函数连续性定义和间断点精选PPT.ppt

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1、关于函数连续性定义和间断点第1页，讲稿共48张，创作于星期日第2页，讲稿共48张，创作于星期日第3页，讲稿共48张，创作于星期日一、一、函数在一点的连续性函数在一点的连续性可见可见,函数函数在点在点(1)在点在点即即(2)极限极限(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;有定义有定义,存在存在;1.定义定义:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则称函数则称函数设函数设函数且且第4页，讲稿共48张，创作于星期日注意注意:在在点连续点连续,则极限运算和函数运则极限运算和函数运算算 可以交换顺序。即：可以交换顺序。即：(1)若若(2)函数函数存在存在例例1:讨论函数讨论函数 在点在

2、点处的连续性处的连续性 第5页，讲稿共48张，创作于星期日2.函数函数 在在 点连续的等价定义点连续的等价定义定义：设函数定义：设函数 自变量由自变量由 变到变到 ,则则叫做叫做自变量的增量自变量的增量；相应的函数值由；相应的函数值由 变到变到 ,则则 叫做叫做函数值函数值 的增量的增量（改变量）（改变量）第6页，讲稿共48张，创作于星期日当时,有函数函数在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题:右连续左连续第7页，讲稿共48张，创作于星期日例例2.2.证明函数证明函数在在点连续点连续.定义定义1 1：若：若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续,则称它在则称它在该区间上连续该区间上

3、连续,或称它为该或称它为该区间上的连续函数区间上的连续函数.同理可证：函数同理可证：函数在在点连续点连续.3.3.区间上的连续函数区间上的连续函数.第8页，讲稿共48张，创作于星期日连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.由例由例2 2知函数知函数及及 在其定义域区间在其定义域区间内是连续的内是连续的第9页，讲稿共48张，创作于星期日二、二、函数的间断点函数的间断点若函数在点不连续，则称 在点 间断，称为间断点间断点.在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:则下列情形之一函数 在点虽有定义,但虽有定义,且在无定义;第10页，讲稿共48张

4、，创作于星期日1.1.可去间断点可去间断点，则称，则称 为为 的可去间断点的可去间断点但但如果如果 ，而，而 在在 点无定义，或者有定义点无定义，或者有定义例例2 2：设：设,讨论在讨论在x=1x=1的连续性的连续性第11页，讲稿共48张，创作于星期日注意：注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例3 3：设：设,讨论在讨论在x=0 x=0处的连续性处的连续性解解:第12页，讲稿共48张，创作于星期日2.2.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4：解解则称则称 为函数为函数 的跳跃间断点的跳跃间断点如果如果

5、在在 点存在左、右极限，但点存在左、右极限，但第13页，讲稿共48张，创作于星期日跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点：特点：3.3.第二类间断点第二类间断点则称则称 为为 的第二类间断点的第二类间断点函数函数 在在 点的左、右极限至少有一个不存在，点的左、右极限至少有一个不存在，例例5 5：处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数第14页，讲稿共48张，创作于星期日例例6 6解解第15页，讲稿共48张，创作于星期日例例7 7解解第16页，讲稿共48张，创作于星期日三、小结三、小结1.1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的

6、三个条件;3.3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点间断点间断点(见下图见下图)可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有左右极限至少有一个不存在一个不存在第17页，讲稿共48张，创作于星期日第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyx可去型可去型oyx第18页，讲稿共48张，创作于星期日四、连续函数的性质与运算性四、连续函数的性质与运算性性质性质1:1:（局部有

7、界性）（局部有界性）若函数若函数 在在 点连续点连续则存在则存在 的一个邻域的一个邻域 及定值及定值 ，当，当时，有时，有 。当当 时，时，性质性质2:2:（局部保号性）（局部保号性）若函数若函数 在在 点连续点连续，则存在，则存在 的一个邻域的一个邻域 ，有有 第19页，讲稿共48张，创作于星期日性质性质3 3：（连续函数的四则运算法则）：（连续函数的四则运算法则）例如：例如：例例1 1：证明函数：证明函数 在在 内是连续的。内是连续的。第20页，讲稿共48张，创作于星期日性质性质4 4：（复合函数的连续性）：（复合函数的连续性）例例2 2：讨论函数：讨论函数 的连续性。的连续性。在在 上连

8、续，上连续，在在 上各自连续连续，上各自连续连续，解：函数解：函数 可以看做是由可以看做是由 ，复合而成的，复合而成的，在在 上各自连续。上各自连续。所以所以第21页，讲稿共48张，创作于星期日性质性质5 5：（反函数的连续性）：（反函数的连续性）连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续且严格单调递增（递减）的函数且严格单调递增（递减）的函数.五、初等函数的连续性五、初等函数的连续性定理定理2 2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.例如例如,定理定理1 1：基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是

9、连续的.第22页，讲稿共48张，创作于星期日备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.第23页，讲稿共48张，创作于星期日1 1、解解右连续但不左连续右连续但不左连续,第24页，讲稿共48张，创作于星期日2 2、解解第25页，讲稿共48张，创作于星期日四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.第26页，讲稿共48张，创作于星

10、期日思考题思考题第27页，讲稿共48张，创作于星期日思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点第28页，讲稿共48张，创作于星期日练练 习习 题题第29页，讲稿共48张，创作于星期日第30页，讲稿共48张，创作于星期日第31页，讲稿共48张，创作于星期日练习题答案练习题答案第32页，讲稿共48张，创作于星期日第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点震荡间断点第33页，讲稿共48张，创作于星期日第一类间断点第二类间断点可去间断点无定义、值太高、值太低跳跃间断点无穷间断点震荡间断点第34页，讲稿共48张，创作于星期日哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我

11、我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.第35页，讲稿共48张，创作于星期日哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！第36页，讲稿共48张，创作于星期日哎呀哎呀,太高太高了了!够不够不着，又有个着，又有个洞洞,我我还是掉下去了还是掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！第37页，讲稿共48张，创作于星期日哎呀哎呀,太低太低了了!跳不跳不上去，唉，只能上去，唉，只能在下面呆着了

12、在下面呆着了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！第38页，讲稿共48张，创作于星期日哎呀哎呀,前不着村，后不前不着村，后不着店的，就是能单边着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了我还是掉下去了!注意到：这种间断点称为跳跃间断点.这点放哪儿能接上呢？第39页，讲稿共48张，创作于星期日哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点第40页，讲稿共48张，创作于星期日：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还

13、想连上，你可真逗！这种间断点称为震荡间断点。第41页，讲稿共48张，创作于星期日有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示:第42页，讲稿共48张，创作于星期日1当时，较(A)等价无穷小量 (B)同阶无穷小量(C)低阶无穷小量 (D)高阶无穷小量是 （）课堂测验课堂测验第43页，讲稿共48张，创作于星期日2下列各式中正确的是 （）B C D A第44页，讲稿共48张，创作于星期日3无穷小量是（）A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数C 以零为极限的一个变量 D 数零4.已知已知，则则a=_。5.计计算算第45页，讲稿共48张，创作于星期日练练 习习 题题第46页，讲稿共48张，创作于星期日第47页，讲稿共48张，创作于星期日练习题答案练习题答案第48页，讲稿共48张，创作于星期日