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1、第2章数制转换本讲稿第一页，共九十八页布尔代数布尔代数 Boolean algebra：用一种数学运算的代数系统描述人的逻辑思用一种数学运算的代数系统描述人的逻辑思维规律和推理过程。维规律和推理过程。1854年，由英国数学家年，由英国数学家George Boole在他的一篇论文在他的一篇论文思维规思维规律的研究律的研究（A investigation of the laws of thought）中提出，建立了计算机的）中提出，建立了计算机的计算符计算符号语言号语言中进行逻辑推理的基本规律。中进行逻辑推理的基本规律。逻辑代数逻辑代数 Switching algebra：在在1938年，由贝尔实

2、验室的研究人员年，由贝尔实验室的研究人员Claude E.Shannon指出如何将布尔代数的一些基本前提和定理指出如何将布尔代数的一些基本前提和定理应用于继电器的分析与描应用于继电器的分析与描述述，称为，称为二值布尔代数二值布尔代数，或开关，或开关代数代数。继电器是当时最常用的数字逻辑元件，继电。继电器是当时最常用的数字逻辑元件，继电器的接触状态（打开或闭合）用器的接触状态（打开或闭合）用0或或1表示。表示。逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计本讲稿第二页，共九十八页逻辑代数中的

3、几个概念逻辑代数中的几个概念 1.逻辑状态逻辑状态 Logic State：当事物的某些特性表现为两种当事物的某些特性表现为两种互不相容互不相容的状态，即的状态，即 某一时刻必出现且仅出现一种状态某一时刻必出现且仅出现一种状态 一种状态是另一种状态的反状态一种状态是另一种状态的反状态 则用符号则用符号0、1分别表示这两种状态，称逻辑分别表示这两种状态，称逻辑状态。状态。即：即：0 状态状态(0state)和和 1 状态状态(1state)一般，一般，0状态状态逻辑条件的假或无效，逻辑条件的假或无效，1状态状态逻辑条件的真或有效。逻辑条件的真或有效。(两种状态无大小之分两种状态无大小之分)2.1

4、 逻辑代数逻辑代数本讲稿第三页，共九十八页 2.逻辑变量逻辑变量 Logic Value：逻辑代数中的变量逻辑代数中的变量一般用大写字母一般用大写字母A、B、C、表示，逻辑变量的取值只有两表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑种，即逻辑0和逻辑和逻辑1。逻辑常量逻辑常量 Logic Constant：逻辑状态保持不变，取值逻辑状态保持不变，取值“0”或或“1”。3.逻辑电平逻辑电平 Logic Voltage：01LH逻辑状态逻辑状态逻辑电平逻辑电平正逻辑规定（约定）正逻辑规定（约定）注：本书均采用正逻辑约定。H H电平电平L L电平电平1状态0状态本讲稿第四页，共九十八页4.逻辑函数逻辑函数

5、Logic Function：对对于于任任何何一一个个电电路路，若若输输入入逻逻辑辑变变量量A、B、C、的的取取值值确确定定后后，其其输输出出逻逻辑辑变变量量F的的值值也也被被惟惟一一地地确确定定了了，则则可可以以称称F是是A、B、C、的的逻逻辑辑函函数数，并并记记为为 关系如下图所示：关系如下图所示：F=f(A,B,C)实现f(A,B,C)的逻辑网络ABF本讲稿第五页，共九十八页1 1与运算与运算AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮不亮不亮亮2.1.1 基本逻辑基本逻辑 与与 或或 非非设：开关闭合设：开关闭合=“1 1”开关不闭合开关不闭合=“0 0”灯亮，灯亮，L=1L=

6、1 灯不亮，灯不亮，L=0L=0 0101BLA0011输输 入入0001输出输出 与逻辑真值表与逻辑真值表 与与逻逻辑辑只只有有当当决决定定一一件件事事情情的的条条件件全全部部具具备备之之后后，这这件件事事情才会发生。情才会发生。本讲稿第六页，共九十八页1 1与运算与运算2.1.1 基本逻辑基本逻辑 与与 或或 非非0101BLA0011输输 入入0001输出输出 与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑表达式：与逻辑表达式：读作“L等于A与B”在不致于混淆的情况下，可以把符号“”省掉。在有些文献中，也采用、&等符号来表示逻辑乘本讲稿第七页，共九十八页2 2或运算或运算 或或逻逻辑辑当当决决定定一一件

7、件事事情情的的几几个个条条件件中中，只只要要有有一一个个或或一个以上条件具备，这件事情就发生。一个以上条件具备，这件事情就发生。AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮本讲稿第八页，共九十八页2 2或运算或运算AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮或逻辑表达式：或逻辑表达式：LA+B 0101BLA0011输输 入入0111输出输出 或逻辑真值表或逻辑真值表本讲稿第九页，共九十八页3 3非运算非运算 非非逻逻辑辑某某事事情情发发生生与与否否，仅仅取取决决于于一一个个条条件件，而而且且是是对对该该条条件件的的否否定定。即即条条件件具具备备时时事事情情不不发发

8、生生；条条件件不不具具备备时时事事情才发生。情才发生。A灯L闭合不闭合不亮亮本讲稿第十页，共九十八页3 3非运算非运算A灯L闭合不闭合不亮亮LA0110非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑表达式：非逻辑表达式：本讲稿第十一页，共九十八页1、逻辑乘基本运算规则为：00=0 01=0 10=0 11=1 0A=0 1A=A AA=A2.1.1 基本逻辑运算基本逻辑运算“有 0 则 0”本讲稿第十二页，共九十八页2、逻辑加运算规则为：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10+A=A 1+A=1 A+A=A2.1.1 基本逻辑运算基本逻辑运算“有 1 则 1”本讲稿第十三页，共九十八页3、逻辑非运算

9、规则为：2.1.1 基本逻辑运算基本逻辑运算“求反”本讲稿第十四页，共九十八页 4、复合逻辑运算、复合逻辑运算 全高出低，一低出高 （1 1）与非）与非 由与运算由与运算 和和 非运算组合而成。非运算组合而成。0101BPA0011输输 入入1110输出输出“与与非非”真值表真值表&ABP=AB本讲稿第十五页，共九十八页 4、复合逻辑运算、复合逻辑运算全低出高、一高出低 （2 2）或非或非 由或运算和非运算组合而成。由或运算和非运算组合而成。0101BPA0011输输 入入1000输出输出“或或非非”真值表真值表ABP=A+B1本讲稿第十六页，共九十八页 4、复合逻辑运算、复合逻辑运算 （3

10、3）与或非逻辑运算与或非逻辑运算由与运算和或非运算组合而成由与运算和或非运算组合而成AB&CDP1本讲稿第十七页，共九十八页 4、复合逻辑运算、复合逻辑运算不同为1 （4 4）异或异或异或是一种异或是一种二变量二变量逻辑运算，逻辑运算，当两个变量取值相当两个变量取值相同时，逻辑函数值为同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。P=AB=AB+AB0101BPA0011输输 入入0110输出输出“异或异或”真值表真值表BAP=A=1+B本讲稿第十八页，共九十八页 4、复合逻辑运算、复合逻辑运算相同为1 （5 5）同）同或或 P=A B=A B

11、 A BA BP0 00 11 01 11001“同或同或”真值表真值表ABP=A B=1 （5 5）同）同或或 P=A B=A B A B本讲稿第十九页，共九十八页常用异或和同或运算公式常用异或和同或运算公式 此外，(A的个数为偶数)(A的个数为奇数)本讲稿第二十页，共九十八页 2.1.3 真值表与真值表与逻辑函数逻辑函数解：解：第一步：设置自变量和因变量。第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。第二步：状态赋值。对于自变量对于自变量A、B、C设：设：同意为逻辑同意为逻辑“1”，不同意为逻辑不同意为逻辑“0”。对于因变量对于因变量P设：设：事情通过为逻辑事情通过为逻辑“1”，没通过为逻

12、辑没通过为逻辑“0”。1 1、真值表与逻辑函数的建立、真值表与逻辑函数的建立例例2.1.12.1.1 三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则决定，试的原则决定，试建立该逻辑函数。建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。列出函数的真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 P三人表决电路真值表三人表决电路真值表本讲稿第二十一页，共九十八页 一一般般地地说说，若若输输入入逻逻辑辑变变量量A、B、C的的取取值值确确定定以以后后，输输出

13、出逻逻辑辑变变量量P的的值值也也唯唯一一地地确确定定了了，就就称称P是是A、B、C的的逻逻辑辑函函数数，写作：写作：P=f（A，B，C）逻逻辑辑函函数数与与普普通通代代数数中中的的函函数数相相比比较较，有有两两个个突出的特点：突出的特点：（1 1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0 0和和1 1。（2 2）函函数数和和变变量量之之间间的的关关系系是是由由“与与”、“或或”、“非非”三种基本运算决定的。三种基本运算决定的。本讲稿第二十二页，共九十八页 2 2、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法 （1 1）真值表）真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排

14、列将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。在一起而组成的表格。（2 2）函数表达式）函数表达式由逻辑变量和由逻辑变量和“与与”、“或或”、“非非”三种运算符所构成三种运算符所构成的表达式。的表达式。由由真真值值表表可可以以转转换换为为函函数数表表达达式式。例例如如，由由“三三人人表表决决”函函数数的的真真值值表表可可写写出出逻逻辑辑表达式：表达式：0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 P三人表决电路真值表三人表决电路真值表本讲稿第二十三页，共九十八页 2 2、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法解

15、：解：该函数有两个变量，有该函数有两个变量，有4 4种取值的种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。得真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。例例2.1.2 2.1.2 列出下列函数的真值表：列出下列函数的真值表：P=A B A B真值表真值表0 00 11 01 1A B 1001 P本讲稿第二十四页，共九十八页 3 3逻辑图逻辑图由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。例例2.1.42.1.4 写出如图所示写出如图所示逻辑图的函数表达式。逻辑图的函数表达式。由函数表

16、达式可以画出逻辑图。由函数表达式可以画出逻辑图。解：解：可用两个非门、两个与门可用两个非门、两个与门和一个或门组成。和一个或门组成。由逻辑图也可以写出表达式。由逻辑图也可以写出表达式。解：解：例例2.1.32.1.3 画出函数画出函数 的逻辑图：的逻辑图：L=A B A B本讲稿第二十五页，共九十八页 2.1.4 逻辑函数相等逻辑函数相等1、逻辑函数相等的概念（自学）、逻辑函数相等的概念（自学）例例2.1.5 列出下列函数的真值表：列出下列函数的真值表：(1)F=A(B C)(2)G=AB AC本讲稿第二十六页，共九十八页逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则公理公理交换律交换律结合

17、律结合律分配律分配律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=00+1=1+0=1 1+1=1A B=B A A+B=B +A(A B)C=A (B C)(A+B)+C=A+(B+C)自等律自等律A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)A 0=0 A+1=1A 1=A A+0=AA A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B=A+B A+B=AB A=A吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律A B+A B=A (A+B)(A+B)=A A+A B=A A (A+B)=AA+A B=A+B A

18、(A+B)=A B AB+A C+BC=AB+A C(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)本讲稿第二十七页，共九十八页公式的证明方法：（2 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式。例例2.1.6 证明吸收律证明吸收律 证：证：例例2.1.72.1.7用真值表证明反演律用真值表证明反演律A BA BAB A+BA BA+B000110111110111010001000 A B=A+B A+B=AB本讲稿第二十八页，共九十八页等式右边等式右边

19、由由此此可可以以看看出出：与与或或表表达达式式中中，两两个个乘乘积积项项分分别别包包含含同同一一因因子子的的原原变变量量和和反反变变量量，而而两两项项的的剩剩余余因因子子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的公式可推广：公式可推广：例：证明包含律例：证明包含律成立成立利用基本定律利用基本定律本讲稿第二十九页，共九十八页2.1.5 2.1.5 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1.代入规则代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依

20、然成立。辑变量后，等式依然成立。例如，例如，在反演律中用在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B，则新的等式仍成立：，则新的等式仍成立：同理可将摩根定律推广到n变量 A B=A+B本讲稿第三十页，共九十八页 对对偶偶规规则则的的基基本本内内容容是是：如如果果两两个个逻逻辑辑函函数数表表达达式式相相等等，那那么它们的对偶式也一定相等。么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的公式基本公式中的公式l和公式和公式2就互为对偶就互为对偶 式。式。2.对偶规则对偶规则 将一个逻辑函数将一个逻辑函数F进行下列变换：进行下列变换：，0 1，1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做F的的对偶式对偶式，

21、用，用 表示。表示。2.1.5 2.1.5 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律结合律结合律交换律交换律重叠律重叠律互补律互补律公式公式101律律对合律对合律名称名称公式公式2本讲稿第三十一页，共九十八页 【例例】求 的对偶函数。解解 求对偶函数时，要注意保持原式中的运算次序不变。例：例：其对偶式其对偶式本讲稿第三十二页，共九十八页例例2.1.8求的反函数解解 用反演定律求本讲稿第三十三页，共九十八页3.反演规则 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例）保持运算的优

22、先顺序不变，必要时加括号表明，如例2.1.9。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。如例）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。如例2.1.10。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 解：解：解：解：将一个逻辑函数将一个逻辑函数F进行下列变换：进行下列变换：，；0 1，1 0；原变量原变量 反变量，反变量，反变量反变量 原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的反函数反函数，用，用 表示。表示。例例2.1.9 求函数求函数 的反函数：的反函数：例例2.1.10 求函数求函数 的反函数：的反

23、函数：函函数数式式中中有有“”和和“”运运算算符符，求求反反函函数数及及对对偶偶函函数数时时，要要将将运运算算符符“”换换成成“”，“”换换成成“”。本讲稿第三十四页，共九十八页例例2.1.8求的反函数解解 用反演规则求注：注：保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号先与后或，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变F(AF(A、B B、C)C)其反函

24、数为其反函数为或或本讲稿第三十五页，共九十八页2.1.6 常用公式常用公式1、2、本讲稿第三十六页，共九十八页2.1.6 常用公式常用公式3、4、5、本讲稿第三十七页，共九十八页（一）（一）五种常用表达式五种常用表达式F(AF(A、B B、C)C)“与与或或”式式“或或与与”式式“与非与非与非与非”式式 “或非或非或非或非”式式“与与或或非非”式式基本形式基本形式（二）（二）表达式形式转换表达式形式转换利用还原律利用反演律2.1.7逻辑函数的标准形式本讲稿第三十八页，共九十八页2.1.7逻辑函数的标准形式1.最小项最小项 minterm其中最后一行最为复杂，但它有一个特点，其中最后一行最为复杂

25、，但它有一个特点，每个乘积项中都包含所有的每个乘积项中都包含所有的变量（原变量或反变量），且仅出现一次变量（原变量或反变量），且仅出现一次，这样的乘积项叫，这样的乘积项叫最小项。最小项。最小项含义：最小项含义：指在逻辑变量的所有组合中，该项取值为指在逻辑变量的所有组合中，该项取值为1的可能最小的可能最小 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，以与式，以与-或式为例：或式为例：设设 F F（A A，B B，C C）是逻辑函数，）是逻辑函数，A A、B B、C C是逻辑变量是逻辑变量 F F（A A，B B，C C）=A B+A C=A B+A

26、 C =A B+A C+BC =A B+A C+BC =A B C+A B C+A B C+A B C =A B C+A B C+A B C+A B C本讲稿第三十九页，共九十八页 最小项最小项用小写英文字母用小写英文字母m加序号下标加序号下标i的形式来简记。对于的形式来简记。对于 n 个变量就可构成个变量就可构成 2n个最小项，分别记为个最小项，分别记为 mi。序号序号i的确定方法的确定方法：将最小项中的变量按序排列后，：将最小项中的变量按序排列后，原变量用原变量用1表示，反变量用表示，反变量用0表示表示，得到，得到1组二进制数，将其转换为等值的十进制数，组二进制数，将其转换为等值的十进制数

27、，就是序号就是序号i。例如，。例如，3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项m m0 0m m1 100000101m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号本讲稿第四十页，共九十八页2.最大项最大项 maxterm设有设有 n 个逻辑变量，它们组成的个逻辑变量，它们组成的或或项中，每个变量或以原变量形式项中，每个变量或以原变量形式或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此或项称为或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此或项称为 n 变量的最大项变

28、量的最大项。对于对于 n 个变量可以构成个变量可以构成2n个最大项，分别记为个最大项，分别记为 Mi。其中：下标值其中：下标值 i的取值规则与最小项中的取值规则与最小项中 i的取值规则相反，即的取值规则相反，即将各变量按一定次序排好后，用将各变量按一定次序排好后，用 0 代替其中的原变量，用代替其中的原变量，用 1 代替其代替其中的反变量中的反变量，得到一个二进制数，该二进制数的等值十进制即为，得到一个二进制数，该二进制数的等值十进制即为 i 的值。的值。例如，三变量的最大项记为：例如，三变量的最大项记为：ABC=M0 ABC=M1 ABC=M2 ABC=M3 ABC=M4 ABC=M5ABC

29、=M6 ABC=M7 本讲稿第四十一页，共九十八页3.最小项与最大项的性质最小项与最大项的性质例：一个三变量函数例：一个三变量函数 F(A，B，C)，它的真值表及其最小项及，它的真值表及其最小项及最大项的对应关系如下表。最大项的对应关系如下表。行号A B CF(A，B，C)最小项及代号 最大项及代号01234567000001010011100101110111F(0,0,0)=1F(0,0,1)=0F(0,1,0)=0F(0,1,1)=1F(1,0,0)=1F(1,0,1)=0F(1,1,0)=1F(1,1,1)=1A B C=m0A B C=m1A B C=m2A B C=m3A B C=

30、m4A B C=m5A B C=m6A B C=m7A+B+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7本讲稿第四十二页，共九十八页最小项与最大项具有如下性质：最小项与最大项具有如下性质：对于任意对于任意最小项最小项，只有，只有一组一组变量组合取值可使其值为变量组合取值可使其值为1；对于；对于任意任意最大项最大项，只有，只有一组一组变量组合取值可使其值为变量组合取值可使其值为0。行号A B CF(A，B，C)最小项及代号 最大项及代号01234567000001010011100101110111F(0,0,0)=1F

31、(0,0,1)=0F(0,1,0)=0F(0,1,1)=1F(1,0,0)=1F(1,0,1)=0F(1,1,0)=1F(1,1,1)=1A B C=m0A B C=m1A B C=m2A B C=m3A B C=m4A B C=m5A B C=m6A B C=m7A+B+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7本讲稿第四十三页，共九十八页 n变量的所有最小项之和必为变量的所有最小项之和必为1，记为：，记为：n变量的所有最大项之积必为变量的所有最大项之积必为0，记为：，记为：m i=12n-1i=0M i=02n-

32、1i=0行号A B CF(A，B，C)最小项及代号 最大项及代号01234567000001010011100101110111F(0,0,0)=1F(0,0,1)=0F(0,1,0)=0F(0,1,1)=1F(1,0,0)=1F(1,0,1)=0F(1,1,0)=1F(1,1,1)=1A B C=m0A B C=m1A B C=m2A B C=m3A B C=m4A B C=m5A B C=m6A B C=m7A+B+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7本讲稿第四十四页，共九十八页行号A B CF(A，B，C

33、)最小项及代号 最大项及代号01234567000001010011100101110111F(0,0,0)=1F(0,0,1)=0F(0,1,0)=0F(0,1,1)=1F(1,0,0)=1F(1,0,1)=0F(1,1,0)=1F(1,1,1)=1A B C=m0A B C=m1A B C=m2A B C=m3A B C=m4A B C=m5A B C=m6A B C=m7A+B+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7 任意两个最小项之积必为任意两个最小项之积必为0，即，即：mi mj=0(ij)任意两个最大

34、项之和必为任意两个最大项之和必为1，即，即：MiMj=1(ij)本讲稿第四十五页，共九十八页行号A B CF(A，B，C)最小项及代号 最大项及代号01234567000001010011100101110111F(0,0,0)=1F(0,0,1)=0F(0,1,0)=0F(0,1,1)=1F(1,0,0)=1F(1,0,1)=0F(1,1,0)=1F(1,1,1)=1A B C=m0A B C=m1A B C=m2A B C=m3A B C=m4A B C=m5A B C=m6A B C=m7A+B+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+

35、B+C=M6A+B+C=M7 同变量数下标相同的最小项和最大项互为反函数同变量数下标相同的最小项和最大项互为反函数 即：即：m i=M i M i=m i 则：则：m i M i=0 且且 m iM i=1本讲稿第四十六页，共九十八页4.函数的最小项表达式函数的最小项表达式逻辑函数被表达成一系列逻辑函数被表达成一系列乘积项之和乘积项之和，则称之为，则称之为积之和表达式积之和表达式，或称为，或称为与或表达式与或表达式。如果构成函数的积之和表达式中如果构成函数的积之和表达式中每一个乘积项每一个乘积项(与项与项)均为最小项均为最小项时，则这种表达式称之时，则这种表达式称之为为最小项表达式最小项表达式

36、，且这种表示是且这种表示是唯一唯一的。的。如如：F(A,B,C)=AC+AB+BC =ABC+ABC+ABC+ABC =m2 m3 m5 m7 =m(2,3,5,7)(变量型)(m型)(m型)F(AF(A、B B、C C、D)D)本讲稿第四十七页，共九十八页写出逻辑函数的最小项标准式的方法：写出逻辑函数的最小项标准式的方法：如果给定的函数为一般的与或表达式，可以反复应用公式如果给定的函数为一般的与或表达式，可以反复应用公式X=X(YY)代入缺少某变量代入缺少某变量(Y)的与项中，形成最小项之和的形式。的与项中，形成最小项之和的形式。例例：F=AC AB BC =AC(BB)AB(CC)(AA)

37、BC =ABCABCABCABCABCABC =ABCABCABCABC =m(3,4,5,7)本讲稿第四十八页，共九十八页例：例：求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(AF(A、B B、C)C)利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量C利用反演律利用反演律本讲稿第四十九页，共九十八页 如果给定函数用真值表表示，显然如果给定函数用真值表表示，显然真值表每一行真值表每一行变量的组合变量的组合对应对应一个最小项一个最小项。如果对应该行的函数值为。如果对应该行的函数值为 1，则函数的最小项表达式，则函数的最小项表达式中应中应包含该行对应的最

38、小项包含该行对应的最小项；如果该行的函数值为；如果该行的函数值为 0，则函数的最小，则函数的最小项表达式中项表达式中不包含对应该行的最小项不包含对应该行的最小项。例例 写出所示真值表的标准积之和式写出所示真值表的标准积之和式解解:表决电路真值表表决电路真值表,其标准积之和式为其标准积之和式为本讲稿第五十页，共九十八页A B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从从真真值值表表找找出

39、出F为为1的的对应最小项对应最小项解解:0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(AF(A、B B、C)C)本讲稿第五十一页，共九十八页例：例：F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0 M2 M4 M5 =M3(0,2,4,5)5.函数的最大项标准式函数的最大项标准式 逻辑函数被表达成一系列逻辑函数被表达成一系列和项之积，和项之积，则称为则称为和之积表达式，和之积表达式，或或称为称为或与表达式。或与表达式。如果构成函数的或与表达式中的每一个和项均为最大项，则这如

40、果构成函数的或与表达式中的每一个和项均为最大项，则这种表达式称为种表达式称为最大项标准式最大项标准式，且这种表示是唯一的。且这种表示是唯一的。本讲稿第五十二页，共九十八页写出逻辑函数的最大项标准式的方法：写出逻辑函数的最大项标准式的方法：如果给定的函数是一般的或与表达式，可以反复应用公式：如果给定的函数是一般的或与表达式，可以反复应用公式：X=X+YY=(X+Y)(X+Y)代入缺少某变量代入缺少某变量(Y)的和项中以形的和项中以形成最大项之积的形式。成最大项之积的形式。例：例：F=(A+C)(A+B)=(A+C+B B)(A+B+C C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C

41、)=M0 M2 M4 M5 =M3(0,2,4,5)本讲稿第五十三页，共九十八页如果给定函数用真值表表示，显然真值表每一行变量的组合如果给定函数用真值表表示，显然真值表每一行变量的组合对应一个最大项。如果对对应一个最大项。如果对应该行的函数值为应该行的函数值为 0，则函数的最大项表达式，则函数的最大项表达式中应中应包含该行对应的最大项包含该行对应的最大项；如果；如果该行的函数值为该行的函数值为 1，则函数的最，则函数的最大项表达式中大项表达式中不包含对应该行的最大项不包含对应该行的最大项。例例 写出所示真值表的标准和之积式写出所示真值表的标准和之积式。解：其标准和之积式为解：其标准和之积式为本

42、讲稿第五十四页，共九十八页同一函数的最小项标准式与其最大项标准式的关系同一函数的最小项标准式与其最大项标准式的关系:同一逻辑函数的一种标准式变换成另一种标准式时，互换同一逻辑函数的一种标准式变换成另一种标准式时，互换mn 和和Mn 的符号，并在符号后列出原式中缺少的那些数字。且这两种标准式的符号，并在符号后列出原式中缺少的那些数字。且这两种标准式都是唯一的。都是唯一的。例：例：证明证明F=m3(0,2,3)=M 3(1,4,5,6,7)证明：证明：F=m3(0,2,3)则则 F=m3(1,4,5,6,7)=m1 m4 m5 m6 m7F=F=m1 m4 m5 m6 m7 =m1 m4 m5 m

43、6 m7 =M1 M4 M5 M6 M7 =M 3(1,4,5,6,7)本讲稿第五十五页，共九十八页2.2 逻辑函数的简化同一函数的逻辑表达式有多种形式同一函数的逻辑表达式有多种形式11111ABCCABABB+CACB CAB(B+C)F=AB(B+C)+AC+BC&1ABABF=AB+C&C例：F=AB(BC)AC BC =AB C对应两种逻辑电路图，如下：本讲稿第五十六页，共九十八页逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。换。例如：例如：与与或表达式或表达式或或与表

44、达式与表达式与非与非与非表达式与非表达式或非或非或非表达式或非表达式与与或或非表达式非表达式其中其中，与，与或表达式或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。是逻辑函数的最基本表达形式。2.2 逻辑函数的简化本讲稿第五十七页，共九十八页逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式”的标准的标准 2.2.2.2.1 公式法化简公式法化简（1）并项法：）并项法：运运用用公公式式 、AB+AB=A将将两两项项合合并并为为一一项项，消消去一个变量。去一个变量。例：例：（1 1）与项最少，即表达式中）与项最少，即表达式中“+”号最少。号最少。（2 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中）每个与项中的变量

45、数最少，即表达式中“”号最少。号最少。本讲稿第五十八页，共九十八页（2）吸收法：）吸收法：运用吸收律运用吸收律 A+AB=A、AB+AC+BC=AB+AC，消去多余，消去多余的与项。的与项。例：例：例：例：本讲稿第五十九页，共九十八页（3）消去法：）消去法：例：例：运用吸收律运用吸收律 消去多余因子。消去多余因子。例：例：本讲稿第六十页，共九十八页（4）配项法：）配项法：例：例：先通过乘以先通过乘以 或加上或加上 或加上或加上 ,增增加加必必要要的的乘乘积积项项，再再用用以以上方法化简。上方法化简。本讲稿第六十一页，共九十八页 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。例例

46、1 化简逻辑函数：化简逻辑函数：解：解：（利用（利用 ）（利利用用A+AB=A）（利用（利用 ）本讲稿第六十二页，共九十八页例例2 化简逻辑函数：化简逻辑函数：解：解：（利用反演律（利用反演律）（利用（利用 ）（利用（利用A+AB=A）本讲稿第六十三页，共九十八页由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。解法解法1：例例3.化简逻辑函数：化简逻辑函数：（增加多余项（增加多余项 ）（消去一个多余项（消去一个多余项 ）（再消去一个多余项（再消去一个多余项 ）解法解法2：（增加多余项（增加多余项 ）（消去一个多余项（消去一个多余项 ）（再消去一个多余

47、项（再消去一个多余项 ）代数化简法的优点：不受变量数目的限制。代数化简法的优点：不受变量数目的限制。缺缺点点：没没有有固固定定的的步步骤骤可可循循；需需要要熟熟练练运运用用各各种种公公式式和和定定理理；需需要要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。本讲稿第六十四页，共九十八页 由公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化由公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化简，从哪里开始下手，能简化到什么程度，很难一下看出来。简，从哪里开始下手，能简化到什么程度，很难一下看出来。有时候，原题的给出顺序都能影响化简的思路。例如：有时候，原题的给出顺

48、序都能影响化简的思路。例如：F=AB D+ABC+ABD+ABC =AB D+ABD+ABC+ABC =AB+AB=A 这说明如果可以将可简化部分放在一起，会比较直观。这说明如果可以将可简化部分放在一起，会比较直观。本讲稿第六十五页，共九十八页 2.2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 复习 最小项的定义与性质最小项的定义与性质 最小项最小项n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最最小项小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。个。A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1

49、1变变 量量 取取 值值最最 小小 项项m0m1m2m3m4m5m6m7编编 号号 三变量函数的最小项三变量函数的最小项本讲稿第六十六页，共九十八页 2.2.卡诺图卡诺图 一一个个小小方方格格代代表表一一个个最最小小项项，然然后后将将这这些些最最小小项项按按照照相相邻邻性性排排列列起起来来。即即用用小小方方格格几几何何位位置置上上的的相相邻邻性性来来表示最小项逻辑上的相邻性。表示最小项逻辑上的相邻性。1相邻最小项相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称同，则称这两个最小项为逻辑相邻，

50、简称相邻项相邻项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。项，同时消去互为反变量的那个量。如最小项如最小项ABC 和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。如：如：一、卡诺图一、卡诺图 本讲稿第六十七页，共九十八页3卡诺图的结构卡诺图的结构（2）三变量卡诺图）三变量卡诺图（1）二变量卡诺图）二变量卡诺图 A Bm0m1m3m2 AB 00 01 11 10m0m2m6m4m1m3m7m5 C ABm0m2m6m4m1m3m7m5 AB 00 01 11 10C 01本讲稿第六十八页，共九十八页（3）