复变函数与积分变换级数和序列的基本性质讲稿.ppt

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1、复变函数与积分变换级数和序列的基本性质第一页，讲稿共四十六页哦1.复数列复数列一、一、复数列和复数项级数复数列和复数项级数第二页，讲稿共四十六页哦定理定理1第三页，讲稿共四十六页哦2.复数项级数复数项级数第六页，讲稿共四十六页哦定理定理2 复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件定理定理3 复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件第七页，讲稿共四十六页哦3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理定理5定理定理4第八页，讲稿共四十六页哦第九页，讲稿共四十六页哦柯西乘积柯西乘积第十三页，讲稿共四十六页哦练习练习第十四页，讲稿共四十六页哦设设

2、fn(n)(n=1,2,),在在复复平平面面点点集集E上上有有定定义义，那那么：么：是定义在点集是定义在点集E上的复变函数项级数，记为上的复变函数项级数，记为设设函函数数f(z)在在E上上有有定定义义，如如果果在在E上上每每一一点点z，此此级级数数都都收收敛敛于于f(z)，那那么么我我们们说说它它在在E上上收收敛敛(于于f(z)，或者此级数在，或者此级数在E上有和函数上有和函数f(z)，记作，记作二、复变函数项级数和复变函数序列二、复变函数项级数和复变函数序列第十五页，讲稿共四十六页哦设设是是E上的复变函数列，记作上的复变函数列，记作第十六页，讲稿共四十六页哦注解注解1注解注解2第十七页，讲稿

3、共四十六页哦一一致致收收敛敛如如果果任任给给 ，可可以以找找到到一一个个只只与与 有有关关，而与而与z无关的正整数无关的正整数 ，使得当，使得当 时，有时，有或或那那么么我我们们说说级级数数 或或序序列列 在在E上上一一致致收收敛（于敛（于f(z)或或 ）。）。2.基本理论基本理论 第十八页，讲稿共四十六页哦注解：注注解解1、和和实实变变函函数数项项级级数数和和序序列列一一样样，我我们们也也有有相相应应的柯西一致收敛原理：的柯西一致收敛原理：柯柯西西一一致致收收敛敛原原理理（复复变变函函数数项项级级数数）：复复变变函函数数项项级级数数 在在E上上一一致致收收敛敛的的必必要要与与充充分分条条件件

4、是是：任任给给 ，可可以以找找到到一一个个只只与与 有有关关，而而与与z无无关关的的正整数正整数 ，使得当，使得当 ，p=1,2,3,时，有时，有第十九页，讲稿共四十六页哦柯柯西西一一致致收收敛敛原原理理（复复变变函函数数序序列列）：复复变变函函数数序序列列fn(n)在在E上上一一致致收收敛敛必必要要与与充充分分条条件件是是：任任给给 ，可可以以找找到到一一个个只只与与 有有关关，而而与与z无无关关的的正正整整数数 ，使得当，使得当时，有时，有注解：第二十页，讲稿共四十六页哦注解：注注解解2、一一致致收收敛敛的的魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法（M-判判别别法法）：设在复平面点集：设在复平

5、面点集E上上有定义，并且设有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在是一个收敛的正项级数。设在E上，上，那么级数那么级数 在在E上一致收敛。上一致收敛。第二十一页，讲稿共四十六页哦定理1、2：定定理理2.1 设设复复平平面面点点集集E表表示示区区域域、闭闭区区域域或或简简单单曲曲线。设在集线。设在集E上上fn(n)(n=1,2,),连连续续，并并且且级级数数 或或序序列列 在在E上上一一致致收敛于收敛于f(z)或或 ，那么，那么f(z)或或 在在E上连续。上连续。定理定理2.2 设在简单曲线设在简单曲线C上上fn(n)(n=1,2,),连连续续，并并且且级级数数 或或序序列列fn(n)在在C上上

6、一一致致收收敛于敛于f(z)或或 ，那么，那么或或第二十二页，讲稿共四十六页哦注解：注注解解1、在在研研究究复复变变函函数数项项级级数数和和序序列列的的逐逐项项求求导导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注注解解2、我我们们主主要要用用莫莫勒勒拉拉定定理理及及柯柯西西公公式式来来研研究究和和函数与极限函数的解析性及其导数。函数与极限函数的解析性及其导数。第二十三页，讲稿共四十六页哦内闭一致收敛：设函数序列设函数序列在复平面在复平面C上的区域上的区域D内解析。如果级数内解析。如果级数序列序列fn(n)在在D内任一有界闭区域（或在一个紧内任一有界

7、闭区域（或在一个紧集集）上上一一致致收收敛敛于于f(z)或或 ，那那么么我我们们说说此此级级数数或或序序列列在在D中中内内闭闭（或或内内紧紧）一一致致收收敛敛于于f(z)或或 。第二十四页，讲稿共四十六页哦定理3：定理定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数（魏尔斯特拉斯定理）设函数在区域在区域D内解析，并且级数内解析，并且级数 或序列或序列fn(n)在在D内闭一致收敛于函数内闭一致收敛于函数f(z)或或 ，那么，那么f(z)或或 在区域在区域D内解析，并且在内解析，并且在D内内或或第二十五页，讲稿共四十六页哦定理3的证明（级数）：证明：先证明证明：先证明f(z)在在D内任一点内任一点z0解析，取

8、解析，取z0的一个邻域的一个邻域U，使其包含在，使其包含在D内，在内，在U内作一条简单内作一条简单闭曲线闭曲线C。由定理。由定理2.2以及柯西定理以及柯西定理因为根据莫勒拉定理，可见因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在在U内解析。再由内解析。再由于于z0是是D内任意一点，因此内任意一点，因此f(z)在在D内解析。内解析。其次，设其次，设U的边界即圆的边界即圆K也在也在D内，于是内，于是第二十六页，讲稿共四十六页哦定理3的证明（级数）：对对于于 一一致致收收敛敛于于 。由由定定理理2.2，我我们有们有也就是也就是因此，定理中关于级数的部分证明结束。因此，定理中关于级数的部分证明结束。第二十七页，讲

9、稿共四十六页哦定理3的证明（序列）：对于序列，我们也先证明对于序列，我们也先证明 在在D内任一点内任一点z0取取它它的的一一个个邻邻域域U，使使其其包包含含在在D内内，在在U内内作作一一条条简单闭曲线简单闭曲线C。由定理。由定理2.2以及柯西定理以及柯西定理因因为为根根据据莫莫勒勒拉拉定定理理，可可见见 在在U内内解解析析。再再由由于于z0是是D内任意一点，因此内任意一点，因此 在在D内解析。内解析。其次，设其次，设U的边界即圆的边界即圆K也在也在D内，于是内，于是第二十八页，讲稿共四十六页哦定理3的证明：对对于于 一一致致收收敛敛于于 。由由定定理理2.2，我我们有们有也就是也就是因此，定理

10、中关于序列的部分证明结束。因此，定理中关于序列的部分证明结束。第二十九页，讲稿共四十六页哦3.幂级数幂级数其中其中 a a0,a a1,a a2,z0都是复常数都是复常数.第三十页，讲稿共四十六页哦1.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理三、幂级数的敛散性质三、幂级数的敛散性质收敛收敛发散发散证明证明第三十一页，讲稿共四十六页哦2.收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径对一个幂级数来说对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种它的收敛情况不外乎三种:1)对所有的正实数都是收敛的对所有的正实数都是收敛的.这时这时,根据根据 阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝 对收敛对收敛.

11、2)对所有的正实数除对所有的正实数除z=0外都是发散的外都是发散的.这时这时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.第三十四页，讲稿共四十六页哦收敛半径收敛半径收敛圆周收敛圆周收敛圆收敛圆第三十五页，讲稿共四十六页哦例如例如,级数级数:收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.第三十六页，讲稿共四十六页哦3.收敛半径的求法收敛半径的求法第三十七页，讲稿共四十六页哦解答解答第三十八页，讲稿共四十六页哦4.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质第四十四页，讲稿共四十六页哦第四十五页，讲稿共四十六页哦注：注：例例4第四十六页，讲稿共四十六页哦