导数与微分导数的概念.ppt

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1、导数与微分导数的概念现在学习的是第1页，共60页一、引言一、引言典型背景示例典型背景示例 例例 自由落体在某时刻的瞬时速度自由落体在某时刻的瞬时速度 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小无穷小量量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。现在学习的是第2页，共60页 1 1危机的引发危机的引发 1 1）牛顿的）牛顿的“无

2、穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的某一时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求。在牛顿之前，只能求一段时间内的一段时间内的平均速度平均速度，无法求某一时刻的，无法求某一时刻的瞬时速度。瞬时速度。现在学习的是第3页，共60页 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。

3、我是固定的重力加速度。我们要求物体在们要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求 。（*）现在学习的是第4页，共60页现在学习的是第5页，共60页 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。现在学习的是第6页，共60页 2 2）贝克莱的发难）贝克莱

4、的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。顿的理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个量，究作为一个量，究竟是不是竟是不是0 0？现在学习的是第7页，共60页 如果是如果是0 0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0 0，就，就没有意义了。如果不是没有意义了。如果不是0 0，上式右端的，上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。在推出上式时，假定了在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式才能做除法，所以上式的成立是以的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？

5、而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0 0，得出，得出5=35=3一样的荒谬。一样的荒谬。（*）现在学习的是第8页，共60页 贝克莱还讽刺挖苦说：既然贝克莱还讽刺挖苦说：既然 和和 都都变成变成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，了，而无穷小作为一个量，既不是既不是0 0，又不是非，又不是非0 0，那它一定是，那它一定是“量的鬼量的鬼魂魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是家提出的，但是现在学习的是

6、第9页，共60页贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近数学家在将近200200年的时间里，不能彻底反驳年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。底地反驳了贝克莱的责难。现在学习的是第10页，共60页 3 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛

7、顿和当时的其的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的

8、唯一标准。”现在学习的是第11页，共60页 危机的实质危机的实质 应该说，第二次数学危机的实质是应该说，第二次数学危机的实质是极限极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。现在学习的是第12页，共60页 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。种说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓当然，牛顿也曾在他的著作中说明

9、，所谓“最最终的比终的比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为0 0还不是还不是0 0时的比时的比例如（例如（*）式中的）式中的gtgt，它不是，它不是“最终的量的比最终的量的比”，而是，而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词，这个词，但并没有明确说清这个词的意思。但并没有明确说清这个词的意思。现在学习的是第13页，共60页 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出但是也没有明确给出极限的定义极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，正因为如此，此后近二百年间的数学

10、家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学危引发的第二次数学危机，机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。论作为微积分学的基础。现在学习的是第14页，共60页牛顿莱布尼茨现在学习的是第15页，共60页 2 2危机的解决危机的解决 1 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。的一块心病。现在学习的是第16页，共60页 而且，随着时间

11、的推移，研究范围的扩大，而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。现在学习的是第17页，共60页 因因 此此，进进 入入1 19 9世世 纪纪 时时，一一 方方 面面 微微 积积分分取取得得的的成成就就超超出出人人们们的的预预料

12、料，另另一一方方面面，大大量量的的数数学学理理论论没没有有正正确确、牢牢固固的的逻逻辑辑基基础础，因因此此不不能能保保证证数数学学结结论论是是正正确确无无误的。误的。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。现在学习的是第18页，共60页 2 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到1919世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，应该指出，严格的极限理论严格的极限理论的建立是的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。现在学

13、习的是第19页，共60页 在在1818世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。粗糙的。达朗贝尔（法）在达朗贝尔（法）在17541754年指出，必须用可靠的理论去代年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。理论。1919世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书中包含许多真一书中包含许多真知灼见。知灼见。现在学习的是第20页，共60页 而做出

14、决定性工作、可称为分析学的奠基而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是人的是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,1789A.L.Cauchy,178918571857）。他在）。他在1821182118231823年间出版的年间出版的分析分析教程教程和和无穷小计算讲义无穷小计算讲义是数学史上划是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。的差不太多了。现在学习的是第2

15、1页，共60页柯西波尔查诺波尔查诺现在学习的是第22页，共60页 3 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限理后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。人们想象的要深奥得多。现在学习的是第23页

16、，共60页 一件事是，一件事是，18741874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.WeirstrassK.T.W.Weirstrass，1815181518971897）构造了一个）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。“连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断，函数曲线没有间断，连在一起连在一起”，而，而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函函数曲线在该点有切线数曲线在该点有切线”。所以，在直观上。所以，在直观上“连续连续”与与“可导可导”有密切的联系。有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续点

17、上都这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。现在学习的是第24页，共60页 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(1815(18151897)1897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员

18、，1864年升为教授。现在学习的是第25页，共60页 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数，是奇数，。现在学习的是第26页，共60页 另一件事是德国数学家黎曼（另一件事是德国数学家黎曼（B.RiemannB.Riemann，1826182618661866）发现，柯西把定积分限制于连续）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。续，其定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是黎曼还造出一个函数，

19、当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。（x为为无理数时无理数时 y=0；x=q/p既约时y=1/p ）现在学习的是第27页，共60页 黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。现在学习的是第28页，共60页 这这 些些 例例 子子 使使 数数 学学 家家

20、 们们 越越 来来 越越 明明白白，在在 为为 分分 析析 建建 立立 一一 个个 完完 善善 的的 基基 础础方方 面面，还还 需需 要要 再再 前前 进进 一一 步步：即即需需 要要理解和阐明实数系的更深刻的性质。理解和阐明实数系的更深刻的性质。现在学习的是第29页，共60页 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德德 国国 数数 学学 家家 魏魏 尔尔 斯斯 特特 拉拉 斯斯（K a r l Weierstrass，1 8 1 5 1 8 9 7）的的 努努 力力，终终 于于 使使分分 析析 学学 从从 完完 全全 依依 靠靠 运运 动动 学学、直直 观观 理理 解解 和和 几几 何何

21、概概念念 中中 解解 放放 出出 来来。他他 的的 成成 功功 产产 生生 了了 深深 远远 的的 影影 响响，主主 要要 表表 现现 在在 两两 方方 面面，一一 方方 面面 是是 建建 立立 了了 实实 数数 系系，另一方面是创造了精确的另一方面是创造了精确的“”语言。语言。现在学习的是第30页，共60页 “”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在：这这一一语语言言给给出出极极限限的的准准确确描描述述，消消除除了了历历史史上上各各种种模模糊糊的的用用语语，诸诸如如“最最 终终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这这样样一一来来，分分析析中中的的所所有有基基本本概概念念都都可

22、可以以通通过过实实数数和和它它们们的的基基本本运运算算和和关关系系精精确地表述出来。确地表述出来。现在学习的是第31页，共60页 4 4）极限的）极限的“”定义及定义及“贝克贝克莱悖论莱悖论”的消除的消除 极限的极限的“”定义定义现在学习的是第32页，共60页 危机的消解危机的消解“”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述，消除这一语言给出极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如了历史上各种模糊的用语，诸如“最终最终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算

23、和关系精可以通过实数和它们的基本运算和关系精确地表述出来。确地表述出来。现在学习的是第33页，共60页 定义：设函数定义：设函数 在在 的附近都有定的附近都有定义，如果有一个确定的实数义，如果有一个确定的实数 都都 ，使当，使当 时，时，有有 我们就说我们就说“函数函数 在在 趋近于趋近于 时，时，有极限有极限 ”。记为记为 。现在学习的是第34页，共60页 由极限的这个由极限的这个“”定义，可以求定义，可以求出一些基本的极限，并严格地建立一整套出一些基本的极限，并严格地建立一整套丰富的极限理论。简单说，例如有丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等；两个相等的函数，取极

24、限后仍相等；两个函数，和的极限等于极限的和。两个函数，和的极限等于极限的和。等等。等等。现在学习的是第35页，共60页 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（回到牛顿的（*）式上：）式上：（*）这是在这是在 （即（即 ）条件下，得到的等式；它表明）条件下，得到的等式；它表明 时间内物体的平均速度为时间内物体的平均速度为 。（。（*）式等号两边）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当定义为：上述平均速度当 趋于趋于0时的极限，即时的极限，即 物体在物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度=。现在学习的是第

25、36页，共60页 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取极限极限 ，根据，根据“两个相等的函数取两个相等的函数取极限后仍相等极限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 瞬时速度瞬时速度现在学习的是第37页，共60页 上述过程所得结论与牛顿原先的结论上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。础。“贝克莱悖论贝克莱悖论”的焦点的焦点“无穷小量无穷小量 是是不是不是0 0？”，在这里给出了明确的回答：

26、，在这里给出了明确的回答：。这里也没有这里也没有“最终比最终比”或或“无限趋近于无限趋近于”那样含糊不清的说法。那样含糊不清的说法。现在学习的是第38页，共60页 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。固。柯西柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立微积分基础的建立微积分基础的“逻辑顺序逻辑顺序”是：是：

27、实数理论实数理论极限理论极限理论微积分。微积分。而而“历史顺序历史顺序”则正好相反。则正好相反。现在学习的是第39页，共60页知识的知识的逻辑顺序逻辑顺序与与历史顺历史顺序序有时是有时是不同不同的的.现在学习的是第40页，共60页第一节、导数的概念第一节、导数的概念1.导数定义：导数定义：现在学习的是第41页，共60页注意注意1 导数的等价定义：导数的等价定义：现在学习的是第42页，共60页现在学习的是第43页，共60页导数的物理意义现在学习的是第44页，共60页 例例 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？现在学习的是第45页，共60页现在学习的是第46页

28、，共60页现在学习的是第47页，共60页第一节、导数的概念第一节、导数的概念1.导数定义：导数定义：现在学习的是第48页，共60页注意注意1 导数的等价定义：导数的等价定义：现在学习的是第49页，共60页注意注意2 导数的意义：导数的意义：物理意义物理意义几何意义几何意义 导数是函数在一点的变化率导数是函数在一点的变化率 现在学习的是第50页，共60页例例:线密度问题线密度问题现在学习的是第51页，共60页左导数左导数右导数右导数2.单侧导数定义：单侧导数定义：定理：定理：现在学习的是第52页，共60页3.导函数定义：导函数定义：现在学习的是第53页，共60页定理定理2：证证注意注意 可导必连续可导必连续,连续不一定可导！连续不一定可导！现在学习的是第54页，共60页解解现在学习的是第55页，共60页尖点尖点现在学习的是第56页，共60页解解有铅垂切线有铅垂切线现在学习的是第57页，共60页解解振荡振荡不存在不存在！现在学习的是第58页，共60页现在学习的是第59页，共60页解解现在学习的是第60页，共60页