随机变量 .ppt

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1、随机变量 现在学习的是第1页，共80页第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数定义定义1 1称为随机变量称为随机变量X的分布的分布函数。函数。定义定义2:设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数（也可以定义其他形式）现在学习的是第2页，共80页上一上一页下一下一页返回返回 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量量 X 的分布函数的分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是鉴别一个函数是否是某是否是某r.v的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.现在学习的是第3页，共

2、80页试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数.解：解：注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，不满足性上下降，不满足性质质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.不满足性质不满足性质(2)，可见可见F(x)不能是不能是r.v 的分布函数的分布函数.或者或者现在学习的是第4页，共80页 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述性就可以得到全面的描述.现在学习的是第5页，共80页 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格形式表示如下：分布律常用表

3、格形式表示如下：设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk(k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk,即即称为称为随机变量随机变量X的概率分布或分布律的概率分布或分布律。上一上一页下一下一页返回返回pkp1p2pkX x1x2xk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可数无限多如果随机变量所有的可能取值为有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量.现在学习的是第6页，共80页分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质：上一上一页下一下一页返回返回用这两条性质判断一个数列是否是分布律例例 从从1，2，3，4，5个数中

4、任取三个数，以个数中任取三个数，以X表示表示 三个数中最大者，求三个数中最大者，求 X的分布律的分布律.解解 X的可能取值为的可能取值为3，4，5所以所以X的分布律为：的分布律为：3 4 5P0.60.10.3现在学习的是第7页，共80页分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系(1)确定常数确定常数a的值的值;(2)求求的分布函数的分布函数.pa 因此因此解解 (1)由分布律的性质知由分布律的性质知的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量例例X 现在学习的是第8页，共80页(2)(2)由分布函数定义得由分布函数定义得的分布函数为：的分布函数为：上一上一页下一下一页返回返回 由例题可看出离散

5、型随机变量的由例题可看出离散型随机变量的F(x)的图形是阶梯的图形是阶梯状的图形状的图形.习题册现在学习的是第9页，共80页两点分布两点分布 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1 或或x2 两值，它的分布两值，它的分布律是律是则称则称X服从参数为服从参数为p的两点分布的两点分布.特别，当特别，当x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布）分布.简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第10页，共80页 对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，元素，现在

6、学习的是第11页，共80页若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为二项分布二项分布其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意正整数），则对任是任意正整数），则对任意一固定的非负整数意一固定的非负整数k，有有定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。因此必定很小。因此当当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 其中其中=np。现在学习的是第15页，共80页上一上一页下一下一页返回返回近似值的效果颇佳近似值的效果颇佳.作为作为 在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 现在学习的是第16页，共80页泊松泊松(Poisson)分布分布上一上一

7、页下一下一页返回返回其中其中0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记为的泊松分布，记为X P()。设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 现在学习的是第17页，共80页 泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件出现的泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件出现的次数次数k=0,1,2,的概率分布情况的一个数学模型的概率分布情况的一个数学模型.比如，大比如，大量产品中抽样检查时得到的不合格品数；一个集团中员工生量产品中抽样检查时得到的不合格品数；一个集团中员工生日是元旦的人数；一页中印刷错误出现的数目；数字通讯中日是元旦的人数；一页中印刷错误出现的数目；数字通讯中传输数字时

8、发生误码的个数等，都近似服从泊松分布传输数字时发生误码的个数等，都近似服从泊松分布.除此之外，它也可以作为下列随机变量的概率分布的除此之外，它也可以作为下列随机变量的概率分布的数学模型：在任给一段固定的时间间隔内，数学模型：在任给一段固定的时间间隔内，（1）由某块放射性物质放射出的经过计算器的）由某块放射性物质放射出的经过计算器的 粒子；粒子；（2）某地区发生交通事故的次数；）某地区发生交通事故的次数；（3）来到某公共设施要求给予服务的顾客数）来到某公共设施要求给予服务的顾客数.现在学习的是第18页，共80页例例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，一家商店采用科学管理，由该商店

9、过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为的泊松分布来描述，为了以了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某某种商品多少件？种商品多少件？解解设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,由已知，由已知，XP(5)设商店在月底应进设商店在月底应进某种商品某种商品m件件,求满足求满足PXm0.95 的最小的的最小的m.进货数销售数现在学习的是第19页，共80页求满足求满足 PXm0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得PXm 0.05也即也即于是得于是得 m+1=

10、10,或或即即m=9件件现在学习的是第20页，共80页 例例 考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0,1上任取一点，记录它的坐标上任取一点，记录它的坐标X，那么，那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0,1上上任一点的可能性相同，求任一点的可能性相同，求X的分布函数。的分布函数。当当x3.现在学习的是第37页，共80页设设 B表示表示“至少有两次观测值大于至少有两次观测值大于3”,现在学习的是第38页，共80页设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。指数分布指数分布X的分

11、布函数为的分布函数为 上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第39页，共80页f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第40页，共80页指数分布的重要性质指数分布的重要性质“无记忆性无记忆性”.证：证：现在学习的是第41页，共80页例例 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X E(1/2000)(单位单位:小时小时).(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管,求能正常使用求能正常使用1000小时以上的概率小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了2000 小时以上小时以上,求还求还能使用能使用1000

12、小时以上的概率小时以上的概率.X 的分布函数为的分布函数为解解现在学习的是第42页，共80页现在学习的是第43页，共80页正态分布正态分布设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其中其中 ,(0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 ,的正态分的正态分布布,记为记为XN(,2).X的分布函数为的分布函数为 上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第44页，共80页正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征现在学习的是第45页，共80页现在学习的是第46页，共80页现在学习的是第47页，共80页 只要某一个随机变量受到许多只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素相互独

13、立随机因素的影响，的影响，而每个个别因素的影响都而每个个别因素的影响都不能起决定性不能起决定性作用，那么就可以断定作用，那么就可以断定随机变量服从或近似服从正态分布随机变量服从或近似服从正态分布,例如测量误差例如测量误差,人的生理特征人的生理特征尺寸如身高、体重等尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 现在学习的是第48页，共80页参数参数 =0，=1的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，记为，记为XN(0,1).其概率密度函

14、数和分布函数分别用其概率密度函数和分布函数分别用 和和 表示，即表示，即)(xj j2221)(xex-=pjdtexxt -=2221)(p pF F由图形：由图形：现在学习的是第49页，共80页解解例例现在学习的是第50页，共80页说明：说明：任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布化为标准正态分布.现在学习的是第51页，共80页例例 某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂

15、生产的电子元件的寿命服从正态分布选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布N(1100,502),乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于的寿命不低于1050小时，又如何？小时，又如何？解解设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和和Y，现在学习的是第52页，共80页两个概率如下：两个概率如下：比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品.现在学习的是第53页，共80页例例解解查表得查

16、表得故取故取现在学习的是第54页，共80页第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设设y=g(x)为一个通常的连续函数，为一个通常的连续函数，X为定义在概率空间上的为定义在概率空间上的随机变量，令随机变量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一个定义在概率空间上的也是一个定义在概率空间上的随机变量。随机变量。上一上一页下一下一页返回返回 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)，如何由，如何由 X 的分的分布求出布求出 Y 的分布？的分布？现在学习的是第55页，共80页一一、设设X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是是X的函数的函数Y=g(X)，那么，那么Y也是也

17、是离散型随机变量。离散型随机变量。对此类问题，先由对此类问题，先由X的取值的取值xk，（，（k=1,2）求出求出Y=g(X)的所有取值为的所有取值为yk=g(xk)，(k=1,2)；10 y=g(x)一对一一对一 (xk yk )则由则由X的分布律的分布律PX=xk=pk,k=1,2，便可得便可得Y的分布律：的分布律：PY=yk=pk,k=1,2现在学习的是第56页，共80页20 y=g(x)多对一多对一 (有限可加性有限可加性)现在学习的是第57页，共80页解：由解：由X的分布律可得的分布律可得 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1

18、 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18例例 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-1；（2）Y=-2X2的分布律。的分布律。现在学习的是第58页，共80页(2)Y=-2X2分布律为分布律为Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1由上表易得由上表易得Y的的 分布律分布律（1）Y=X-1的分布律为的分布律为Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3现在学习的是第59页，共80页二、二、设设X为连续型随机变量，具有概率密度为连续型随机变量

19、，具有概率密度 fX(x)。又。又Y=g(X)，在大部分情况下，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，求也是连续型随机变量，求Y的概的概率密度率密度fY(y)。现在学习的是第60页，共80页例例 设随机变量设随机变量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y).解解 X的概率密度为的概率密度为Y的概率密度为的概率密度为上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第61页，共80页定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x)。函数函数g(x)为（为（-，+）内的严格单调的可导函数，则）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连也是一个连续型随机变量，且续型随机

20、变量，且Y的概率密度函数为的概率密度函数为当函数当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有：可导且为严格单调函数时，有：其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数，的反函数，=min（g(-),g(+)）,=max（g(-),g(+)）.上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第62页，共80页例例 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度求求Y=2X+1的概率密度的概率密度fY(y).解解y=2x+1为严格单调且可导的函数，为严格单调且可导的函数，其反函数为其反函数为由上述定理得由上述定理得Y=2X+1的概率密度为的概率密度为 现在学习的是第63页，共80页例例 设随机

21、变量设随机变量XN()，求求Y=aX+b(a0)的概的概率密度率密度fY(y).y=ax+b为严格单调且可导的函数，其反函数为：为严格单调且可导的函数，其反函数为：由上述定理得由上述定理得Y=aX+b的概率密度为的概率密度为 解解 X的概率密度为：的概率密度为：上一上一页下一下一页返回返回现在学习的是第64页，共80页即有即有 取取 ，得，得 10 先判断函数的类型；先判断函数的类型；20 分别求出分别求出y的反函数，反函数的导数的反函数，反函数的导数形式及其值域；形式及其值域；30 套用定理套用定理.步骤步骤现在学习的是第65页，共80页第二章第二章 随机变量随机变量现在学习的是第66页，共

22、80页第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了为了更方便有力的研究随机现象更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数就需将任意的随机事件数量化量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就就建立起了随机变量的概念建立起了随机变量的概念现在学习的是第67页，共80页1、有些试验结果

23、本身与数量有关（本身就是一个数）、有些试验结果本身与数量有关（本身就是一个数）实例实例1 1 掷一颗骰子，观察出现的点数；掷一颗骰子，观察出现的点数；现在学习的是第68页，共80页2、在有些试验中，试验结果看来与数量无关，但可以、在有些试验中，试验结果看来与数量无关，但可以引进一个变量来表示它的各种结果引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验也就是说，把试验结果数量化结果数量化.实例实例2 2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出观察摸出球的颜色球的颜色.非数量非数量 =红色、白色红色、白色 将将 数量化数量化 现在学习的是第69页，共80页定

24、义定义1 1注注:（1 1）随机变量的取值随试验结果而定随机变量的取值随试验结果而定,具有一定具有一定的概率规律；的概率规律；（2）随机变量是定义在样本空间上的）随机变量是定义在样本空间上的.现在学习的是第70页，共80页实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币,观察出现的面观察出现的面,共有两个共有两个结果结果:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有即即 X 是一个随机变量是一个随机变量.现在学习的是第71页，共80页实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:若用若用 X 表示该家女孩子的个数

25、时表示该家女孩子的个数时,则有则有可得随机变量可得随机变量 X,现在学习的是第72页，共80页实例实例5 设某射手不断射击目标，直到击中目标为设某射手不断射击目标，直到击中目标为止止,是一个随机变量是一个随机变量.且且 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:实例实例6 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过分钟有一辆汽车通过,如果如果某人到达该车站的时刻是随机的某人到达该车站的时刻是随机的,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X的所有可能取值为的所有可能取值为:现在学习的是第73页，共80页二、引入二、引入随机变量的分类随机变量的分类现在学习的是第74页，共80页二、二、

26、随机变量的分类随机变量的分类现在学习的是第75页，共80页离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它现在学习的是第76页，共80页实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命中直至命中时的射击次数时的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:实例实例3 设某射手每次射击打中目

27、标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:现在学习的是第77页，共80页实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为现在学习的是第78页，共80页三、小结2.随机变量的分类随机变量的分类:离散型离散型、连续型连续型.1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象，就需将随机事件就需将随机事件数量化数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时把一些非数量表示的随机事件用数字表示时，就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念 因此因此随机变量是定义在随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数样本空间上的一种特殊的函数 现在学习的是第79页，共80页现在学习的是第80页，共80页