差分方程稳定性课件.ppt

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1、关于差分方程稳定性现在学习的是第1页，共15页1.1.差分方程模型差分方程模型 对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (1-1)若有若有xn=x(n),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(1-1)的的解解,包含个任意常数包含个任意常数的解称为的解称为(1-1)的的通解通解,x0,x1,xk-1为已知时称为为已知时称为(1-1)的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为解称为(1-1)的的特解特解.若若x0,x1,xk-1已知已知,则形如则形

2、如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.现在学习的是第2页，共15页 若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(1-1)的解的解,即即F(n;a,a,a)=0,则称则称 a是差分方程是差分方程(1-1)的的平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的解的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数为常数,且且a-1,0)的通解为的通解为xn=C

3、(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点,由上式知由上式知,当且仅当当且仅当|a|1时时,b/(a+1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点.现在学习的是第3页，共15页 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中其中a,b,r为常数为常数.当当r=0时时,它有一特解它有一特解x*=0；当当r 0,且且a+b+1 0时时,它有一特解它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形不管是哪种情形,x*是其平衡点是其平衡点.设其特征方程设其特征方程 2+a +b=0的两个根分别为的两个根分别为 =1,=2.现在学习的是第4页，共15页

4、当当 1,2是两个不同实根时是两个不同实根时,二阶常系数线性差二阶常系数线性差分分方程的通解为方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数线性二阶常系数线性差分差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复根时是一对共轭复根时,二二阶常系数线性差分阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知易知,当且仅当特征方程的任一特征根当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的.则则现在学习的

5、是第5页，共15页对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解出解出.为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性,将上述差分方程近似为将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程时时,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分方程的稳定性相同稳定性相同.因此因此当当时时,x*是不稳定的是不稳定的.当当时时,x*是稳定的；是稳定的；当当现在学习的是第6页，共15页2.建模实例：差分形式的阻滞增长模型建模实例：差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长

6、模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点现在学习的是第7页，共15页离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点现在学习的

7、是第8页，共15页(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识(刚学过的刚学过的):一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性现在学习的是第9页，共15页01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定现在学习的是第10页，共15页01/2101的平衡点及其稳

8、定性的平衡点及其稳定性现在学习的是第11页，共15页初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3,xb=3.3,x两个极两个极限点限点b=3.45,x4个极个极限点限点b=3.55,x8个极个极限点限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.

9、2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55现在学习的是第12页，共15页倍周期收敛倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛单周期不收敛2倍周期收敛倍周期收敛(*)的平衡点的平衡点x*不稳定，研究不稳定，研究x1*,x2*的稳定性的稳定性现在学习的是第13页，共15页倍周期收敛倍周期收敛的稳定性的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0现在学习的是第14页，共15页感谢大家观看现在学习的是第15页，共15页