数值分析误差分析和解的精度改进幻灯片.ppt

《数值分析误差分析和解的精度改进幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析误差分析和解的精度改进幻灯片.ppt（40页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数值分析误差分析和解的精度改进第1页，共40页，编辑于2022年，星期六一、解的误差分析基本问题一、解的误差分析基本问题解的稳定性解的稳定性第2页，共40页，编辑于2022年，星期六第3页，共40页，编辑于2022年，星期六 数学稳定性数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有微对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是动，则称数学问题是病态问题病态问题，否则称为，否则称为良态问题良态问题。数值方法的稳定性数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰动一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算

2、过程中舍入误差不增长，则称（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。第4页，共40页，编辑于2022年，星期六第5页，共40页，编辑于2022年，星期六第6页，共40页，编辑于2022年，星期六第7页，共40页，编辑于2022年，星期六第8页，共40页，编辑于2022年，星期六第9页，共40页，编辑于2022年，星期六第10页，共40页，编辑于2022年，星期六 第11页，共40页，编辑于2022年，星期六第12页，共40页，编辑于2022年，星期六第13页，共40页，编辑于2022年，星期六证闭证闭第

3、14页，共40页，编辑于2022年，星期六第15页，共40页，编辑于2022年，星期六这就是由这就是由A A和和b b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界的原始数据小的扰动引起解的相对误差界第16页，共40页，编辑于2022年，星期六第17页，共40页，编辑于2022年，星期六第18页，共40页，编辑于2022年，星期六第19页，共40页，编辑于2022年，星期六第20页，共40页，编辑于2022年，星期六第21页，共40页，编辑于2022年，星期六在正交变换下，误差不增长在正交变换下，误差不增长第22页，共40页，编辑于2022年，星期六第23页，共40页，编辑于2022年，星期六 前面介绍

4、的列主元法解决了前面介绍的列主元法解决了GaussGauss消元法由于小主元的出现所消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。列主元法求解列主元法求解x1 1=x2 2=1=1 按行比例按行比例消元法消元法:将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过的最大系数的绝对值不超过1 1，然后再做列主元消元。，然后再做列主元消元。（2）（

5、行）比例增减改善）（行）比例增减改善第24页，共40页，编辑于2022年，星期六例例4 4 应用按比例消元法求解应用按比例消元法求解 方程组方程组 2 2、在第、在第k k步消元前，选主元指标步消元前，选主元指标r r使使3 3、对换、对换 E Ek k E Er r ,s,sk k s sr r 4 4、消元、消元 具体步骤如下：具体步骤如下：1 1、在第一步消元前，计算、在第一步消元前，计算第25页，共40页，编辑于2022年，星期六第26页，共40页，编辑于2022年，星期六算法算法:按行比例列主元高斯消元法解线性方程组按行比例列主元高斯消元法解线性方程组Ax=b第27页，共40页，编辑

6、于2022年，星期六第28页，共40页，编辑于2022年，星期六第29页，共40页，编辑于2022年，星期六迭代改善的计算格式：迭代改善的计算格式：第30页，共40页，编辑于2022年，星期六第31页，共40页，编辑于2022年，星期六第32页，共40页，编辑于2022年，星期六|第33页，共40页，编辑于2022年，星期六病态严重：病态严重：1:1:正交分解正交分解2:2:A A的奇异值分解。的奇异值分解。轻度病态：轻度病态：1:1:双精度改善双精度改善2:2:比例增减改善比例增减改善3:3:迭代改善。迭代改善。2.2.解的精度改进解的精度改进第34页，共40页，编辑于2022年，星期六证明

7、证明：病态的程度。病态的程度。接近奇异接近奇异的大小可作为度量矩阵的大小可作为度量矩阵最小的奇异值最小的奇异值分解分解的的nnTTnAAAAAconddiagVUASVDAs ss ss sl ll ls ss ss s1minmax221)()()(),.,(,)1(=S SS S=奇异值分解的应用奇异值分解的应用第35页，共40页，编辑于2022年，星期六第36页，共40页，编辑于2022年，星期六第37页，共40页，编辑于2022年，星期六 要想成为一名计算机算法语言的明要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精

8、确性、经济性和本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。稳定性的属性则是非常重要的。第38页，共40页，编辑于2022年，星期六 培养培养“数觉数觉”：当计算机接替了大量计算，对机器的当计算机接替了大量计算，对机器的使用者来说，聪明地设计正确算法和使用者来说，聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。设计计算需要解释结果是很重要的。设计计算需要充分理解运算的意义，解释结果需要充分理解运算的意义，解释结果需要会判断机器输出的某个结果正确与否，会判断机器输出的某个结果正确与否，如果有错，错误是来自数据输入、运如果有错，错误是来自数据输入、运算的选择或是机器的运行。算的选择或是机器的运行。第39页，共40页，编辑于2022年，星期六二版习题二版习题 P116-24,26,28三版习题三版习题 P138-14,16,18第40页，共40页，编辑于2022年，星期六