离散型随机变量的均值与方差经典例题(4页).doc

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1、-第 1 页离散型随机变量离散型随机变量的均值与方差经的均值与方差经典例题典例题-第 2 页离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差导学案导学案【知识梳理】【知识梳理】1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)D(X)(xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)a

2、E(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数)(3)D(X)=E(X2)-E(X)23.特殊分布的均值与方差XXB(1，p)XB(n，p)XH(M，N，n)XN(，2)E(X)pnpnNMD(X)p(1p)np(1p)2(1)(1)()(1)nNnNn nM MMMN N2【典型例题】【典型例题】【例【例 1】某花店每天以每枝某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝枝10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购若花店一天购进进 16 枝玫

3、瑰花枝玫瑰花，求当天的利求当天的利润润 y(单位单位：元元)关于当天需求关于当天需求量量 n(单单位：枝，位：枝，nN)的函数解析式；的函数解析式；(2)花店记录了花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量天玫瑰花的日需求量(单位：枝单位：枝)，整理得下表：，整理得下表：日需求量日需求量 n14151617181920频数频数10201616151310以以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进若花店一天购进 16 枝玫瑰花枝玫瑰花，X 表示当天的利润表示当天的利润(单位单位：元元)，求求 X 的分布列的分布列、数学期望及方

4、差；数学期望及方差；若花店计划一天购进若花店计划一天购进 16 枝或枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是枝还是 17 枝？枝？请说明理由请说明理由-第 3 页【例【例 2】某工厂的某种产品成箱包装某工厂的某种产品成箱包装，每箱每箱 200 件件，每一箱产品在交付用户之前每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取品中任取 20 件作检验件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设设每件

5、产品为不合格品的概率都为每件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独，且各件产品是否为不合格品相互独立立（1）记）记 20 件产品中恰有件产品中恰有 2 件不合格品的概率为件不合格品的概率为 f(p),求求 f(p)的最大值点的最大值点 p0（2）现对一箱产品检验了现对一箱产品检验了 20 件件，结果恰有结果恰有 2 件不合格品件不合格品，以以（1）中确定的中确定的 p0作为作为 p 的值已知每件产品的检验费用为的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付则工厂要对每件不合格品支付 25

6、元的赔偿费用元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为为 X，求，求 EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有是否该对这箱余下的所有产品作检验？产品作检验？【例【例 3】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个标有面值的球的袋中一次性随机摸

7、出 2 个球，个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的）若袋中所装的 4 个球中有个球中有 1 个所标的面值为个所标的面值为 50 元，其余元，其余 3 个均为个均为 10 元元，求求顾客所获的奖励额为顾客所获的奖励额为 60 元的概率元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是商场对奖励总额的预算是 60000 元元，并规定袋中的并规定袋中的 4 个球只能由标有面个球只能由标有面值值10 元和元和50 元的两种球组成元的两种球组成，或标有面值或标有面值 20 元和元和

8、 40 元的两种球组成元的两种球组成.为了使顾客得到的为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【例【例4】有有 n 把看上去样子相同的钥匙把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开其中只有一把能把大门上的锁打开用用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数能放回求试开次数 的数学期

9、望和方差的数学期望和方差【例【例 5 5】某公司计划购买某公司计划购买 2 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损机器有一易损零件零件，在购买机器时在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件可以额外购买这种零件为备件，每个每个 200200 元元.在机器使用在机器使用期间期间，如果备件不足再购买如果备件不足再购买，则每个则每个 500500 元元.现需决策在购买机器时应同时购买现需决策在购买机器时应同时购买-第 4 页几个易损零件，为此搜集并整理了几个易损零件，为此搜集并整理了 100100 台这种三年使用期内更换的易损零件，台这种三年使用期内更换的易

10、损零件，得下面柱状图：得下面柱状图：以以这这 10100 0 台机器更换的易损零件数的频率代台机器更换的易损零件数的频率代替替 1 1 台机器更换的易损零件数发台机器更换的易损零件数发生的频率，记生的频率，记X表示表示 2 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买表示购买 2 2 台台机器的同时购买的易损零件数机器的同时购买的易损零件数.（）求）求X的分布列的分布列；（）若要求）若要求5.0）（nXP，确定，确定n的最小值；的最小值；（）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在在19n与与20n之中选其之中选其一

11、，应选用哪个？一，应选用哪个？【例【例 6】计划在某水库建一座至多安装计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去台发电机的水电站，过去 50 年的水文年的水文资料显示，水库资料显示，水库年入流量年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位单位：亿立方米亿立方米）都在都在 40 以上以上.其中其中，不足不足 80 的年份有的年份有 10 年年，不低于不低于 80 且不超过且不超过 120的年份有的年份有 35 年年，超过超过 120 的年份有的年份有 5 年年.将年入流量在以上三段的频率作为相应将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概

12、率，并假设各年的年入流量相互独立段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来求未来 4 年中，年中，至多至多 1 年的年入流量超过年的年入流量超过 120 的概率；的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量流量X限制，并有如下关系；限制，并有如下关系；年入流量年入流量4080X80120X120X 发电机最多可运行发电机最多可运行台数台数123若某台发电机运行若某台发电机运行，则该台年利润为则该台年利润为 5000 万元万元；若某台发电机未运行若某台发电机未运行，则该台则该台年亏损年亏损 800 万元万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？应安装发电机多少台？