第32章 随机变量数字特征精选文档.ppt

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1、第32章 随机变量数字特征本讲稿第一页，共一百页主要内容主要内容数学期望数学期望分位数与众数分位数与众数方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理本讲稿第二页，共一百页一、数学期望一、数学期望例例.将一枚骰子随机地投掷将一枚骰子随机地投掷102102次，记次，记录每次出现的点数录每次出现的点数:x1 1,x2 2,x102102.求其求其平均出现点数？平均出现点数？解解：用：用X X表示投骰子出现的结果表示投骰子出现的结果,X X的分的分布为：布为：1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 pk 6 5 4 3 2 1 X本讲稿第三页，共一百

2、页平均出现点数平均出现点数本讲稿第四页，共一百页计算方法：计算方法：X X的所有可能取值和相应的的所有可能取值和相应的概率概率之积的之积的累加。累加。注：注：这里的概率指的是这里的概率指的是权重系数权重系数。平均出现点数为平均出现点数为3.5:3.5:说明每次投掷骰说明每次投掷骰子子,可以期望得到的点数为可以期望得到的点数为3.53.5。本讲稿第五页，共一百页1、离散型数学期望的定义、离散型数学期望的定义定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为：的分布律为：X x1 x2 x3 xnPk p1 p2 p3 pn如果级数如果级数 是一个有限值，则是一个有限值，则称该级数为称该

3、级数为X X的的数学期望数学期望，记作，记作本讲稿第六页，共一百页例例.甲、乙两制药工人在一天生产中出现废甲、乙两制药工人在一天生产中出现废品的概率分别是：品的概率分别是：0 03 30.20.22 20.50.51 10.10.13 30.20.22 20.30.31 1 X2 X10.30.30.40.4概率pk0 00 0废品数乙乙甲甲 工人设两人的日产量相等设两人的日产量相等,问谁的技术更好问谁的技术更好?本讲稿第七页，共一百页解：解：E(XE(X1 1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1 E(X E(X2 2)=00.3+10.

4、5+20.2+30=0.9)=00.3+10.5+20.2+30=0.9 可见甲平均废品数比乙多可见甲平均废品数比乙多10%,10%,因此乙的技术好。因此乙的技术好。本讲稿第八页，共一百页2、连续型数学期望的定义、连续型数学期望的定义收敛时，称此积分的值为随机变量收敛时，称此积分的值为随机变量X X的数学期的数学期望，记作望，记作定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度的概率密度为为 则当积分则当积分本讲稿第九页，共一百页例例.设随机变量设随机变量X X服从指数分布，服从指数分布，其概率密度为其概率密度为求求E(X)E(X).本讲稿第十页，共一百页分部积分公式分部积分公式解

5、：解：注：注：可类似地定义随机变量函数的期望定可类似地定义随机变量函数的期望定义。义。本讲稿第十一页，共一百页3、数学期望的性质、数学期望的性质(1).(1).常数的数学期望等于它自己常数的数学期望等于它自己.设设C C为为常数，则常数，则E(C)=CE(C)=C(2).(2).常数因子可以从数学期望符号下提出。常数因子可以从数学期望符号下提出。设设X X为一个随机变量，为一个随机变量，C C为常数，则为常数，则E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X)本讲稿第十二页，共一百页(3).(3).两个随机变量的和的数学期望等于它两个随机变量的和的数学期望等于它们各自的数学期望之和们各自的数学期望

6、之和.E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)一般情形一般情形,n,n个随机变量的和的数学期望个随机变量的和的数学期望等于它们各自的数学期望的和等于它们各自的数学期望的和.E(X E(X1 1+X+X2 2+X+Xn n)=E(X)=E(X1 1)+E(X)+E(X2 2)+)+E(X+E(Xn n)本讲稿第十三页，共一百页(4).(4).随机变量的线性函数的数学期望等随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量的数学期望的同一线性于这个随机变量的数学期望的同一线性函数函数 E(kX+b)=kE(X)+bE(kX+b)=kE(X)+b本讲稿第十四页，共一百页(5).(5

7、).两个相互独立的随机变量的积的数两个相互独立的随机变量的积的数学期望等于它们各自的数学期望之积学期望等于它们各自的数学期望之积.E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)一般情形一般情形,n,n个相互独立的随机变量的个相互独立的随机变量的积的数学期望等于它们各自的数学期望的积的数学期望等于它们各自的数学期望的积积.E(X E(X1 1X X2 2X Xn n)=E(X)=E(X1 1)E(X)E(X2 2)E(XE(Xn n)本讲稿第十五页，共一百页4、常见随机变量的数学期望、常见随机变量的数学期望(1).(1).二点分布二点分布(0-1(0-1分布分布)q p P 0 1 X

8、 XE(X)=0 q+1 p=pE(X)=0 q+1 p=p本讲稿第十六页，共一百页(2).(2).二项分布二项分布:因为因为X X为为n n次独立实验中事件次独立实验中事件A A发生的次发生的次数数,且在每次实验中且在每次实验中A A发生的概率为发生的概率为p.p.引入随机变量引入随机变量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n，其中其中在第在第i i次实验时事件次实验时事件A A发生发生在第在第i i次实验时事件次实验时事件A A不发生不发生本讲稿第十七页，共一百页则则X X1 1,X,X2 2,X,Xn n独立，且独立，且X Xi i服从两点分服从两点分布布.而而X=XX=X1 1+X+

9、X2 2+X+Xn n服从二项分布，从而服从二项分布，从而 E(X)=E(X E(X)=E(X1 1+X+X2 2+X+Xn n)=E(X =E(X1 1)+E(X)+E(X2 2)+)+E(X+E(Xn n)=p+p+=p+p+p+p =np =np 本讲稿第十八页，共一百页(3).(3).PoissonPoisson分布分布:本讲稿第十九页，共一百页(4).(4).正态分布正态分布:本讲稿第二十页，共一百页二、分位数和众数二、分位数和众数 分位数分位数的定义：的定义：对于任意类型对于任意类型的随机变量的随机变量X X，如果能找到数，如果能找到数 ，使，使得下列二式同时成立得下列二式同时成立

10、则称则称 为随机变量为随机变量X X的的100 100 百分位百分位,记作记作 .本讲稿第二十一页，共一百页分位数分位数25%25%25%25%分位数包括：分位数包括：中位数中位数和和百分位数百分位数本讲稿第二十二页，共一百页1、中位数的由来、中位数的由来522111人数人数908078102成绩成绩平均分平均分（一）中位数（一）中位数本讲稿第二十三页，共一百页这便是提出中位数的原因这便是提出中位数的原因 算术平均数是最常用的数学方法算术平均数是最常用的数学方法之一之一.但是用算术平均数来作为代表数但是用算术平均数来作为代表数,有有2 2个缺点个缺点:一是容易受异常值的影响一是容易受异常值的影

11、响;二是计算比较复杂二是计算比较复杂,不能一眼看出。不能一眼看出。本讲稿第二十四页，共一百页2 2、中位数的定义、中位数的定义 设有设有n n个数据，将它们从小到大依次个数据，将它们从小到大依次排列为排列为x1,x2,xn如果如果n n是奇数是奇数，则，则 是中位数；是中位数；如果如果n n是偶数是偶数，则，则 是中位数。是中位数。本讲稿第二十五页，共一百页例例.求求7,4,3,6,6,8,5,9,11 的中位数的中位数.3,4,5,6,6,7,8,9,11 中位数为中位数为6 6本讲稿第二十六页，共一百页例例.求求7,9,4,4,6,6,6,8,8,11的中位数的中位数.4,4,6,6,6,

12、7,8,8,9,11 中位数中位数为为本讲稿第二十七页，共一百页3 3、中位数的严格数学定义、中位数的严格数学定义定义定义1 1：对于任意类型的随机变量：对于任意类型的随机变量X X，如果能找到数如果能找到数x，使得下列二式同时成，使得下列二式同时成立立则称则称x为随机变量为随机变量X X的中位数的中位数,记作记作Me.Me.本讲稿第二十八页，共一百页例例.设随机变量设随机变量X X可能取值可能取值0 0和和1 1，且，且求求X X的中位数的中位数.本讲稿第二十九页，共一百页例例.设随机变量设随机变量X X可能取值可能取值0 0和和1 1，且，且求求X X的中位数的中位数.本讲稿第三十页，共一

13、百页注注：对于连续型随机变量，中位：对于连续型随机变量，中位数是把随机变量的概率分布划分数是把随机变量的概率分布划分为为2 2个相等部分的数个相等部分的数,即即:本讲稿第三十一页，共一百页例例.设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求X X的中位数的中位数.本讲稿第三十二页，共一百页本讲稿第三十三页，共一百页百分位数的定义：百分位数的定义：对于任意类型对于任意类型的随机变量的随机变量X X，如果能找到数，如果能找到数x，使，使得下列二式同时成立得下列二式同时成立则称则称x为随机变量为随机变量X X的的100 100 百分位百分位,记作记作 .（二）百分位数（二）百分位数本讲稿第三

14、十四页，共一百页本讲稿第三十五页，共一百页四分位数：将所有数值按大小顺序排列并分成四等份，四分位数：将所有数值按大小顺序排列并分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。最小的四处于三个分割点位置的得分就是四分位数。最小的四分位数称为分位数称为下四分位数下四分位数，所有数值中，有四分之一，所有数值中，有四分之一小于下四分位数，四分之三大于下四分位数。中点小于下四分位数，四分之三大于下四分位数。中点位置的四分位数就是中位数。最大的四分位数称为位置的四分位数就是中位数。最大的四分位数称为上四分位数，所有数值中，有四分之三小于上四分位数，所有数值中，有四分之三小于上四分上四分位数位数，四分之一

15、大于上四分位数。也有叫第，四分之一大于上四分位数。也有叫第25百分位百分位数、第数、第75百分位数的。百分位数的。1、四分位数的计算、四分位数的计算本讲稿第三十六页，共一百页例例.求求7,9,4,4,6,6,6,8,8,11的四分位数的四分位数.4,4,6,6,6,7,8,8,9,11 本讲稿第三十七页，共一百页2 2、上侧、上侧 分位数分位数对于任意类型的随机变量对于任意类型的随机变量X X，如，如果能找到数果能找到数x，使得，使得则称则称x为随机变量为随机变量X X的上侧的上侧 分分位数位数,记作记作 .本讲稿第三十八页，共一百页本讲稿第三十九页，共一百页3 3、双侧、双侧 分位数：分布对

16、称时分位数：分布对称时对于任意类型的随机变量对于任意类型的随机变量X X，如，如果能找到数果能找到数x，使得，使得则称则称x为随机变量为随机变量X X的双侧的双侧 分位分位数数,记作记作 .本讲稿第四十页，共一百页本讲稿第四十一页，共一百页例例.已知已知XN(0,1)，求求(1).(1).上侧分位数上侧分位数u u0.050.05 标准正态分布函数表标准正态分布函数表 正态分布的正态分布的双侧双侧临界值表临界值表(2).(2).双侧分位数双侧分位数u u0.010.01 标准正态分布函数表标准正态分布函数表 正态分布的正态分布的双侧双侧临界值表临界值表本讲稿第四十二页，共一百页（三）众数（三）

17、众数定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量X X的概率函数为的概率函数为 P(X=P(X=xi i)=p)=pi i ,i=1,2,i=1,2,并且并且x1,x2，按大小顺序排列，如果能按大小顺序排列，如果能找到找到xk k，使得下列二式同时成立：，使得下列二式同时成立：p pk k p pk-1k-1 ，p pk k p pk+1k+1则称则称xk k为随机变量为随机变量X X的众数，记作的众数，记作MoMo.本讲稿第四十三页，共一百页众数即数据中重复出现次数最多的数据众数即数据中重复出现次数最多的数据例例.求求7,9,4,4,6,6,6,8,8,117,9,4,4,6,6,6,8,8

18、,11 的众数的众数.例例.众数是否唯一？众数是否唯一？注注:本讲稿第四十四页，共一百页某厂职工的月工资数统计表某厂职工的月工资数统计表250057003800890012100015200025000210000人数人数月工资数月工资数平均数平均数中位数中位数众数众数本讲稿第四十五页，共一百页平均数、中位数和众数关系平均数、中位数和众数关系本讲稿第四十六页，共一百页三、三、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数例例.两个班级学生的考试成绩两个班级学生的考试成绩.0.40.20.30.1 P Pi i75737268甲班甲班0.1900.20.50.10.1 P Pi i10073651

19、0乙班乙班E(E(甲甲)=73)=73E(E(乙乙)=73)=73本讲稿第四十七页，共一百页如何区分这两种情况如何区分这两种情况？甲班学生成绩比较整齐，学生的分甲班学生成绩比较整齐，学生的分数都围绕在其平均值附近，散布的数都围绕在其平均值附近，散布的程度较小。程度较小。乙班则反之，其分数的两极分化较乙班则反之，其分数的两极分化较大。大。这时，需要引入一个指标来刻画这这时，需要引入一个指标来刻画这种离散的程度。种离散的程度。本讲稿第四十八页，共一百页0.40.20.30.1 Pi20-1-5偏离偏离0.1170.20.50.10.1 Pi270-8-63偏离偏离偏离平均偏离平均？本讲稿第四十九页

20、，共一百页0.40.20.30.1 Pi40125偏离偏离2 20.12890.20.50.10.1 Pi7290643969偏离偏离2 2偏离均方偏离均方？本讲稿第五十页，共一百页1、方差的定义、方差的定义 设设X X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)E(X-E(X)2 2存在，则称存在，则称E(X-E(X)E(X-E(X)2 2为为X X的方差，记作的方差，记作V(X)V(X)，即，即 V(X)=E(X-E(X)V(X)=E(X-E(X)2 2定义定义1 1：（一）方（一）方 差差本讲稿第五十一页，共一百页2、方差的计算、方差的计算离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变

21、量连续型随机变量本讲稿第五十二页，共一百页注：方差计算的常用公式注：方差计算的常用公式本讲稿第五十三页，共一百页3 3、随机变量方差的性质、随机变量方差的性质(1).(1).常数的方差等于常数的方差等于0 0。设设C C为常数，则：为常数，则：V(C)=0V(C)=0(2).(2).常数与随机变量之积的方差等于常数常数与随机变量之积的方差等于常数的平方和随机变量的方差之积的平方和随机变量的方差之积.设设X X为一个随机变量为一个随机变量,C C为常数为常数,则：则：V(CX)=CV(CX)=C2 2V(X)V(X)本讲稿第五十四页，共一百页(3).(3).两个相互独立的随机变量之和的方两个相互

22、独立的随机变量之和的方差等于它们各自方差之和差等于它们各自方差之和.V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)一般地一般地,n,n个相互独立的随机变量之和的个相互独立的随机变量之和的方差等于它们各自方差之和方差等于它们各自方差之和.V(X V(X1 1+X+X2 2+X+Xn n)=V(X)=V(X1 1)+V(X)+V(X2 2)+)+V(X+V(Xn n)本讲稿第五十五页，共一百页例例.设随机变量设随机变量X X服从指数分布，服从指数分布，其概率密度为其概率密度为求求V(X)V(X).本讲稿第五十六页，共一百页解：解：本讲稿第五十七页，共一百页注注：常见随机变量的方差

23、：常见随机变量的方差1 1、二项分布：、二项分布：2 2、PoissonPoisson分布分布:3 3、正态分布：、正态分布：本讲稿第五十八页，共一百页（二）协方差（二）协方差记随机变量记随机变量X X、Y Y的期望分别是的期望分别是 E(X)=m E(X)=m1 1,E(Y)=m,E(Y)=m2 2X X的方差是的方差是(X-m(X-m1 1)与与(X-m(X-m1 1)的乘积的期的乘积的期望，即望，即V(X)=E(X-mV(X)=E(X-m1 1)(X-m)(X-m1 1)数学期望数学期望E(X-EX)(Y-EY)E(X-EX)(Y-EY)称为随称为随机变量机变量X X与与Y Y的的协方差

24、协方差，记做：，记做：COV(X)COV(X)。本讲稿第五十九页，共一百页（三）标准差（三）标准差X X以厘米为单位，以厘米为单位，则则V(X)V(X)是以厘米是以厘米2 2为单位为单位.为了保持量纲上的一致，为了保持量纲上的一致，本讲稿第六十页，共一百页（四）变异系数（四）变异系数例例.假定正常青年男子假定正常青年男子身高的均数为身高的均数为170cm,170cm,标准差为标准差为6cm6cm.体重的均数为体重的均数为60kg,60kg,标准差为标准差为7kg.7kg.CV(CV(身高身高)0.035,CV(0.035,CV(体重体重)0.1170.117本讲稿第六十一页，共一百页（五）相关

25、系数（五）相关系数当比较两个随机变量的离散程度时当比较两个随机变量的离散程度时常用相关系数常用相关系数.注注：相关系数是刻划：相关系数是刻划线性相关线性相关的程度的程度.本讲稿第六十二页，共一百页 第第 八八 节节 大大 数数 定定 理理 与与 中中 心心 极极 限限 定定 理理本讲稿第六十三页，共一百页大数定律的定义大数定律的定义Def.本讲稿第六十四页，共一百页一、大数定律一、大数定律定理（定理（契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律）契比雪夫契比雪夫本讲稿第六十五页，共一百页注解注解本讲稿第六十六页，共一百页证明证明由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得证毕证毕本讲稿第六十七页，共一百页关于

26、定理的说明关于定理的说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下,n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均,当当n无无限增加时限增加时,几乎变成一个常数几乎变成一个常数.本讲稿第六十八页，共一百页本讲稿第六十九页，共一百页定理的另一种叙述定理的另一种叙述:本讲稿第七十页，共一百页证明证明引入随机变量引入随机变量伯努利伯努利定理（定理（伯努利大数定律伯努利大数定律）本讲稿第七十一页，共一百页显然显然根据定理有根据定理有证毕证毕本讲稿第七十二页，共一百页关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明:故而当故而当n很大时很大时,事件发生的频率与概率有较事件

27、发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小大偏差的可能性很小.在实际应用中在实际应用中,当试验次当试验次数很大时数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件便可以用事件发生的频率来代替事件的概率的概率.本讲稿第七十三页，共一百页关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1)不要求方差存在不要求方差存在;(2)贝努利定理是辛钦定理的特殊情况贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料辛钦资料定理（定理（辛钦定律辛钦定律）本讲稿第七十四页，共一百页三、典型例题解解独立性依题意可知独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？例例1本讲稿第七十五页，共一百页说明每一个随机变量都有数学期望说明每一

28、个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.本讲稿第七十六页，共一百页解解由由辛钦定理辛钦定理知知例例2本讲稿第七十七页，共一百页例例3本讲稿第七十八页，共一百页本讲稿第七十九页，共一百页本讲稿第八十页，共一百页二、中心极限定理二、中心极限定理定理（定理（林德贝格林德贝格-列维列维中心极限定理中心极限定理）本讲稿第八十四页，共一百页定理表明定理表明:本讲稿第八十五页，共一百页李雅普诺夫李雅普诺夫定理定理(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)本讲稿第八十六页，共一百页则随

29、机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量本讲稿第八十七页，共一百页定理表明定理表明:本讲稿第八十八页，共一百页证明证明德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)令令本讲稿第八十九页，共一百页根据根据(林林-列列)定理得定理得定理表明定理表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.本讲稿第九十页，共一百页下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.本讲稿第九十一页，共一百页中心极限定理的意义中心极限定理的意

30、义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实实.本讲稿第九十二页，共一百页三、典型例题解解由定理由定理4.6,随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),例例1本讲稿第九十三页，共一百页其中其中本

31、讲稿第九十四页，共一百页 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪冲次波浪冲击击,问其中有问其中有2950030500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的概率是多的概率是多少？少？解解 将船舶每遭受一次海浪将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,则则X是一个随机变量是一个随机变量,例例2本讲稿第九十五页，共一百页所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理本讲稿第九十六页，共一百页本讲稿第九十七页，共一百页