无穷级数疑难分析讲座.ppt

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1、关于无穷级数疑难分析讲座现在学习的是第1页，共42页 无穷级数主要内容无穷级数主要内容一、常数项无穷级数一、常数项无穷级数二、幂级数二、幂级数三、傅立叶级数（三角级数）三、傅立叶级数（三角级数）现在学习的是第2页，共42页（1）正项级数收敛的充分必要条件）正项级数收敛的充分必要条件:1、正项级数的判敛法、正项级数的判敛法:一一.常数项无穷级数常数项无穷级数正项级数正项级数收敛收敛例如例如 证明证明:现在学习的是第3页，共42页 设设 和和 都是正项级数，且可找到正数都是正项级数，且可找到正数 k 和自然数和自然数 N，(1)如果级数如果级数 收敛，则级数收敛，则级数 收敛。收敛。(2)如果级数

2、如果级数 发散，则级数发散，则级数 发散。发散。(2).比较判别法比较判别法(一般形式一般形式)：(大的收敛，小的必收敛大的收敛，小的必收敛)(小的发散，大的必发散小的发散，大的必发散)则则现在学习的是第4页，共42页应用比较判别法：应用比较判别法：(一般形式一般形式)（1）由观察初步估计级数的敛散性；）由观察初步估计级数的敛散性；（2）对一般项进行放缩。）对一般项进行放缩。说明：一般项的说明：一般项的“放缩放缩”是比较麻烦的！是比较麻烦的！而比较判别法的极限形式，则可而比较判别法的极限形式，则可 避免避免“放缩放缩”。收敛收敛,发散发散,现在学习的是第5页，共42页 比较判别法的极限形式比较

3、判别法的极限形式 设设 和和 都是正项级数，如果都是正项级数，如果则级数则级数 和和 同时收敛或同时发散。同时收敛或同时发散。说明：比较法的极限形式避免了一般项的说明：比较法的极限形式避免了一般项的“放缩放缩”！但仍需要确定但仍需要确定比较对象比较对象.收敛收敛,现在学习的是第6页，共42页(3).比值判别法比值判别法(达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)设设 是正项级数，如果是正项级数，如果(1)当当 时，则级数时，则级数 收敛；收敛；(2)当当 时，则级数时，则级数 发散；发散；(3)当当 时，敛散性无法确定。时，敛散性无法确定。优点：不必借助其他级数，根优点：不必借助其他级数，根据自身的结构进

4、行判别。据自身的结构进行判别。(需用其它方法需用其它方法)现在学习的是第7页，共42页(4).根值判别法根值判别法(柯西判别法柯西判别法)设设 是正项级数，如果是正项级数，如果(1)当当 时，则级数时，则级数 收敛；收敛；(2)当当 时，则级数时，则级数 发散；发散；(3)当当 时，敛散性无法确定。时，敛散性无法确定。优点：不必借助其他级数，根据优点：不必借助其他级数，根据自身的结构进行判别。自身的结构进行判别。(需用其它方法需用其它方法)现在学习的是第8页，共42页(4).积分判别法积分判别法(柯西积分判别法柯西积分判别法)设设 是正项级数，是正项级数，级数级数 和广义积分和广义积分 同时收

5、敛或同时发散。同时收敛或同时发散。现在学习的是第9页，共42页2、交错级数的敛散性、交错级数的敛散性 若交错级数若交错级数 满足如下条件：满足如下条件：则交错级数收敛。则交错级数收敛。莱布尼兹判别法：莱布尼兹判别法：现在学习的是第10页，共42页 任意项级数任意项级数发散发散非非用正项级数判别法用正项级数判别法收敛收敛绝对收敛绝对收敛用莱氏准则、定义或用莱氏准则、定义或 级数性质判别级数性质判别收敛收敛条件收敛条件收敛发散发散是是发散发散发散发散(附注附注)3.任意项级数任意项级数 的判敛法：的判敛法：注注:若用若用比值或根值比值或根值判别法判别法判得判得 发散，则发散，则 必发散必发散!现在

6、学习的是第11页，共42页4.记住几个基本级数：记住几个基本级数：（1）调和级数）调和级数发散；发散；（3）P-级数：级数：（2）几何（等比）级数）几何（等比）级数现在学习的是第12页，共42页5.几个常用结论几个常用结论:现在学习的是第13页，共42页例例1 填空题填空题现在学习的是第14页，共42页1.若正项级数若正项级数 收敛，则有收敛，则有()D例例2 选择题选择题现在学习的是第15页，共42页B(A).(1),(2);(B).(2),(3);(C).(3),(4);(D).(4),(1);现在学习的是第16页，共42页（A）绝对收敛；）绝对收敛；（B）条件收敛；）条件收敛；（C）发散

7、；）发散；（D）收敛性与）收敛性与a1有关有关.3.设设a1为任意常数，为任意常数，则级数则级数 （）C现在学习的是第17页，共42页B(2003年考研三年考研三)现在学习的是第18页，共42页绝对收敛级数与条件收敛级数的本质区别绝对收敛级数与条件收敛级数的本质区别:一个绝对收敛级数的正数项与负数项一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的所组成的级数都是收敛的;一个条件收敛级数的正数项与负数项一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的所组成的级数都是发散的.现在学习的是第19页，共42页例例3 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：说明：当常数项级数的一般项含有字母参数

8、时，说明：当常数项级数的一般项含有字母参数时，级数的敛散性通常与参数的取值范围有关。级数的敛散性通常与参数的取值范围有关。解：解：故原级数发散故原级数发散.原级数收敛原级数收敛.现在学习的是第20页，共42页例例4、设、设(1)求求 的值的值(2)试证：对任意常数试证：对任意常数 ，级数，级数 收敛。收敛。解：解：则则现在学习的是第21页，共42页则则 或或现在学习的是第22页，共42页例例5 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解:故原级数的绝对值级数发散故原级数的绝对值级数发散.由比较判别法知由比较判别法知,现在学习的是第23页，共42页发散发散.将将加括号加括号,得得因加括号以后的

9、级数发散因加括号以后的级数发散,故原级数发散故原级数发散.现在学习的是第24页，共42页例例6 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解:由比较判别法知由比较判别法知,它是发散的它是发散的.所以，原级数条件收敛。所以，原级数条件收敛。.现在学习的是第25页，共42页(2010级期末考题级期末考题,7分分)例例7:设设 为单调增加的正值数列为单调增加的正值数列,证明证明:因因 为单调递增正值数列为单调递增正值数列,.现在学习的是第26页，共42页收敛收敛.数列数列收敛收敛级数级数例例8 证明证明:收敛收敛收敛。收敛。部分和数列部分和数列证证:收敛收敛.数列数列连锁消元连锁消元现在学习的是第2

10、7页，共42页(2004级期末考题级期末考题,5分分)例例9:设设 为单调递减正值数列为单调递减正值数列,求证：级数求证：级数 收敛。收敛。证明证明:因因 为单调递减正值数列为单调递减正值数列,故故 收敛收敛,而而 .现在学习的是第28页，共42页二、幂级数二、幂级数2 2、已知、已知 ，求其收敛区间及和函数。，求其收敛区间及和函数。1 1、阿贝尔阿贝尔(Abel(Abel）定理。）定理。3 3、已知、已知f(x)f(x)，（用间接展开法）将其展开成幂级数。，（用间接展开法）将其展开成幂级数。重点：重点：现在学习的是第29页，共42页问题问题1：已知幂级数，求：已知幂级数，求和函数和函数：未知

11、和函数的幂级数未知和函数的幂级数已知和函数的幂级数已知和函数的幂级数 转化转化问题问题2：已知函数，求其：已知函数，求其幂级数展开式幂级数展开式:（用间（用间接展开法接展开法）(1)求导与积分求导与积分（2）变量代换法）变量代换法（3）代数恒等变形）代数恒等变形主要用的主要用的“转化转化”方法如下方法如下:未知展开式的函数未知展开式的函数已知展开式的函数已知展开式的函数 转化转化现在学习的是第30页，共42页应记住的幂级数展开式应记住的幂级数展开式:现在学习的是第31页，共42页2.设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为3，则幂级数，则幂级数 的收敛区间的收敛区间（）.(不计端点不计端点)（

12、-2，4）1.例例1 填空题填空题1幂级数幂级数在在x=2收敛。收敛。（1，33.当当a取值范围为（取值范围为（）时，）时，现在学习的是第32页，共42页例例2 2 选择题选择题B现在学习的是第33页，共42页例例3 选择题选择题C现在学习的是第34页，共42页 例例4.将将 展开成展开成 x 的幂级数。的幂级数。(2006年考研一年考研一,12分分)解解:并求：并求：现在学习的是第35页，共42页的幂级数展开式唯一，的幂级数展开式唯一，故其中故其中x6的系数为：的系数为：是是f(x)的泰勒级数的泰勒级数现在学习的是第36页，共42页1 1、狄利克雷、狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分

13、条件(收敛定理收敛定理)；三三.傅里叶级数傅里叶级数2、f(x)的欧拉的欧拉傅里叶系数公式；傅里叶系数公式；3 3、常见题型：、常见题型：（1）求傅里叶级数的和函数）求傅里叶级数的和函数S(x)；（3）将定义在）将定义在 上的上的函数函数f(x)展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。（4）将定义在）将定义在 上的上的函数函数 f(x)展开展开 成正弦级数或余弦级数。成正弦级数或余弦级数。（2）将以）将以 为周期的周期函数为周期的周期函数f(x)展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。（6）证明题。）证明题。(5)将定义在将定义在 a,a+2l上的函数上的函数f(x)展开为以展开为以2l为周期为周期的傅里叶级数。的傅里叶级数。需做变量代换需做变量代换 t=x-(a+l)现在学习的是第37页，共42页例：例：1 设设f(x)是以是以 2 为周期的周期函数，它在为周期的周期函数，它在(-1.1上定义为：上定义为：则则f(x)的傅里叶级数在的傅里叶级数在x=1处收敛于（处收敛于（）。）。现在学习的是第38页，共42页以以 为周期的函数为周期的函数f(x)的的欧拉欧拉傅里叶系数傅里叶系数：亦可为亦可为故故补充说明补充说明:现在学习的是第39页，共42页解解:现在学习的是第40页，共42页同理可得同理可得完现在学习的是第41页，共42页感谢大家观看现在学习的是第42页，共42页