分离变量法有界弦的自由振动精选PPT.ppt
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1、深圳大学电子科学与技术学院关于分离变量法有界弦的自由振动关于分离变量法有界弦的自由振动第1页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院有界弦的自由振动有界弦的自由振动有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要分离变量法提要:第2页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 物理学、工程技术领域的许多问题物理学、工程技术领域的许多问题,都可以归结为偏微
2、分方程的,都可以归结为偏微分方程的 定解问题。定解问题。偏微分方程偏微分方程定解条件定解条件求满足它们的解(定解问题)求满足它们的解(定解问题)在微积分学中在微积分学中:多元函数的多元函数的微分微分积分积分(转化为转化为)一元函数的一元函数的微分微分积分积分分离变量法分离变量法:偏微分方程偏微分方程(定解问题定解问题)(转化为转化为)常微分方程的求解常微分方程的求解第3页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院基本思想基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化为几将一个多元函数的偏微分方程转化为几个单元函数的常微分方程个单元函数的常微分方程基本问题基本问题:将二元的偏微分方程转化为
3、空间和时间将二元的偏微分方程转化为空间和时间的常微分方程的常微分方程,比如比如第4页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动什么是分离变量法什么是分离变量法?运用分离变量法所应该具备的条件运用分离变量法所应该具备的条件?如何应用分离变量法解定解问题如何应用分离变量法解定解问题?例例1:有界弦的自由振动有界弦的自由振动:弦长度为弦长度为L,两端固定两端固定,任任意初始位移意初始位移,任意初始速度。任意初始速度。定解问题为定解问题为:泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件(1)(2)(3)第5页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子
4、科学与技术学院主导思想:主导思想:在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时,在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时,求出足够多的形式解求出足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解使之满足初始条件使之满足初始条件常微分方程常微分方程不但含有未知函数,而且还含有不但含有未知函数,而且还含有未知函数的导数,且自变量只有一个,称之为常未知函数的导数,且自变量只有一个,称之为常微分方程。微分方程。线性线性未知函数,以及未知函数的导数都是一次幂,未知函数,以及未知函数的导数都是一次幂,称之为线性。称之为线性。通解通解一般地讲,一阶常微分方程含有一个任意常一般地讲,一
5、阶常微分方程含有一个任意常数的解,称之为通解。数的解,称之为通解。特解特解确定了任意常数的解,称之为特解。一确定了任意常数的解,称之为特解。一般来说,当初始条件给定之后,满足初始条件般来说,当初始条件给定之后,满足初始条件的特解只有一个。的特解只有一个。第6页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院启发:启发:求出足够多的求出足够多的,满足边界条件的满足边界条件的,具有具有变量分离形式的形式解。变量分离形式的形式解。线性组合这些足够多的形式解线性组合这些足够多的形式解使之满足初始条件使之满足初始条件 从物理学知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种单音振动时从物理学
6、知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种单音振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间 t。为此,特解可表示为为此,特解可表示为的形式的形式.特点特点:中的变量中的变量被形式上分离为被形式上分离为振幅振幅-关于时间关于时间t位相位相-关于坐标关于坐标x第7页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院设方程(设方程(1 1)有分离变量解:)有分离变量解:代入方程(代入方程(1 1):):左边是左边是x x函数,右边是函数,右边是t t的函数,只有他们均为的函数,只有他们均为常数时才相等:常数时才相等:设这一常数为设这一常数为-,则,则(4
7、)(5)(6)至此可以看出至此可以看出,利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是:泛泛定方程必须是齐次的定方程必须是齐次的。否则(。否则(5 5)变成)变成 方程方程 ,不能写出变量分离的形式(不能写出变量分离的形式(6 6)。)。分离变量:第8页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院将边界条件(将边界条件(2 2)代入形式解()代入形式解(4):):,如果如果 则则 (平凡解平凡解,无实际意义无实际意义),),故故这样空间函数这样空间函数 构成下列常微分方程的边值问题构成下列常微分方程的边值问题:至此可以看出至此可以看出,利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是:边界
8、条件必须是齐次的边界条件必须是齐次的。否。否则则 ,不能写出关于空间函数,不能写出关于空间函数 X(x)单独的边界条件(单独的边界条件(7),),不能构成定解问题(不能构成定解问题(8)。)。(8)(7)第9页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院以下的任务:以下的任务:确定确定 取何值时取何值时,方程,方程 有有满足条件满足条件的非零解;的非零解;求出这个非零解求出这个非零解 本征值本征值本征值本征值问题问题本征函数本征函数第10页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院1.1.:方程方程(9)(9)的通解为的通解为2.:2.:方程方程(9)(9)的通解为的通解
9、为(9)(10)(平凡解(平凡解:X(x)=0)由由(10)(10)得得 为了满足边界条件为了满足边界条件(10),(11)(10),(11)必须给出必须给出(11)下面求解边值问题:设第11页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院这是一个关于这是一个关于A,B的线性齐次方程组,它有非的线性齐次方程组,它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零:零解的必要充分条件是系数行列式为零:即即上式在上式在k=0(即即=0)条件下成立,但在现在的条件下成立,但在现在的 00,方程方程(9)(9)的通解为的通解为该边值问题的解是一系列分立的正弦函数该边值问题的解是一系列分立的正弦函数B 不能
10、为零不能为零(否则否则X(x)=0)设第13页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第14页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院将将 代入关于代入关于 T 的方程的方程:这个解称为定解问题的这个解称为定解问题的“本征解本征解”,它它满足泛定方程和齐次边界条件满足泛定方程和齐次边界条件其通解为其通解为这样这样 解方程:第15页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院但是本征解但是本征解的初始值的初始值 不能满足任意初始条件不能满足任意初始条件(2),2),为了使原定解问题的解满足任意初始条件,考虑到原泛为了使原定解问题的解满足任意初始条件,考虑到原
11、泛定方程是线性的(服从叠加原理),可以取定方程是线性的(服从叠加原理),可以取本征解的叠本征解的叠加加构成定解问题的构成定解问题的一般解一般解:一般解不但一般解不但满足泛定方满足泛定方程还满足定程还满足定解条件解条件定解问题的一般解:第16页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 这样初始条件可以表示为这样初始条件可以表示为它们是函数它们是函数 的傅立叶级数,展开系数为的傅立叶级数,展开系数为一般解能表示任意初始条件一般解能表示任意初始条件可以再次看出可以再次看出,利用分离变量法利用分离变量法的条件是的条件是:泛定方程必须是线性的泛定方程必须是线性的。这样才能利用叠加原理,构成
12、一般这样才能利用叠加原理,构成一般解,满足任意初始条件。解,满足任意初始条件。任意初始条件:第17页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 有界弦自由振动的有界弦自由振动的 定解问题的解由级定解问题的解由级 数给出数给出:它满足齐次边界条它满足齐次边界条 件和任意初始条件件和任意初始条件:展开系数展开系数 被被 积分确定积分确定:弦振动定解问题的结论:第18页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 1.1.对于泛定方程对于泛定方程 写出写出形式解形式解:2.2.分离变量分离变量得到空间函数的得到空间函数的本征值问题本征值问题:3.3.解出解出 得到得到本征解本征
13、解:4.4.利用利用叠加原理叠加原理得到得到一般解一般解:5.5.代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数 分离变量法分离变量法求解定解问题的步骤:求解定解问题的步骤:第19页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院1.1.泛定方程是泛定方程是 线性齐次的线性齐次的,例如例如2.2.边界条件是边界条件是 齐次的齐次的,例如例如3.3.初始条件可以初始条件可以 是任意函数是任意函数 讨论:分离变量法的适用条件第20页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院举例举例:例例1:设一根长为:设一根长为10个单位的细弦个单位的细弦,两端固定两端固定,初速为零初速为零,
14、初位移初位移 与材料有关的量与材料有关的量 ,求弦作微小横振动时的位移求弦作微小横振动时的位移 .解解:其定解问题为其定解问题为显然,这个问题的傅立叶级数形式解可由显然,这个问题的傅立叶级数形式解可由给出,其中给出,其中第21页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院给出给出,其中其中n 为偶数为偶数 n 为奇数为奇数 第22页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院因此因此,所求的解为所求的解为第23页,讲稿共64张,创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院例例2:解下列定解问题解下列定解问题例例1:定解问题定解问题分析分析:对比上面两个定解问题对比上面两个定解问题
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