛人人人人，父父父父亲亲亲亲则则则则是是是是来来来来自自自自于于于于地地地地中中中中海海海海东东东东岸岸岸岸Tyre的商人。的商人。l lPythagorasPythagoras一一生生的的事事迹迹由由于于历历史史久久远远，近近于于传传奇奇，在在

24、事事件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的时间，件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的时间，第15页，此课件共40页哦Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第16页，此课件共40页哦Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第17页，此课件共40页哦Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第18页，此课件共40页哦Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第19页，此课件共40页哦 Pythagoras 的一生的一生 l青青年年时时期期的的Pythagoras随随商商人人父父亲亲四四处处游游历历，到到过过叙叙利利亚亚游游学学，也也到到过过意意大大利利。他他的的教教育育良良好好，有有三

25、三个个影影响响他他很很大大的的老老师师：Pherekydes、Thales、Anaximander，后后者者尤尤其其在在数数学学、几几何何、天天文文上上对他多有启发。对他多有启发。l卅卅岁岁后后，Pythagoras到到埃埃及及待待了了约约十十年年，他他四四处处拜拜访访神神庙庙僧僧侣侣，研研究究宗宗教教仪仪式式，许许多多埃埃及及宗宗教教的的特特色色与与戒戒律律，后后来来在在毕毕氏氏学学派派的的生生活活里里都都可以看得出来。可以看得出来。l后后来来波波斯斯入入侵侵埃埃及及，Pythagoras 被被俘俘，送送往往巴巴比伦，他在这里学习了算术、音乐与其它数学。比伦，他在这里学习了算术、音乐与其它数

26、学。第20页，此课件共40页哦 Pythagoras 的一生的一生l五五十十岁岁左左右右，PythagorasPythagoras回回回回到到到到Samos岛岛，在在短短暂暂地地到到 Crete 岛学习法律，并在岛学习法律，并在SamosSamos岛建立一个短命学派后，岛建立一个短命学派后，岛建立一个短命学派后，岛建立一个短命学派后，l他他在在两两年年之之后后到到意意大大利利南南边边的的CrotonCroton建建立立了了影影响响重重大大的的毕毕氏氏学学派派，这这是是一一个个哲哲学学宗宗教教团团体体，以以数数学学的的秘秘密密知识为中心。知识为中心。l它它它它的的的的核核核核心心心心圈圈圈圈称称

27、称称为为为为mathematikoi，有有点点像像今今日日所所谓谓的的僧僧团团，必必须须放放弃弃财财产产、持持戒戒、素素食食，另另外外还还有有像像是是居居士士的外围团体。的外围团体。l而教主就是而教主就是Pythagoras。第21页，此课件共40页哦Pythagoras 学派的信念学派的信念l 宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。l 实在最深刻的本性是数学。实在最深刻的本性是数学。l 哲学可以使精神纯净。哲学可以使精神纯净。l 灵魂可以与上天契合。灵魂可以与上天契合。l 符号有神秘的力量。符号有神秘的力量。第22页，此课件共40页哦l l毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉

28、拉斯斯斯斯定定定定理理理理提提提提出出出出后后后后，其其其其学学学学派派派派中中中中的的的的一一一一个个个个成成成成员员员员希希希希帕帕帕帕索索索索斯斯斯斯考考考考虑了一个问题：虑了一个问题：虑了一个问题：虑了一个问题：边长为边长为1 1的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？他他发发现现这这一一长长度度既既不不能能用用整整数数，也也不不能能用用分分数数表表示示，而只能用一个新数来表示。而只能用一个新数来表示。l希希帕帕索索斯斯的的发发现现导导致致了了数数学学史史上上第第一一个个无无理理数数sqrt(2)sqrt(

29、2)的的的的诞诞诞诞生生生生。小小小小小小小小sqrt(2)sqrt(2)的的的的出出出出现现现现，却却却却在在在在当当当当时时时时的的的的数数数数学学学学界界界界掀掀掀掀起起起起了了了了一一一一场巨大风暴。场巨大风暴。场巨大风暴。场巨大风暴。l l它它它它直直直直接接接接动动动动摇摇摇摇了了了了毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯学学学学派派派派的的的的数数数数学学学学信信信信仰仰仰仰，使使使使毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯学派为之大为恐慌。学派为之大为恐慌。学派为之大为恐慌。学派为之大为恐慌。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第23页，此课件共40页哦l l这这这这一一一一结结结结

30、论论论论的的的的悖悖悖悖论论论论性性性性表表表表现现现现在在在在它它它它与与与与常常常常识识识识的的的的冲冲冲冲突突突突上上上上：任任任任何何何何量量量量，在在在在任任任任何精确度的范围内都可以表示成有理数。何精确度的范围内都可以表示成有理数。何精确度的范围内都可以表示成有理数。何精确度的范围内都可以表示成有理数。l这这不不但但在在希希腊腊当当时时是是人人们们普普遍遍接接受受的的信信仰仰，就就是是在在今今天天，测测量量技技术术已已经经高高度度发发展展时时，这这个个断断言言也也毫毫无无例例外外是是正正确确的的！可可是是为为我我们们的的经经验验所所确确信信的的，完完全全符符合合常常识识的的论论断断

31、居居然然被被小小小小的的sqrt(2)sqrt(2)的的存存在在而而推推翻翻了了！这这应应该该是是多多么么违违反反常常识识，多多么么荒荒谬谬的的事事！它它简简直直把把以以前前所所知知道道的的事事情情根根本本推推翻翻了了。更更糟糟糕糕的的是是，面面对对这这一一荒荒谬谬人人们们竟竟然然毫毫无办法。无办法。l l这这这这就就就就直直直直接接接接导导导导致致致致人人人人们们们们认认认认识识识识上上上上的的的的危危危危机机机机，从从从从而而而而导导导导致致致致了了了了西西西西方方方方数数数数学学学学史史史史上上上上一场大的风波，史称一场大的风波，史称一场大的风波，史称一场大的风波，史称“第一次数学危机第

32、一次数学危机第一次数学危机第一次数学危机”。希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机第24页，此课件共40页哦第一次数学危机的解决第一次数学危机的解决l二二百百年年后后，大大约约在在公公元元前前370370年年年年，才才才才华华华华横横横横溢溢溢溢的的的的欧欧多多克克索索斯斯建立起一套完整的比例论。建立起一套完整的比例论。建立起一套完整的比例论。建立起一套完整的比例论。l欧欧欧欧多多多多克克克克索索索索斯斯斯斯的的的的巧巧巧巧妙妙妙妙方方方方法法法法可可可可以以以以避避避避开开开开无无无无理理理理数数数数这这这这一一一一“逻逻逻逻辑辑辑辑上上上上的的的的丑丑丑丑闻闻闻闻”，并并

33、并并保保保保留留留留住住住住与与与与之之之之相相相相关关关关的的的的一一一一些些些些结结结结论论论论，从从从从而而而而解解解解决决决决了了了了由由由由无无无无理理理理数数数数出出出出现现现现而而而而引引引引起起起起的的的的数数数数学学学学危危危危机机机机。但但但但欧欧欧欧多多多多克克克克索索索索斯斯斯斯的的的的解解解解决决决决方方方方式式式式，是是是是借借借借助助助助几几几几何何何何方方方方法法法法，通通通通过过过过避避避避免免免免直直直直接接接接出出出出现现现现无无无无理理理理数数数数而而而而实实实实现现现现的的的的。这这这这就就就就生硬地把数和量肢解开来。生硬地把数和量肢解开来。生硬地把数

34、和量肢解开来。生硬地把数和量肢解开来。l在在这这种种解解决决方方案案下下，对对无无理理数数的的使使用用只只有有在在几几何何中中是是允允许许的的，合合法法的的，在在代代数数中中就就是是非非法法的的，不不合合逻逻辑辑的的。或或者者说说无无理理数数只只被被当当作作是是附附在在几几何何量量上上的的单单纯纯符符号号，而不被当作真正的数。而不被当作真正的数。第25页，此课件共40页哦l直直到到1818世世世世纪纪纪纪，当当当当数数数数学学学学家家家家证证证证明明明明了了了了基基基基本本本本常常常常数数数数如如如如圆圆圆圆周周周周率率率率是是是是无无无无理理理理数数数数时，拥护无理数存在的人才多起来。时，拥

35、护无理数存在的人才多起来。时，拥护无理数存在的人才多起来。时，拥护无理数存在的人才多起来。l到到十十九九世世纪纪下下半半叶叶，现现在在意意义义上上的的实实数数理理论论建建立立起起来来后后，无无理理数数本本质质被被彻彻底底搞搞清清，无无理理数数在在数数学学园园地地中中才才真正扎下了根。真正扎下了根。l l无理数在数学中合法地位的确立：无理数在数学中合法地位的确立：无理数在数学中合法地位的确立：无理数在数学中合法地位的确立：一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另另一一

36、方方面面也也真真正正彻彻底底、圆圆满满地地解解决决了了第第一一次次数数学学危危机。机。第一次数学危机的解决第一次数学危机的解决第26页，此课件共40页哦l第二次数学危机导源于微积分工具的使用。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。l l伴伴伴伴随随随随着着着着人人人人们们们们科科科科学学学学理理理理论论论论与与与与实实实实践践践践认认认认识识识识的的的的提提提提高高高高，十十十十七七七七世世世世纪纪纪纪几几几几乎乎乎乎在在在在同同同同一一一一时时时时期期期期，微微微微积积积积分分分分这这这这一一一一锐锐锐锐利利利利无无

37、无无比比比比的的的的数数数数学学学学工工工工具具具具为为为为牛牛牛牛顿顿顿顿、莱莱莱莱布布布布尼尼尼尼兹兹兹兹各自独立发现。各自独立发现。各自独立发现。各自独立发现。l这这一一工工具具一一问问世世，就就显显示示出出它它的的非非凡凡威威力力。许许许许多多多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。l l但但但但是是是是不不不不管管管管是是是是牛牛牛牛顿顿顿顿，还还还还是是是是莱莱莱莱布布布布尼尼尼尼兹兹兹兹所所所所创创创创立立立立的的的的微微微微积积积积分分分分理理理理论论论论都都都都是是是是不不不不严格的。严格的。严格的。严格的。l l两两两两人人人人的的的的理

38、理理理论论论论都都都都建建建建立立立立在在在在无无无无穷穷穷穷小小小小分分分分析析析析之之之之上上上上，但但但但他他他他们们们们对对对对作作作作为为为为基基基基本本本本概概概概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机第27页，此课件共40页哦l从从微微积积分分诞诞生生时时就就遭遭到到了了一一些些人人的的反反对对与与攻攻击击。其其中中攻攻击最猛烈的是英国大主教击最猛烈的是英国大主教贝克莱贝克莱。l l贝贝贝贝克克克克莱莱莱莱指指指指责责责责牛

39、牛牛牛顿顿顿顿，为为为为计计计计算算算算比比比比如如如如说说说说 x x2 2 的的的的导导导导数数数数，先先先先将将将将 x x 取取一一个个不不为为0的的增增量量x，由由由由(x+x)(x+x)2-x-x2，得得得得到到到到2xx+(x2xx+(x2 2)，后再被，后再被x 除，得到除，得到除，得到除，得到2x+x;l l最后突然令最后突然令最后突然令最后突然令x=0 x=0，求得导数为，求得导数为2x。l l这是这是这是这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果依靠双重错误得到了不科学却正确的结果依靠双重错误得到了不科学却正确的结果依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。l l因因因因为

40、为为为无无无无穷穷穷穷小小小小量量量量在在在在牛牛牛牛顿顿顿顿的的的的理理理理论论论论中中中中一一一一会会会会儿儿儿儿说说说说是是是是零零零零，一一一一会会会会儿儿儿儿又又又又说说说说不是零。不是零。不是零。不是零。l l数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论贝克莱悖论贝克莱悖论贝克莱悖论”。贝克莱悖论贝克莱悖论第28页，此课件共40页哦第二次数学危机的解决第二次数学危机的解决l贝贝贝贝克克克克莱莱莱莱悖悖悖悖论论论论可可可可以以以以表表表表述述述述为为为为“无无无无穷穷穷穷小小小小量量量量究究究究竟竟竟竟是

41、是是是否否否否为为为为0”的的问问题题：就就无无穷穷小小量量在在当当时时实实际际应应用用而而言言，它它必必须须既既是是0，又又不是不是0。l但但从从形形式式逻逻辑辑而而言言，这这无无疑疑是是一一个个矛矛盾盾。这这一一问问题题的的提提出出在在当当时时的的数数学学界界引引起起了了一一定定的的混混乱乱，由由此此导导致致了了第二次数学危机的产生。第二次数学危机的产生。l柯柯西西开开始始用用不不等等式式来来刻刻画画极极限限，使使无无穷穷的的运运算算化化为为一一系系列列不不等等式式的的推推导导。这这就就是是所所谓谓极极限限概概念念的的“算算术术化化”。后后来来，德德国国数数学学家家魏魏魏魏尔尔尔尔斯斯斯斯

42、特特特特拉拉拉拉斯斯斯斯给给给给出出出出更更更更为为为为完完完完善善善善的的的的我我我我们们们们目目目目前所使用的前所使用的前所使用的前所使用的“-”方法。方法。第29页，此课件共40页哦l l18921892年年，一一些些数数学学家家又又利利用用“闭闭区区间间套套原原理理”来来建建立立实实数数理理论论。由由此此，沿沿柯柯西西开开辟辟的的道道路路，建建立立起起来来的的严严谨谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。l数数数数学学学学分分分分析析析析的的的的无无无无矛矛矛矛盾盾盾盾性性性性问问问问题题题题归归归归纳纳纳纳为为为为实实实实

43、数数数数论论论论的的的的无无无无矛矛矛矛盾盾盾盾性性性性，从从从从而而而而使使使使微微微微积积积积分分分分学学学学这这这这座座座座人人人人类类类类数数数数学学学学史史史史上上上上空空空空前前前前雄雄雄雄伟伟伟伟的的的的大大大大厦厦厦厦建建建建在在在在了了了了牢牢牢牢固固固固可可可可靠靠靠靠的的的的基基基基础础础础之之之之上上上上。重重重重建建建建微微微微积积积积分分分分学学学学基基基基础础础础，这这这这项项项项重重重重要要要要而而而而困困困困难难难难的的的的工工工工作作作作就就就就这这这这样样样样经经经经过过过过许许许许多多多多杰杰杰杰出出出出学学学学者者者者的的的的努努努努力力力力而而而而胜

44、胜胜胜利利利利完完完完成成成成了了了了。微微微微积积积积分分分分学学学学坚坚坚坚实实实实牢牢牢牢固固固固基基基基础础础础的的的的建建建建立立立立，结结结结束束束束了了了了数数数数学学学学中中中中暂暂暂暂时时时时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。第二次数学危机的解决第二次数学危机的解决第30页，此课件共40页哦罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机l十十九九世世纪纪下下半半叶叶，康康康康托托托托尔尔尔尔创创立立了了著著名名

45、的的集集合合论论，在在集集合合论论刚刚产产生生时时，曾曾遭遭到到许许多多人人的的猛猛烈烈攻攻击击。但但不不久久这这一一开开创创性性成成果果就就为为广广大大数数学学家家所所接接受受了了，并并且且获获得得广广泛而高度的赞誉。泛而高度的赞誉。l数数数数学学学学家家家家发发发发现现现现，从从从从自自自自然然然然数数数数与与与与康康康康托托托托尔尔尔尔集集集集合合合合论论论论出出出出发发发发可可可可建建建建立立立立起起起起整整整整个数学大厦。集合论成为现代数学的基石个数学大厦。集合论成为现代数学的基石个数学大厦。集合论成为现代数学的基石个数学大厦。集合论成为现代数学的基石。l好好景景不不长长，19031

46、903年年年年，一一一一个个个个震震震震惊惊惊惊数数数数学学学学界界界界的的的的消消消消息息息息传传传传出出出出：集集集集合合合合论论论论是是是是有有有有漏漏漏漏洞洞洞洞的的的的！这这这这就就就就是是是是英英英英国国国国数数数数学学学学家家家家罗罗罗罗素素素素提提提提出出出出的的的的著著著著名名名名的的的的罗罗罗罗素素素素悖论。悖论。悖论。悖论。l第三次数学危机的爆发了。第三次数学危机的爆发了。第三次数学危机的爆发了。第三次数学危机的爆发了。第31页，此课件共40页哦Cantor、康托康托（18451918）l l康康康康托托托托生生生生于于于于圣圣圣圣彼彼彼彼得得得得堡堡堡堡，卒卒卒卒于于于

47、于德德德德国国国国HalleHalle。是是是是数数数数学学学学史史史史上上上上最最最最被被被被误误误误解解解解，而而而而又又又又最最最最具具具具革革革革命命命命性性性性的的的的思想家之一。思想家之一。思想家之一。思想家之一。l l康康康康托托托托18621862年年年年就就就就读读读读于于于于苏苏苏苏黎黎黎黎士士士士，先先先先后后后后受受受受教教教教于于于于WeierstrassWeierstrass、Kummer Kummer 及及及及KroneckerKronecker。18671867年年年年以以以以一一一一篇篇篇篇数数数数论论论论问问问问题题题题的的的的论论论论文文文文，从从从从柏柏

48、柏柏林林林林大大大大学学学学获获获获得得得得博博博博士士士士学学学学位位位位。他他他他因因因因为为为为对对对对一一一一般般般般数数数数学学学学的的的的正正正正确确确确性性性性产产产产生生生生质质质质疑疑疑疑，因因因因而而而而受受受受到到到到数学界的排挤。数学界的排挤。数学界的排挤。数学界的排挤。l l特特特特别别别别是是是是有有有有Kronecker Kronecker 作作作作敌敌敌敌人人人人，所所所所以以以以只只只只能能能能到到到到第第第第二二二二流流流流的的的的小小小小学学学学校校校校当当当当教教教教授授授授，直直直直到到到到退退退退休。休。休。休。第32页，此课件共40页哦Cantor

49、、康托康托（18451918）l l由由由由于于于于受受受受到到到到Weierstrass 在在在在分分分分析析析析方方方方面面面面的的的的影影影影响响响响，使使使使得得得得康康康康托托托托注注注注意到实数在线点集的本质。意到实数在线点集的本质。意到实数在线点集的本质。意到实数在线点集的本质。l l18741874年年年年他他他他在在在在Crelle 杂杂杂杂志志志志上上发发表表了了集集合合论论的的第第一一篇篇文章。文章。l后后后后来来来来由由由由于于于于比比比比较较较较无无无无穷穷穷穷集集集集合合合合的的的的大大大大小小小小而而而而产产产产生生生生了了了了超超超超限限限限数数数数的的的的概概

50、概概念念念念，使集合论变成数学的一支。使集合论变成数学的一支。使集合论变成数学的一支。使集合论变成数学的一支。l l在在在在他他他他之之之之前前前前，所所所所有有有有的的的的无无无无穷穷穷穷都都都都被被被被视视视视为为为为一一一一样样样样，但但但但康康康康托托托托证证证证明明明明它它它它们们们们是是是是不同的。不同的。不同的。不同的。l16321632年年伽伽利利略略在在他他的的对对话话录录中中说说：”数数与与平平方方数数一一样样多多，因因为为每每个个数数都都有有平平方方根根。“他他问问，自自然然数数及及平平方方数数那一比较多。那一比较多。第33页，此课件共40页哦Cantor、康托康托（18