数学分析方向导数与梯度幻灯片.ppt

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1、数学分析方向导数与梯度第1页，共21页，编辑于2022年，星期六 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题一、方向导数一、方向导数（如图）（如图）第2页，共21页，编辑于2022年，星期六如当如当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，称此极限为函数在点称此极限为函数在点沿方向沿方向的的方向导数方向导数.记为记为第3页，共21页，编辑于2022年，星期六依定义依定义,若函数若函数在点在点存在偏导数存在偏导数,第4页，共21页，编辑于2022年，星期六证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到第5页，共21页，编辑于20

2、22年，星期六故有方向导数故有方向导数第6页，共21页，编辑于2022年，星期六解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知第7页，共21页，编辑于2022年，星期六故故第8页，共21页，编辑于2022年，星期六推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义第9页，共21页，编辑于2022年，星期六第10页，共21页，编辑于2022年，星期六二、梯度的概念二、梯度的概念(gradient)(gradient)第11页，共21页，编辑于2022年，星期六第12页，共21页，编辑于2022年，星期六结论结论第13页，共21页，编辑于2022年，星期六在几何上在几何上 表示一个曲面

3、表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量第14页，共21页，编辑于2022年，星期六 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数第15页，共21页，编辑于2022年，星期六解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故第16页，共21页，编辑于2022年，星期六1、方向导数的概念、方向导

4、数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结三、小结第17页，共21页，编辑于2022年，星期六思考题思考题连续连续沿任意方向的方向导数存在沿任意方向的方向导数存在2.2.考虑下面各项之间的关系考虑下面各项之间的关系第18页，共21页，编辑于2022年，星期六作业作业 习题集习题集14-214-2 8,9,8,9,10,13,1410,13,14.第19页，共21页，编辑于2022年，星期六思考题解答思考题解答第20页，共21页，编辑于2022年，星期六第21页，共21页，编辑于2022年，星期六