高数例题课件第八章空间解析几何与向量代数.ppt

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1、高数例题课件第八章空间解析几何与向量代数现在学习的是第1页，共133页（二）自由向量：与起点无关的向量。对于自由向量，如果两个向量的大小相等，且方向相同，我们就说向量 是相等的，记做 经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。现在学习的是第2页，共133页（三）向量的模：向量的大小叫做向量的模。向量 的模依次记作 模等于1的向量叫做单位向量，模等于0的向量叫做零向量，记作 ，零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。现在学习的是第3页，共133页（四）两相量的夹角、向量与一轴的夹角，空间两轴的夹角。两向量的夹角 设有两个非零向量 ，任取空间一点O，作 ，规定不超过 称为向量的夹角，记作

2、即 。若向量 中有一个是零向量，规定它们的夹角可在 之间任意取值，包括现在学习的是第4页，共133页向量与一轴、空间两轴的夹角 过空间一点O，作向量 ,作轴 的平行线 ，则 与轴 的正向所夹的不超过 的角叫做向量与一轴的夹角。现在学习的是第5页，共133页（五）向量 平行 两个非零向量如果它们的方向相同或者相反，就称这两个向量平行，记做 ，由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以认为零向量与任何向量都平行。现在学习的是第6页，共133页（六）两向量共线：当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此，两向量平行又称两向量共线。现在学习的是第7页，共133页（七）向

3、量共面：设有 个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果 个终点和公共起点在一个平面上，就称这 个向量共面。（八）负向量：设 为一个向量，与 的模相同而方向相反的向量叫做 的负向量，记做现在学习的是第8页，共133页二、向量的线性运算（一）向量的加法1、向量加法的规定（1）三角形法则：设有两个向量 ，任取一点A,作 ,再以B为起点，作 ，连接AC，那么向量 称为向量的和，记做 ，即 。现在学习的是第9页，共133页（2）平行四边形法则 当向量 不平行时，作 ，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC，则即为 的和。现在学习的是第10页，共133页例1已知的夹角为 ，求 现在学习的是

4、第11页，共133页2.加法的运算律(1).交换律：(2).结合律：现在学习的是第12页，共133页 3.n个向量 相加 使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继做向量 ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点做一向量，即为这 n个向量的和现在学习的是第13页，共133页(二)向量的减法规定：现在学习的是第14页，共133页（三）向量与数的乘法1、向量与数的乘法的规定 向量 与实数 的乘积记做 ，规定向量 是一个向量，它的模 它的方向，当 的方向相同，当 的方向相反。现在学习的是第15页，共133页 特别地，当 ，即 是零向量，这时它的方向可以是任意的；现在学习的是第16页，共133

5、页2、运算律（1）结合律 （2）分配律 现在学习的是第17页，共133页例2在平行四边形 中，设 ，试用 表示向量 。现在学习的是第18页，共133页（四）两向量平行定理定理1：设向量 ，那么，向量的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 。现在学习的是第19页，共133页三、空间直角坐标系（一）空间点的直角坐标1、在空间取定一点 和三个两两互相垂直的单位向量 就确定了三条都以 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为 坐标系 或 坐标系 ，现在学习的是第20页，共133页2、坐标面 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面称为坐标面，分

6、别叫做xoy面、yoz面、zox 面。3、卦限 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。现在学习的是第21页，共133页4.向量 的坐标分解式其中 称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量，有序数 称为向量 的坐标，有序数 也称为点M的坐标现在学习的是第22页，共133页四、利用坐标做向量的线性运算 1.设 则现在学习的是第23页，共133页2.两向量平行的充要条件 设则 其中 现在学习的是第24页，共133页例3求解以向量为未知元的线性方 程组 其中 现在学习的是第25页，共133页例4已知两点以及实数 ，在直线上求点 ,使 。现在学习的是第26页，共133页五、向量的模、方向角、投影1、

7、向量的模与两点间的距离公式 设 则 另设点A B则点A与点B的距离为现在学习的是第27页，共133页例7求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。现在学习的是第28页，共133页例8在 轴上求与两点等距离的点。现在学习的是第29页，共133页例9已知两点 求与 方向相同的单位 向量 。现在学习的是第30页，共133页2、方向角与方向余弦（1）非零向量 的方向角，方向余弦:非零向量 与三条坐标轴的夹角称为非零向量 的方向角。把方向角的余弦 叫做向量的方向余弦。现在学习的是第31页，共133页（2）关系式 设 为向量 的方向角，则有其中 是与 同方向的单位向量现在学习的是第32页，共133页例10

8、设已知两点 计算向量 的模，方向 余弦和方向角。现在学习的是第33页，共133页例12设点 位于第 卦 限，向径 与 轴、轴夹角依次为 ，且 ，求点 的坐标。现在学习的是第34页，共133页3.向量在轴上的投影（1）空间一点及向量在 轴上的投影点的投影 设已知空间一点M以及一轴 ，通过 作轴 的垂直平面 ，那么平面与轴 的交点 叫做点 在轴 上的投影。现在学习的是第35页，共133页向量 在轴 上的投影 一般地，设点 及单位向量确定 轴，任给向量 再过点 作与 轴垂直的平面交 轴于点则向量 称为向量 在轴 上的分向量，设 则数 称为向量 在轴 上的投影，记作 现在学习的是第36页，共133页（

9、2）向量的投影的性质性质1：性质2：性质3：现在学习的是第37页，共133页例14设立方体一条对角线为 一条棱为 ，且 ，求 方向上的投影 。现在学习的是第38页，共133页7-2 数量积 向量积 混合积一、两向量的数量积（一）数量积的定义 对两个向量 做这样的运算，运算的结果是一个数，它等于 及它们的夹角 的余弦的乘积，把它叫做向量 的数量积，记为 现在学习的是第39页，共133页（二）数量积的性质1.2.3.若 则从而有现在学习的是第40页，共133页4.若 则从而有现在学习的是第41页，共133页（三）数量积的运算规律1、交换律：2、分配律：3、结合律：为常数 现在学习的是第42页，共1

10、33页例1试用向量证明三角形的 余弦定理。现在学习的是第43页，共133页（四）两向量数量积的坐标表示式 设则（五）两向量互相垂直的充要条件现在学习的是第44页，共133页（五）两向量夹角余弦的坐标表示 设 为向量 的夹角，则 现在学习的是第45页，共133页例2在 坐标面上，求出与 向量 垂直的单位 向量。现在学习的是第46页，共133页例3设质量为100kg的物体从点 沿直线移动到点 ，计算重力所作的 功（长度单位m）现在学习的是第47页，共133页例4已知三点 ，求 。现在学习的是第48页，共133页二、两向量的向量积（一）向量 的向量积（定义）由下列三个条件所确定的向量，叫做向量 的向

11、量积，记作：1、的模 ，其中 之间的夹角。现在学习的是第49页，共133页2、向量 垂直于 所确定的平面3、向量 的方向满足右手规则即当右手的四个手指从 以不超过的角转向 握拳时，大拇指的指向就是 的方向。现在学习的是第50页，共133页（二）向量积的几何意义 两向量的向量积的模 等于以 为边构成的平行四边形的面积，等于以 为边组成的三角形面积的二倍。现在学习的是第51页，共133页（三）向量积的性质1.2.现在学习的是第52页，共133页（四）向量积的运算律1、（不满足交换律）2、数乘结合律3、分配律：现在学习的是第53页，共133页（五）向量积的坐标表示 设则现在学习的是第54页，共133

12、页例5设 ，计算 。现在学习的是第55页，共133页例6已知 的顶点分别为求三角形 的面积。现在学习的是第56页，共133页三、向量的混合积（一）定义：设已知三个向量如果先作向量 的向量积 ，把所得到的向量与第三个向量 ，再作数量积 ，这样得到的数量叫做三向量混合积，记作现在学习的是第57页，共133页（二）混合积的坐标表示则现在学习的是第58页，共133页（三）向量的混合积的几何意义 向量的混合积的 是一个数，它的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积，如果 组成右手系（即 的指向按右手规则从 来确定），那么混合积的符号是正的，如果 组成左手系（即 的指向按左手规则从来确定），那么混合积的

13、符号是负的。现在学习的是第59页，共133页（四）混合积的其它性质1、2、三向量 共面的充要 条件是现在学习的是第60页，共133页7-3 曲面及其方程一、曲面方程的概念（一）定义：如果曲面 与三元方程 ，有下述关系（1）曲面S上任一点的坐标都满足 方程 。现在学习的是第61页，共133页（2）坐标满足方程的点都在曲面上，（或不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 ）那么方程 就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 的图形。现在学习的是第62页，共133页 例1建立球心在点 半径为R的球面方程。现在学习的是第63页，共133页例2设点 和 ，求线段 的垂直平分面的方程。现在学习的是第64页，共13

14、3页例3方程表示怎样的曲面。现在学习的是第65页，共133页二、旋转曲面方程的求法（一）定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线，旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条直线叫做旋转曲线的的轴。旋转曲线叫做旋转曲面的母线现在学习的是第66页，共133页（二）旋转曲面方程的规律性1、在oyz平面上的曲线绕 轴旋转所成的旋转曲面方程为，在方程 中以 以 而得到的方程 ，即为旋转曲面方程。绕Z轴旋转所成的旋转曲面方程为，现在学习的是第67页，共133页在方程 中，以 ，以 ，而得到旋转曲面的方程2、在oxz平面,oxy平面上的曲线绕坐标轴旋转也有相同的规律性。现在学习的是第68页，共133页（三）圆锥面

15、：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面叫做圆锥面，两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角 叫做圆锥面的半顶角。现在学习的是第69页，共133页例4试建立顶点在坐标原点O旋转轴为Z轴，半顶角为 的圆锥面的方程。现在学习的是第70页，共133页例5将xoz坐标面上的双曲线 分别绕 轴和Z轴 旋转一周，求所生成的旋转曲面的 方程。现在学习的是第71页，共133页三、柱面例6方程 表示怎样的曲面？现在学习的是第72页，共133页（二）柱面、准线、母线的定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线 叫做柱面的母线。（三）柱面方程的特点

16、1.对于一个柱面来说，当柱面的母线平行于坐标轴时，柱面的方程不含对应的坐标，反之，一个不包含某个坐标的方程表示母线平行于对应坐标轴的柱面。现在学习的是第73页，共133页2.只含 而缺 的方程 在空间直角坐标系中表示母线平行于 轴的柱面，其准线是 面上的曲线现在学习的是第74页，共133页例7画出方程 所表示的曲面 现在学习的是第75页，共133页例8说明下列旋转曲面是怎样形 成的？现在学习的是第76页，共133页四、二次曲面（1）椭圆锥面 现在学习的是第77页，共133页平面 与曲面 的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法现在学习的是第78页，共133页（2）椭球面

17、现在学习的是第79页，共133页（3）单叶双曲面 现在学习的是第80页，共133页（4）双叶双曲面现在学习的是第81页，共133页（5）椭圆抛物面 现在学习的是第82页，共133页（6）双曲抛物面现在学习的是第83页，共133页（7）还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。现在学习的是第84页，共133页7-4 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程（一）定义：同时属于两个曲面的点的轨迹叫做空间曲线，空间曲线是两个曲面的交线。现在学习的是第85页，共133页（二）空间曲线的一般方程 是两个已知曲面的方程，坐标满足方程组：的点的轨迹是一条空间曲线，我们

18、把方程组（1）叫做空间曲线的一般方程。现在学习的是第86页，共133页例1方程组 表示怎样的曲线。现在学习的是第87页，共133页例2方程组表示怎样的曲线。现在学习的是第88页，共133页二、空间曲线的参数方程（一）定义：如果把曲线C看作是动点的轨迹，动点的坐标又是参数t的函数 当给定 时，就得到C上的点 ，随着t的变动便可得到曲线C上的全部点，该方程组叫做空间曲线的参数方程。现在学习的是第89页，共133页（二）通过曲面 的曲面束方程 设曲线 的方程为 ，则对任意实数 即为通过曲面 的曲面束方程，其中 不全为零现在学习的是第90页，共133页（三）空间曲线 与曲面的交点 设曲线 的方程为 及

19、曲面 ，则曲线与曲面的交点坐标为方程组 的解 现在学习的是第91页，共133页例4如果空间一点M在圆柱面 上以角速度 绕Z轴旋转，同时又以线速度 沿平行于Z轴的正方向上升（其中 都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。现在学习的是第92页，共133页三、空间曲线在坐标面上的投影（一）定义：设有空间曲线C的一般方程为 以曲线C为准线，母线平行于z轴 的柱面叫做曲线C关于 的投影柱面，投影柱面与 的交线叫空间曲线C在的投影曲线，简称投影。现在学习的是第93页，共133页例6已知两球面的方程为 （1）和 （2）求它们的交线C在 面上 的投影方程。现在学习的是第94页，共133页例

20、7设一个立体由上半球面 和锥面 所围成，求它 在 面上的投影。现在学习的是第95页，共133页例8求旋转抛物面在三坐标面上的投影。现在学习的是第96页，共133页例5将曲线 化成参数方程。现在学习的是第97页，共133页例9求上半球与圆柱体的公共部分在 面和 面上的投影。现在学习的是第98页，共133页7-5 平面及其方程一、平面的点法式方程（一）平面的法线向量 如果一非零向量垂直于一平面，这个向量叫做该平面的法线向量。现在学习的是第99页，共133页（二）平面的点法式方程 已知平面的法向量 及平面上一点 把由平面上一点及平面的法向量所确定的平面方程；叫做平面的点法式方程。现在学习的是第100

21、页，共133页例1已知一个平面通过点 并且垂直于 与点 的连线，求平面方程。现在学习的是第101页，共133页例2求过三点的平面的方程。现在学习的是第102页，共133页二、平面的一般方程平面和三元一次方程的关系 每个平面的方程都是三元一次方程，而每个三元一次方程又都确定一个平面.现在学习的是第103页，共133页（二）平面的一般方程及法向量 把方程 叫做平面的一般式方程，它的法向 量现在学习的是第104页，共133页例3一个平面过两点且垂直于平面 ，求此平面方程。现在学习的是第105页，共133页几种特殊的平面方程1.当 时,方程为 ,它表示一个通过原点的平面。2.当 时,方程为 ,它表示法

22、线向量 垂直于轴,方程表示一个平行于 轴的平面。3.当 时,方程 ,它表示一个法线向量 垂直于轴,方程表示一个平行于 面的平面。现在学习的是第106页，共133页例4求通过 轴和点 的平面的方程。现在学习的是第107页，共133页例5一平面通过原点，而且与平面都垂直，求此平面方程。现在学习的是第108页，共133页平面的截距式方程平面的截距式方程 例6.设一平面与 轴的交点依次为 三点求此平面的方程 。现在学习的是第109页，共133页三、两平面的夹角（一）定义：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。现在学习的是第110页，共133页(二)两平面的夹角公式的求法 设两平面的法向

23、量分别为则两平面的夹角 可由 来确定。现在学习的是第111页，共133页例7求两平面的夹角。现在学习的是第112页，共133页两平面互相垂直、平行与重合的充要条件两平面互相垂直、平行与重合的充要条件 设两个平面的法向量为 1.两平面互相垂直2.两个平面平行3.两个平面重合现在学习的是第113页，共133页例8证明：（1）与平面 平行。（2）平面 垂直。现在学习的是第114页，共133页点到平面的距离例9设 是平面 外一点，求 到这平面的 距离。现在学习的是第115页，共133页例10试求平行平面 间的距离。现在学习的是第116页，共133页一、空间直线的一般方程（一）空间直线的一般方程把方程组

24、叫做空间直线的一般方程。7-6 空间直线及其方程现在学习的是第117页，共133页二、空间直线的对称式方程与参数方程（一）相关定义：1、直线的方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。2、直线的一组方向数：直线的任一方向向量 的坐标 叫做这直线的一组方向数。现在学习的是第118页，共133页（二）直线的对称式方程或点向式方程 设直线L的方向向量为 ，直线L过点 把 叫做直线的对称式方程或点向式方程。现在学习的是第119页，共133页（三）直线的参数方程 直线的对称式方程为 该方程组叫做直线的参数方程。现在学习的是第120页，共133页例1用对称式方程及参数

25、方程 表示直线 。现在学习的是第121页，共133页例2 试求通过点且平行平面又与直线 相交的直线方程。现在学习的是第122页，共133页例3已知质点M以 为起点，以21米秒的速度，在向量 的方向上作直线运动，试求质点M的运动方程。现在学习的是第123页，共133页三、两直线夹角（一）两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角），叫做两直线的夹角。特别的当两直线互相垂直或平行时，夹角分别是现在学习的是第124页，共133页（二）两直线的夹角公式 设直线 的方向向量依次为则两直线的夹角 可由来确定现在学习的是第125页，共133页(三)两直线平行或垂直的充要条件 设直线 的方向向量依次为1

26、.两直线互相垂直2.两直线互相平行或重合现在学习的是第126页，共133页例4求直线 和 的夹角现在学习的是第127页，共133页例5试证下列两条直线 和 重合。现在学习的是第128页，共133页四、直线与平面的夹角（一）定义：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 。现在学习的是第129页，共133页直线与平面的夹角公式的求法 设直线的方向向量为平面的法线向量为则直线与平面的夹角 可由 来确定现在学习的是第130页，共133页 直线与平面平行、重合或垂直的充要条件 设直线的方向向量为平面的法线向量为1.直线与平面平行或直线在平面上2.直线与平面垂直现在学习的是第131页，共133页例6求过点 且与平面 垂直的直线方程。现在学习的是第132页，共133页例7求与两平面的交线平行且过点的直线的方程现在学习的是第133页，共133页