数学物理方程特征线法幻灯片.ppt

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1、数学物理方程 特征线法第1页，共27页，编辑于2022年，星期六 Method of characteristics Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双一种基于特征理论的求解双一种基于特征理论的求解双一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的似方法。曲型偏微分方程组的似方法。曲型偏微分方程组的似方法。曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，它产生较早，1919世纪末已经有效地世纪末已经有效地为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。一维不

2、定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效它不仅适用于线性偏微分方程，而且也

3、是求解非线性方程的一种有效它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效方法。方法。方法。方法。第2页，共27页，编辑于2022年，星期六一、特征线法一、特征线法 结结结结合合合合一一一一些些些些具具具具体体体体的的的的定定定定解解解解问问问问题题题题的的的的求求求求解解解解，说说说说明明明明特特特特征征征征线线线线方方方方法法法法的的的的基基基基本本本本思思思思想想想想和和和和求求求求解解解解方方方方法。法。法。法。第一节、一阶偏微分方程特征线法第一节、一阶偏微分方程特征线法第一节、一阶偏微分方程特征线法第一节、一阶偏

4、微分方程特征线法 例例例例1 1 1 1 求解线性方法求解线性方法求解线性方法求解线性方法CauchyCauchy问题问题问题问题 解解解解 方程（方程（方程（方程（1 1）的左端）的左端）的左端）的左端是是是是的一阶偏导数的线性的一阶偏导数的线性的一阶偏导数的线性的一阶偏导数的线性组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为关于关于关于关于t t的全的全的全的全导数。导数。导数。导数。在这条直线在这条直线在这条直线在这条直线上，即上，即上，即上，即，在这个直线上，上述，在这个直

5、线上，上述，在这个直线上，上述，在这个直线上，上述定解问题转化为定解问题转化为定解问题转化为定解问题转化为第3页，共27页，编辑于2022年，星期六解之，得解之，得解之，得解之，得又又又又，则，则，则，则 此解法关键之处是找到直线此解法关键之处是找到直线此解法关键之处是找到直线此解法关键之处是找到直线，偏微分方程转化为，偏微分方程转化为，偏微分方程转化为，偏微分方程转化为常微分方程。直线常微分方程。直线常微分方程。直线常微分方程。直线称为一阶偏微分方程（称为一阶偏微分方程（称为一阶偏微分方程（称为一阶偏微分方程（1 1）的特征线）的特征线）的特征线）的特征线第4页，共27页，编辑于2022年，

6、星期六特征线特征线特征线特征线是方程是方程是方程是方程的解，方程的解，方程的解，方程的解，方程称为（称为（称为（称为（1 1）的特征方程，其解就是（）的特征方程，其解就是（）的特征方程，其解就是（）的特征方程，其解就是（1 1）的特征线。）的特征线。）的特征线。）的特征线。沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特征线法的基本思想。征线法的基本思想。征线法的基本思想。征线法的基本思想。对定解问题（对定解问题（对定解问题（对定解问题

7、（1 1）（）（）（）（2 2）也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换则则则则第5页，共27页，编辑于2022年，星期六即即即即代入代入代入代入有有有有所以所以所以所以即即即即对对对对两边积分，可得两边积分，可得两边积分，可得两边积分，可得其中，其中，其中，其中，为一个可微函数。为一个可微函数。为一个可微函数。为一个可微函数。由由由由第6页，共27页，编辑于2022年，星期六由方程（由方程（由方程（由方程（2 2）得得得得即即即即所以所以所以所以第7页，共2

8、7页，编辑于2022年，星期六定义定义定义定义1 1 考虑下面一阶线性微分方程考虑下面一阶线性微分方程考虑下面一阶线性微分方程考虑下面一阶线性微分方程注注注注1 1 给出例给出例1 1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数其中其中其中其中、和和和和、均为自变量均为自变量均为自变量均为自变量、的函数。的函数。的函数。的函数。方程方程方程方程称为称为称为称为(4)(4)式的特征方程，其积分曲线称为式的特征方程，其积分曲线称为式的特征方程，其积分曲线称为式的特征方程，其积分曲线称为(4)(4)式的特征曲线。式的特征曲线。式的特征曲线。式的特征曲线。c

9、 c，即为特征线的初始值，即为特征线的初始值。当参数。当参数在在轴滑动时，轴滑动时，(3)(3)式的解曲线就织成了式的解曲线就织成了(1)(1)式式-(2)-(2)式的解曲面。式的解曲面。为了避免和常数为了避免和常数为了避免和常数为了避免和常数c c混淆，下面用变量混淆，下面用变量混淆，下面用变量混淆，下面用变量代替参数代替参数代替参数代替参数c c。请记住：。请记住：。请记住：。请记住：变化相当于变化相当于变化相当于变化相当于在在在在轴上滑动。轴上滑动。轴上滑动。轴上滑动。第8页，共27页，编辑于2022年，星期六 例例例例2 2 2 2 求解线性方法柯西问题求解线性方法柯西问题求解线性方法

10、柯西问题求解线性方法柯西问题解解解解 方程方程方程方程(6)(6)(6)(6)式的特征方程为式的特征方程为式的特征方程为式的特征方程为 而过点而过点而过点而过点 的特征线就是下面问题的解的特征线就是下面问题的解的特征线就是下面问题的解的特征线就是下面问题的解 解之可得解之可得解之可得解之可得 。沿此特征线原定解问题。沿此特征线原定解问题。沿此特征线原定解问题。沿此特征线原定解问题(6)-(7)(6)-(7)(6)-(7)(6)-(7)简化为简化为简化为简化为 第9页，共27页，编辑于2022年，星期六解出解出解出解出 最后，由特征线方程最后，由特征线方程最后，由特征线方程最后，由特征线方程 易

11、得该问题的解为易得该问题的解为易得该问题的解为易得该问题的解为 常数常数常数常数 (8)(8)(8)(8)式中便得式中便得式中便得式中便得(6)(6)(6)(6)式式式式-(7)-(7)-(7)-(7)式的解为式的解为式的解为式的解为 将其代入到将其代入到将其代入到将其代入到 第10页，共27页，编辑于2022年，星期六 练习练习练习练习 求下列求下列Cauchy问题的解问题的解 解解解解 第一步第一步 求特征线。求特征线。特征线方程特征线方程的解为的解为 第二步第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令化偏微分方程为常微分问题并求解。令则则第11页，共27页，编辑于2022年，星期六则则这个

12、常微分方程初值问题的解为这个常微分方程初值问题的解为又又所以所以第12页，共27页，编辑于2022年，星期六第二节、一维波动方程的特征线法第二节、一维波动方程的特征线法第二节、一维波动方程的特征线法第二节、一维波动方程的特征线法考虑弦振动方程的考虑弦振动方程的考虑弦振动方程的考虑弦振动方程的CauchyCauchyCauchyCauchy问题问题问题问题 这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。特征线族特征线族特征线族特征线族即

13、即即即可得可得可得可得第15页，共27页，编辑于2022年，星期六 （3 3 3 3）称为特征方程）称为特征方程）称为特征方程）称为特征方程 做变量代换做变量代换做变量代换做变量代换则则第16页，共27页，编辑于2022年，星期六则（则（1）式变为）式变为积分此方程，可得积分此方程，可得其中其中f、g是两个任意函数，将变量是两个任意函数，将变量还原成还原成x和和t得得由方程由方程的（的（2）式，可得）式，可得第17页，共27页，编辑于2022年，星期六对上面第二式两边积分对上面第二式两边积分联立（联立（A）（）（B）两式，可得）两式，可得所以所以第18页，共27页，编辑于2022年，星期六第19页，共27页，编辑于2022年，星期六例例2 2解解例例1 1解解第20页，共27页，编辑于2022年，星期六第21页，共27页，编辑于2022年，星期六第22页，共27页，编辑于2022年，星期六第23页，共27页，编辑于2022年，星期六第24页，共27页，编辑于2022年，星期六第25页，共27页，编辑于2022年，星期六第26页，共27页，编辑于2022年，星期六第27页，共27页，编辑于2022年，星期六