数理统计 - 3版.pdf

《数理统计 - 3版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计 - 3版.pdf（326页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、科学版研究生教学丛书数 理 统 计（第三版）师义民 徐 伟秦超英 许 勇 编著北 京内 容 简 介 本书是根据全国工科院校硕士研究生“数理统计”课程的基本要求，在保留第二版的大部分内容和优点的基础上，适当补充和修改而成 全书共分 章，内容包括：统计量与抽样分布、参数估计、统计决策与贝叶斯估计、假设检验、方差分析与试验设计、回归分析、多元分析初步、统计软件 SPSS 简介 与第二版相比较，加强了数理统计的经典内容和统计软件及应用的介绍，旨在提高工科研究生的统计理论水平和应用能力 书中各章配有适量的习题，书后附有习题答案 本书可作为工科各专业研究生，数学与应用数学、信息与计算科学、统计学专业本科生

2、的教材，也可供广大工程技术人员参考使用 图书在版编目（CIP）数据 数理统计师义民等编著 版 北京：科学出版社，（科学版研究生教学丛书）ISBN 唱唱唱唱 畅 数 畅 师 畅 数理统计 研究生 教材 畅O 中国版本图书馆 CIP 数据核字（）第 号责任编辑：赵 靖 滕亚帆责任校对：鲁 素责任印制：张克忠封面设计：陈 敬出版北 京东黄城根北街 号邮政编码：http：w w w sciencep com双 青 印 刷 厂 印刷科学出版社发行 各地新华书店经销倡 年 月西北工业大学出版社第一版 年 月第二版 年 月第三版 年 月第十次印刷 开本：B（）印张：字数：印数：定价：29畅00 元（如有印装

3、质量问题，我社负责调换枙环伟枛）第三版前言枟数理统计枠 第二版于 年在科学出版社出版，先后多次印刷 近年来，该书一直作为西北工业大学工科研究生及应用数学系本科生的教学用书 国内各所院校也使用了本教材，反映良好 本教材于 年各所获西北工业大学优秀教材二等奖 为适应研究生“数理统计”课程教学改革的需要，这次改版是在保留第二版的大部分内容和优点的基础上，适当补充和修改而成 将原书第 章中有关统计分布、多元正态分布的内容分别归入统计量与抽样分布、多元分析初步中讲述 本次修订加强了数理统计的经典内容和统计软件及应用的介绍 增加的新内容有：经验贝叶斯估计、似然比检验、几类一元非线性回归、统计软件 SPSS

4、 简介及应用实例等 旨在提高工科研究生的统计理论水平和应用能力 本书的第 章和第 章由秦超英编写、修订，第 章和第 章由师义民编写、修订，第 章和第 章由徐伟编写、修订，第 章和第 章由许勇编写、修订 全书由师义民统稿与整理 本书的编写得到了西北工业大学概率统计教研室的许多教师和研究生、西北工业大学研究生院及科学出版社的大力支持和帮助，在此一并致以衷心感谢 由于编者水平有限，书中错误之处，恳请读者指正 编 者 年 月于西北工业大学第二版前言本书自 年第一版出版以来，一直在西北工业大学 级、级和 级研究生“数理统计”课程中使用 现根据使用情况并考虑到新世纪研究生“数理统计”课程的教学改革和西北工

5、业大学“三航”高技术各专业对“数理统计”课程的需要，对第一版内容作了进一步调整与修改 本次修订增加了第 章“基础知识”和第 章“统计决策与贝叶斯估计”；去掉了第一版中的第 章“随机模拟”和第 章“统计软件 SPSS 简介”；另外将原书中第 章“方差分析”和第 章“试验设计”合并为现在的第 章“方差分析与试验设计”，并在内容上作了适当补充与修改 本次修订重点加强了数理统计的经典内容，如次序统计量及其分布、充分完备统计量、最小方差无偏估计、假设检验的基本概念等，旨在提高工科研究生的统计理论水平 本书的第 章和第 章由赵选民编写、修订，第 章和第 章由秦超英编写、修订，第 章和第 章由师义民编写、修

6、订，第 章和第 章由徐伟编写、修订 全书由赵选民同志统稿与整理 陕西师范大学刘新平教授仔细地审阅了全稿，并提出了许多宝贵意见与建议 西北工业大学应用数学系概率统计教研室、西北工业大学研究生院、科学出版社对本书第二版的出版给予了大力支持与帮助，在此，一并致以衷心的谢忱 由于编者水平有限，书中存在不妥之处，敬请读者指正 编 者 年 月于西北工业大学第一版前言本书是根据全国工科院校硕士研究生“数理统计”课程的教学基本要求而编写的 全书共分 章，前 章介绍数理统计的基本理论与基本方法，内容包括：数理统计的基本概念、抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析 考虑到面向 世纪工科研究生数理统计课程

7、教学改革和实际应用的需要，第 章介绍了正交试验设计、SN 比及其试验设计和三次设计等方法，第 章、第 章、第 章分别介绍了多元分析初步、随机模拟方法和常用统计软件 这些方法在工、农业生产，社会、经济、工程技术和自然科学等领域都具有广泛的应用 本书各章均配有适量的习题，书末附有习题答案或提示 在本书的编写过程中，考虑到工科硕士研究生的数学基础和教学特点，对数理统计学的基础与核心内容，尽量做到循序渐近，由浅入深，叙述严谨，分析透彻 而对应用方法部分，通过对典型实例的分析来介绍方法，培养学生应用所学知识解决工程实际问题的能力 本书的后 章内容基本独立，教师可根据学时和不同的教学要求选讲有关内容，或留

8、给学生自学 本书可作为工学、经济学硕士研究生“数理统计”课程 学时的教材，也可作为数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、管理等专业本科生、研究生的教材或教学参考书，亦可供工程技术人员参考 本书的第 章和第 章由秦超英编写，第 章和第 章由赵选民编写，第 章和第 章由师义民编写，第 章、第 章和第 章由徐伟编写，全书由赵选民统稿整理 本书的初稿曾作为讲义在西北工业大学 级、级、级和 级四届研究生教学中使用，并几经修改得以完善 西北工业大学应用数学系概率统计教研室、西北工业大学出版社和研究生院对本书的编写、出版给予了大力支持和帮助，西安交通大学范金城教授仔细地审阅了全稿，并提出了许多宝贵意见与建

9、议，在此，一并致以衷心的谢忱 由于编者水平有限，书中存在的不妥之处，敬请读者指正 编 者 年 月于西北工业大学目 录第 1 章 统计量与抽样分布 畅 基本概念 畅 充分统计量与完备统计量 畅 抽样分布 畅 次序统计量及其分布 习题 第 2 章 参数估计 畅 点估计与优良性 畅 点估计量的求法 畅 最小方差无偏估计和有效估计 畅 区间估计 习题 第 3 章 统计决策与贝叶斯估计 畅 统计决策的基本概念 畅 贝叶斯估计 畅 minimax 估计 畅 经验贝叶斯估计 习题 第 4 章 假设检验 畅 假设检验的基本概念 畅 正态总体均值与方差的假设检验 畅 非参数假设检验方法 畅 似然比检验 习题 第

10、 5 章 方差分析与试验设计 畅 单因素方差分析 畅 两因素方差分析 畅 正交试验设计 习题 第 6 章 回归分析 畅 一元线性回归分析 畅 多元线性回归分析 畅 几类一元非线性回归 习题 第 7 章 多元分析初步 畅 多元正态分布的定义及性质 畅 多元正态分布参数的估计与假设检验 畅 判别分析 畅 主成分分析 习题 第 8 章 统计软件 SPSS 简介 畅 引言 畅 SPSS 基本操作 畅 统计图形 畅 统计分析 习题 习题答案参考文献附表 viii 目 录 第 章 统计量与抽样分布数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因

11、素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议 数理统计研究的内容非常广泛，概括起来可分为两大类：一是试验设计，即研究如何对随机现象进行观察和试验，以便更合理更有效地获得试验数据；二是统计推断，即研究如何对所获得的有限数据进行整理和加工，并对所考察的对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断 数理统计是一门应用性很强的数学学科，已被广泛地应用到自然科学和工程技术的各个领域 数理统计方法已成为各学科从事科学研究以及在生产、管理、经济等部门进行有效工作的必不可少的数学工具 本章在回顾数理统计中的一些基本概念，如总体、样本、统计量和经验分布函数的基础上，介绍充分统计量、完

12、备统计量以及一些重要统计量的分布等 畅 基 本 概 念一、总体和样本畅 总体 在数理统计学中，把所研究对象的全体元素组成的集合称为总体（或称母体），而把组成总体的每个元素称为个体 例如，在考察某批灯泡的质量时，该批灯泡的全体就组成一个总体，而其中每个灯泡就是个体 但是，在实际应用中，人们所关心的并不是总体中个体的一切方面，而所研究的往往是总体中个体的某一项或某几项数量指标 例如，考察灯泡质量时，我们并不关心灯泡的形状、式样等特征，而只研究灯泡的寿命、亮度等数量指标特征 如果只考察灯泡寿命这一项指标时，由于一批灯泡中每个灯泡都有一个确定的寿命值，因此，自然地把这批灯泡寿命值的全体视为总体，而其中

13、每个灯泡的寿命值就是个体 由于具有不同寿命值的灯泡的比例是按一定规律分布的，即任取一个灯泡其寿命为某一值具有一定概率，因而，这批灯泡的寿命是一个随机变量，也就是说，可以用一个随机变量 X 来表示这批灯泡的寿命这个总体 因此，在数理统计中，任何一个总体都可用一个随机变量来描述 总体的分布及数字特征，即指表示总体的随机变量的分布及数字特征 对总体的研究也就归结为对表示总体的随机变量的研究 畅 样本为了了解总体 X 的分布规律或某些特征，必须对总体进行抽样观察，即从总体 X 中，随机抽取 n个个体 X，X，Xn，记为（X，X，Xn）T，并称此为来自总体 X 的容量为 n 的样本 由于每个 Xi都是从

14、总体 X 中随机抽取的，它的取值就在总体 X 的可能取值范围内随机取得，自然每个 Xi也是随机变量，从而样本（X，X，Xn）T是一个 n 维随机向量 在抽样观测后，它们是 n 个数据（x，x，xn）T，称之为样本（X，X，Xn）T的一个观测值，简称样本值 样本（X，X，Xn）T可能取值的全体称为样本空间，记为 我们的目的是依据从总体 X 中抽取的一个样本值（x，x，xn）T，对总体 X的分布或某些特征进行分析推断，因而要求抽取的样本能很好地反映总体的特征且便于处理，于是，提出下面两点要求：（）代表性 要求样本 X，X，Xn同分布且每个 Xi与总体 X 具有相同的分布（）独立性 要求样本 X，X

15、，Xn是相互独立的随机变量 满足上述两条性质的样本称为简单随机样本 若无特别说明，今后提到的样本均指简单随机样本 关于样本（X，X，Xn）T的分布有如下定理 定理 1畅1 设总体 X 的分布函数为 F（x）（或分布密度为 f（x）或分布律为P X x（i）p（x（i），i ，），则来自总体 X 的样本（X，X，Xn）T的联合分布函数为ni F（xi）（或联合分布密度为ni f（xi）或联合分布律为ni p（xi）例 1畅1 设总体 X 服从参数为 p 的两点分布，即P X p，P X p，p ，试求样本（X，X，Xn）T的联合分布律 解 由于总体 X 的分布律可以写成p（x）P X x px（

16、p）x，x ，故由定理 畅，样本（X，X，Xn）T的联合分布律为ni p（xi）ni pxi（p）xi pni xi（p）n ni xi 例 1畅2 设总体 X 服从正态分布 N（，），试求样本（X，X，Xn）T的联合分布密度 解 总体 X 的分布密度为f（x）e（x），x ，第 章 统计量与抽样分布 故样本（X，X，Xn）T的联合分布密度为ni f（xi）ni e（xi）（）neni （xi）二、统计量和样本矩畅 统计量 样本是总体的代表和反映，但在抽取样本之后，并不能直接利用样本进行推断，而需要对样本进行“加工”和“提炼”，把样本中关于总体的信息集中起来，这便是针对不同的问题构造出样本的某

17、种函数 为此，引进统计量的概念 定义 1畅1 设（X，X，Xn）T为总体 X 的一个样本，若 f（X，X，Xn）为一个函数，且 f 中不含任何未知参数，则称 f（X，X，Xn）为一个统计量 由于样本 X，X，Xn是随机变量，统计量 f（X，X，Xn）也是随机变量，它们应有确定的分布，其分布称之为抽样分布 畅 常用统计量 样本矩定义 1畅2 设（X，X，Xn）T是从总体 X 中抽取的样本，称统计量：珡 X nni Xi为样本均值；Snnni （Xi 珡 X）nni Xi 珡 X为样本方差；S倡nn ni （Xi 珡 X）为修正样本方差（简称样本方差）；Snnni （Xi 珡 X）为样本标准差；A

18、knni Xki（k ，）为样本 k 阶原点矩；Bknni （Xi 珡 X）k（k ，）为样本 k 阶中心矩 由定义 畅 可见，A 珡 X，B Sn，S倡nnn Sn用 珚 x，sn，ak，bk分别表示 珡 X，Sn，Ak，Bk的观测值，此时只要把定义 畅 中 Xi改为 xi即可 由大数定律可以证明，只要总体 X 的 k 阶矩存在，则样本的 k 阶矩依概率收 畅 基 本 概 念敛于总体 X 的 k 阶矩 即对任意 ，有limn P|珡 X|，limn P|Sn|，式中 EX，DX 此结论表明，n 很大时可用一次抽样后所得的样本均值 珡 X和样本方差 Sn分别作为总体 X 的均值 和方差 的近似

19、值 定理 1畅2 设总体 X 具有 k 阶矩，则来自总体 X 的样本 k 阶原点矩 Ak的数学期望和方差分别为EAk k，DAk k kn，其中 k EXk（k ，）表示总体 X 的 k 阶原点矩 证明 EAk Enni Xkinni EXkinni EXk k，DAk Dnni Xkinni DXkinni DXkn（EX k（EXk）k kn 推论 E珡 X EX，D珡 X nDX，ESnn nDX，ES倡n DX 三、经验分布函数根据样本来估计和推断总体 X 的分布函数 F（x），是数理统计要解决的一个重要问题 为此，引进经验分布函数的概念，并介绍它的性质 设总体 X 的分布函数为 F（

20、x），现对 X 进行 n 次重复独立观测，即对总体作 n次简单随机抽样，以 vn（x）表示随机事件 X x在这 n 次重复独立观测中出现的次数，即 n个观测值 x，x，xn中小于等于 x 的个数 对 X 每进行了 n 次重复独立观测，便得到总体 X 的样本（X，X，Xn）T的一个观测值（x，x，xn）T，从而对固定的 x （，）可以确定 vn（x）所取的数值，这个数值就是 x，x，xn的 n 个数中小于等于 x 的个数 若重复进行 n次抽样时，对于同一个 x，vn（x）可能将取不同数值，即 vn（x）随样本取不同样本值而取不同值 因此，vn（x）实际上是一个统计量，从而也是随机变量 vn（x）

21、通常称为经验频数 由于在 n重独立试验中，某事件出现的次数服从二项分布，故有 vn（x）服从二项分布Pvn（x）k Ckn（P X x）k（P X x）n k CknF（x）k F（x）n k，第 章 统计量与抽样分布 其中 k ，n 即vn（x）B（n，F（x）定义 1畅3 称函数Fn（x）vn（x）n，x （畅）为总体 X 的经验分布函数 设（X，X，Xn）T是来自总体 X 的样本，其样本值为（x，x，xn）T将x，x，xn按由小到大的顺序排列并重新编号为x（）x（）x（n），则总体 X 的经验分布函数可表示为Fn（x）vn（x）n，x x（），kn，x（k）x x（k），k ，n ，x

22、x（n）（畅）经验分布函数 Fn（x）的性质：（）当给定样本值（x，x，xn）T时，Fn（x）是一个分布函数，即具有以下性质：（i）Fn（x）；（ii）Fn（），Fn（）；（iii）Fn（x）非减且右连续（）Fn（x）是随机变量，且 nFn（x）vn（x）B（n，F（x），进而EFn（x）F（x），DFn（x）nF（x）F（x）（）当 n 时，Fn（x）依概率收敛于总体 X 的分布函数 F（x），即对任意 及 x （，），有limn P|Fn（x）F（x）|实际上，Fn（x）还依概率 一致地收敛于 F（x），所谓格里文科定理指出了这一更深刻的结论，即P limn sup x|Fn（x）F（x）

23、|这一性质表明，当 n很大时，由一个样本值得到的经验分布函数 Fn（x）是总体分布函数 F（x）的一个优良的估计 畅 充分统计量与完备统计量一、充分统计量 在数理统计中，由样本来推断总体的前提是：样本中包含了总体分布的信息 畅 充分统计量与完备统计量简单随机样本满足了这一前提条件 样本中所包含的关于总体分布的信息可分为两部分，其一是关于总体结构的信息，即反映总体分布的结构（类型）例如，假定总体分布是正态分布，则来自该总体的样本也是相互独立、相同的正态分布 因此，在样本中包含了总体分布是正态分布的信息 其二是关于总体分布中未知参数的信息，这是由于样本的分布中包含了总体分布中的未知参数 现在，我们

24、把目标集中在后一部分的信息，即要推断总体分布的未知参数，为此构造一个合适的统计量，对样本进行加工，以便把样本中关于未知参数的信息“提炼”出来 譬如，为了估计总体的均值，人们把样本（X，X，Xn）T加工成样本均值 珡 X，为了估计总体方差，把样本加工成样本方差 Sn，然后用 珡 X 和 Sn分别去估计总体均值 和方差 那么试问：统计量 珡 X 或 Sn与样本（X，X，Xn）T中所含 或 的信息是否一样多？换言之，统计量 珡 X 和 Sn是否把样本（X，X，Xn）T中关于 和 的信息全部提炼出来，而没有任何信息损失 显然，一个“好”的统计量，应该能够将样本中所包含的关于未知参数的信息全部提取出来

25、如何将这样一个直观想法用数学形式来表示呢？英国著名统计学家费希尔（R A Fisher）在 年提出了一个重要的概念 充分统计量 粗略地说，充分统计量就是“不损失信息”的统计量，它的精确表述如下：定义 1畅4 设（X，X，Xn）T是来自总体 X 具有分布函数 F（x；）的一个样本，T T（X，X，Xn）为一个（一维或多维的）统计量，当给定 T t 时，若样本（X，X，Xn）T的条件分布（离散总体为条件概率，连续总体为条件密度）与参数 无关，则称 T 是 的充分统计量 充分统计量的含义可以这样来解释：样本中包含关于总体分布中未知参数 的信息，是因为样本的联合分布与 有关 对统计量 T，如果已经知道

26、它的值以后，样本的条件分布与 无关，就意味着样本的剩余部分中不再包含关于 的信息 换言之，在 T 中包含了关于 的全部信息，因此，要做关于 的统计推断只需从 T 出发即可 这就是“充分统计量”这个概念中“充分”这个词的含义 例 1畅3 设总体 X 服从两点分布 B（，p），即P X x px（p）x，x ，其中 p ，（X，X，Xn）T是来自总体 X 的一个样本，试证 珡 X nni Xi是参数 p 的充分统计量 证明 由于 Xi B（，p），易知 n珡 X ni Xi B（n，p），即有Pn珡 X k Cknpk（p）n k，k ，n 设（x，x，xn）T为样本值，其中 xi 或 当已知ni

27、 xi k，即 珡 X kn第 章 统计量与抽样分布 时，样本（X，X，Xn）T的条件概率 P X x，X x，Xn xn|珡 X knPX x，X x，Xn xn，珡 X knP珡 X knPX x，X x，Xn xnPn珡 X k，ni xi k，ni xi kpni xi（p）n ni xiCknpk（p）n k，ni xi k，ni xi kCkn，ni xi k，ni xi k与 p 无关，所以 珡 X 是 p 的充分统计量 二、因子分解定理根据充分统计量的含义，在对总体未知参数进行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未知参数的充分统计量 但从定义出发来判别一个统计量是否是充分统计量

28、是很麻烦的 为此，需要一个简单的判别准则 下面给出一个定理 因子分解定理，运用这个定理，判别甚至寻找一个充分统计量有时会很方便 定理 1畅3（因子分解定理）（）连续型情况：设总体 X 具有分布密度 f（x；），（X，X，Xn）T是一样本，T（X，X，Xn）是一个统计量，则 T 为 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布密度函数可以分解为L（）ni f（xi；）h（x，x，xn）g（T（x，x，xn）；），（畅）其中 h是 x，x，xn的非负函数且与 无关，g 仅通过 T 依赖于 x，x，xn（）离散型情况：设总体 X 的分布律为 P X x（i）p（x（i）；）（i ，），（X，X，Xn）T

29、是一样本，T（X，X，Xn）是一个统计量，则 T 是 的充分统 畅 充分统计量与完备统计量计量的充要条件是：样本的联合分布律可表示为 P X x，X x，Xn xn ni P X xi h（x，x，xn）g（T（x，x，xn）；），（畅）其中 h 是 x，x，xn的 非 负 函 数 且 与 无 关，g 仅 通 过 T 依 赖 于 x，x，xn定理 畅 又称为费希尔 奈曼准则，由于证明涉及较多的测度论知识，故从略 如果 是参数向量，如正态总体 N（，）中，都未知，则记 （，）T；统计量 T是随机向量，且式（畅）或式（畅）成立，则称 T 关于 是联合充分的 必须指出，如果 和 T 的维数相等，我们

30、不能由 T 关于 的充分性而推出 T的第 i 个分量关于 的第 i 个分量是充分的 例 1畅4 根据因子分解定理证明例 畅 证明 样本的联合分布律为 P X x，X x，Xn xn pni xi（p）n ni xi（p）np pni xi若取T（x，x，xn）nni xi，h（x，x，xn），g（T（x，x，xn）；p）（p）np pnT，则有P X x，X x，Xn xn h（x，x，xn）g（T（x，x，xn）；p），由因子分解定理知，T（X，X，Xn）nni Xi 珡 X 是 p 的充分统计量 例 1畅5 设（X，X，Xn）T是来自泊松分布 P（）的一个样本，试证明样本均值 珡 X 是

31、的充分统计量 证明 样本（X，X，Xn）T的联合分布律为P X x，X x，Xn xn ni xini xi！e n，若取第 章 统计量与抽样分布 T（x，x，xn）nni xi，h（x，x，xn）ni xi！，g（T（x，x，xn）；）nTe n，则 P X x，X x，Xn xn h（x，x，xn）g（T（x，x，xn）；）由因子分解定理知，T（X，X，Xn）珡 X 是 的充分统计量 例 1畅6 设（X，X，Xn）T是来自正态总体 N（，）的一个样本，试证样本均值 珡 X 是 的充分统计量 证明 样本（X，X，Xn）T的联合分布密度为L（）（）nexp ni （xi）（）nexp ni （

32、xi 珚 x）n（珚 x）（）nexp ni （xi 珚 x）exp n（珚 x）若取T（x，x，xn）nni xi 珚 x，h（x，x，xn）exp ni （xi 珚 x），g（T（x，x，xn）；）（）nexp n（T），则L（x，x，xn；）h（x，x，xn）g（T（x，x，xn）；）由因子分解定理知，T（X，X，Xn）珡 X 是 的充分统计量 例 1畅7 设（X，X，Xn）T是来自正态总体 N（，）的一个样本，试证T（X，X，Xn）珡 X，ni XiT是关于 （，）T的联合充分统计量 证明 样本的联合分布密度为L（）（）nexp ni （xi）畅 充分统计量与完备统计量（）nexp n

33、i xin珚 x n h（x，x，xn）g（T（x，x，xn）；），其中 h（x，x，xn），而 g（T（x，x，xn）；）显然是 T 珚 x，ni xiT和（，）T的函数 故由因子分解定理知 T 珡 X，ni XiT是 （，）T的一个联合充分统计量 此时，显然不能说ni Xi是 的充分统计量 定理 1畅4 设 T T（X，X，Xn）是 的一个充分统计量，f（t）是单值可逆函数，则 f（T）也是 的充分统计量 这个定理的结论显然是可信的 因为 的充分统计量 T 已经包含了样本中关于 的全部信息，那么 T 的函数 f（T）也应该包含样本中关于 的全部信息 证明可借助于因子分解定理（留作练习）由定

34、理 畅 可知，一个总体的参数 的充分统计量一般不惟一 例如，若 T 为 的充分统计量，则 aT b（a ）也是 的充分统计量 三、完备统计量为了介绍完备统计量的概念，首先需要引入完备分布函数族的概念 定义 1畅5 设总体 X 的分布函数族为F（x；），若对任意一个满足Eg（X），对一切 （畅）的随机变量 g（X），总有Pg（X），对一切 ，（畅）则称F（x；），为完备的分布函数族 定义 1畅6 设（X，X，Xn）T为来自总体 F（x；）（）的一个样本，若统计量 T T（X，X，Xn）的分布函数族FT（x；），是完备的分布函数族，则称 T T（X，X，Xn）为完备统计量 完备统计量的含义不如充分

35、统计量那么明确，但由定义可见它有如下特征：Pg（T）g（T），橙 骋 Eg（T）Eg（T），橙 （畅）对于一般的统计量 T T（X，X，Xn），总有 Pg（T）g（T），橙 痴 Eg（T）Eg（T），橙 ，但反之不成立 若 T 是完备统计量，即 T 的分布函数族是完备分布函数族，则由定义 畅 知，对于第 章 统计量与抽样分布 Eg（T）g（T），橙 ，总有Pg（T）g（T），橙 ，即式（畅）成立 例 1畅8 设（X，X，Xn）T是来自两点分布 B（，p）的样本 由例 畅 知 珡 Xnni Xi是 p 的充分统计量 下面验证 珡 X 也是完备统计量 由于 n珡 X ni Xi服从二项分布 B（n

36、，p），故 珡 X 的分布律为P珡 X kn Cknpk（p）n k，k ，n；p 设 g（珡 X）使得Epg（珡 X）nk gknCknpk（p）n k ，对一切 p ，即（p）nnk gknCknp pk ，对一切 p 或nk gknCknp pk ，对一切 p 上式是关于p p的多项式，对一切 p 要使多项式值为零，只能是它的每项系数为零，即 gkn（k ，n）所以 珡 X 是完备统计量 如果一个统计量既是充分的，又是完备的，则称为充分完备统计量 在寻求总体分布中未知参数的优良估计时，充分完备统计量扮演着重要的角色 四、指数型分布族要判断一个统计量 T T（X，X，Xn）是否为参数 的充

37、分统计量和完备统计量，一般是很复杂的 现介绍一类具有很好的统计和数学性质，且得到广泛应用的分布族 指数型分布族 它包含了一些常用分布，如泊松分布、正态分布、指数分布、二项分布和 分布等，对这类分布族，寻找参数的充分完备统计量是方便的 定义 1畅7 设总体 X 的分布密度为 f（x；），其中 （，m）T，（X，X，Xn）T为其样本，若样本的联合分布密度具有形式ni f（xi，）C（）expmj bj（）Tj（x，x，xn）h（x，x，xn），（畅）畅 充分统计量与完备统计量并且集合 x：f（x；）不依赖于 其中 C（），bj（）只与参数 有关而与样本无关，Tj，h 只与样本有关而与参数 无关，则

38、称 f（x；）为指数型分布族 对于离散型总体，如果其样本的联合分布律可以表示成式（畅）的形式，也同样称它为指数型分布族 定理 1畅5 设总体 X 的分布密度 f（x；）为指数型分布族，即样本的联合分布密度具有如下形式：ni f（xi；）C（）expmj bj（）Tj（x，x，xn）h（x，x，xn），（畅）其中 （，m）T，如果 中包含有一个 m 维矩形，而且 B（b（），b（），bm（）T的值域包含有一个 m 维开集，则 T （T（X，X，Xn），T（X，X，Xn），Tm（X，X，Xn）T是参数 （，m）T的充分完备统计量 例 1畅9 设总体 X 服从泊松分布 P（），（X，X，Xn）T为其

39、样本，样本的联合分布律为 P X x，X x，Xn xnni xini xi！e n e nexpnni xi nlnni xi！与式（畅）比较有C（）e n，h（x，x，xn）ni xi！，T（x，x，xn）nni xi 珚 x，b（）nln 因此，样本均值 T（X，X，Xn）珡 X 是参数 的充分完备统计量 例 1畅10 设总体 X 服从正态分布 N（，），（，）T，（X，X，Xn）T为其样本，它的联合分布密度为ni f（xi，）（）nexp ni （xi）（）nenexp nnni xin珚 x，与式（畅）比较，有C（）（）nen，第 章 统计量与抽样分布 T （T，T）T珚 x，nni

40、 xiT，B （b，b）Tn，nT，h（x，x，xn）因此，珡 X，nni XiT是（，）T的充分完备统计量，（珡 X，Sn）T也是（，）T的充分完备统计量 畅 抽 样 分 布所谓抽样分布是指统计量的概率分布 确定统计量的分布是数理统计学的基本问题之一 关于统计量的分布，我们关心两类问题：（）当总体 X 的分布已知时，对于任一自然数 n，求出给定的统计量 Un f（X，X，Xn）的分布，这个分布称为统计量的精确分布 它对数理统计中的所谓小样问题（即样本容量 n较小时的统计问题）的研究是很重要的；（）当 n 时，求统计量 Un的极限分布，统计量的极限分布对于数理统计中的所谓大样本问题（即样本容量

41、 n 较大时的统计问题）的研究很有用处 一、分布定义 1畅8 设随机变量 X，X，Xn相互独立且同服从于标准正态分布N（，），则称随机变量n X X Xn（畅）服从自由度为 n的分布，记为n（n）这里自由度 n表示式（畅）中独立变量的个数 随机变量n亦称为变量 如果平方和ni Xi中，X，X，Xn之间存在着 k个独立的线性约束条件，则称ni Xi的自由度为 n k（即自由变量的个数）由于式（畅）中，X，X，Xn之间没有线性约束条件，即 k ，所以n的自由度为 n定理 1畅6 由式（畅）定义的随机变量n的分布密度为f（x）nnexxn，x ，x ，（畅）畅 抽 样 分 布其中 n是伽玛函数（）x

42、a e xdx 在 n处的值 证明 采用数学归纳法证明 当 n 时，X，而 X N（，），即 X的分布密度是p（x）ex，x 由于只取非负值，当 y 时，显然，它的分布密度 f（y）又因为y x在 x 和 x 时分别是单调降与单调增的，所以当 y 时，的分布密度为f（y）ey（y）ey（y）y ey，所以当 n 时式（畅）成立 假设 n k 时式（）成立，即k X X Xk的分布密度为f（x）kkxk ex，x ，x 当 n k 时，k （X X Xk）Xk k Xk 由于k 取非负值，当 x 时，它的分布密度 f（x）当 x 时，利用两个独立随机变量和的分布密度的卷积公式，有f（x）xkkt

43、k et（x t）ex tdtexkkxtk（x t）dt令 u t xexxk kkuk（u）duexxk kkBk，kk xk ex其中 Bk，是贝塔函数在k，处的值 由此可见式（）对 n k 时成立 n分布密度函数曲线如图 所示，它随 n取不同的值而不同 第 章 统计量与抽样分布 图 分布的密度函数例 1 11 设（X，X，Xn）T是来自正态总体 N（，）的一个样本，求随机变量Y ni （Xi）的概率分布 解 因为 X，X，Xn相互独立，且Xi N（，）（i ，n）作变换YiXi，i ，n显然 Y，Y，Yn相互独立，且 Yi N（，）（i ，n）因此由定义 得Y ni （Xi）ni Yi

44、服从自由度为 n的分布 分布具有下列性质：性质 1 En n，Dn n证明 由定义 ，并注意到 X，X，Xn相互独立，且 EXi ，DXi（i ，n）有En Eni Xini EXini DXi（EXi）n，Dn Dni Xini DXi n上式最后一个等号用到DXi EXi（EXi）xexdx 性质 2 若（n），（m），且与相互独立，则（n m）证明 令 Z 由于 Z 只取非负值，当 z 时，Z 的分布密度（z）当 z 时，利用求独立随机变量和的分布密度的卷积公式，有（z）znnxn exmm（z x）m ez xdx 畅 抽 样 分 布n mnmezzxn（z x）m dx令 u x z

45、n mnmezzn m un（u）m dun mnmezzn m Bn，mn mn mzn m ez，即Z（n m）性质 称为分布的可加性 这个性质还可以推广到多个变量的情形，即 n个相互独立的变量之和亦是变量，且它的自由度等于各个变量相应自由度之和 性质 3 设n（n），则对任意 x，有limn Pn nn xx etdt 证明 由假设n可表示成 n个相互独立的标准正态变量 X，X，Xn的平方和，即n X X Xn显然，X，X，Xn独立同分布，且 EXi ，DXi（i ，n），由中心极限定理得limn Pn nn x limn Pni Xi nn xx etdt 此性质说明变量的极限分布是正

46、态分布，因而，当 n 很大时，n nn近似服从标准正态分布 N（，），亦即 n很大时，n近似服从正态分布 N（n，n）下面介绍一个比性质 更为深刻的结论 柯赫伦（Cochran）分解定理 定理 1 7（柯赫伦分解定理）设 X，X，Xn相互独立，且 Xi N（，）（i ，n）令 Q ni Xi，Q是自由度为 n 的变量 若 Q 可以分解成Q Q Q Qk，其中 Qi（i ，k）是秩为 ni的关于（X，X，Xn）T的非负二次型 则 Qi（i ，k）相互独立且 Qi（ni）（i ，k）的充要条件是第 章 统计量与抽样分布 n n nk n定理 畅 的必要性依变量的可加性是显然的，充分性的证明需要用到

47、较多的线性代数知识，故从略 该定理在第 章方差分析中起着重要的作用 它将被这样应用：如果由（X，X，Xn）T构成的自由度为 n 的变量 Q 能够分解成若干个关于（X，X，Xn）T的非负二次型，那么只要这若干个二次型的秩之和为 n，则每个二次型均服从分布，且分布的自由度等于相应于该二次型的秩 二、t 分布定义 1 9 设 X N（，），Y（n），且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量T XYn（）服从自由度为 n的 t 分布，记为 T t（n）随机变量 T 亦称为 T 变量 定理 1 8 由式（）所定义的 T 变量的分布密度为T（x）n nn xnn，x ，（）证明 证明分两步进行 第一步令 Z

48、 Yn，计算 Z 的分布密度 Z（z）由于 Z 取非负值，所以当 z 时，Z（z）当 z 时，z 的分布函数为FZ（z）PZ z PYn z PY nz FY（nz）因此，Z 的分布密度为Z（z）Fz（z）FY（nz）nz Y（nz）nzn nnnzn enz第二步利用两个独立随机变量之商的分布密度公式可得 T XZ的分布密度为T（x）|z|X（zx）Z（z）d z ze（zx）n nnnzn enzd znnnn znen xzd z 畅 抽 样 分 布令 u n xznn（xn）n un e udun nn xnn图 t分布密度函数图 给出了当 n ，时 t 分布密度函数图像 由于式（）中

49、的函数是偶函数，所以 t 分布密度关于 Y 轴对称 而且由图可见当 n很大时，t 分布很接近于标准正态分布 例 1 12 设 X N（，），Y（n），且 X 与 Y 相互独立 试求T X Yn的概率分布 解 因为 X N（，），所以X N（，），又Y（n），由于 X 与 Y 相互独立，因此X 与Y相互独立，从而由定义 ，有X Y n（X ）Yn t（n）即 T X Yn服从自由度为 n 的 t 分布 t 分布具有下列性质：性质 1 设 T t（n），当 n 时，ET ，DT nn 性质 2 设 T t（n），T（t）是 T 的分布密度，则limn T（t）et证明 由式（），有第 章 统计量与

50、抽样分布 limn T（t）limn n nn tnnetlimn n nn由于当 n 时，（n）（n）与 n等价，所以limn nnn limn nn，于是limn T（t）et此性质说明当 n 时，t 分布的极限分布是标准正态分布 事实上，当 n 时，t 分布与标准正态分布就非常接近了 但对较小的 n 值，t 分布与 N（，）分布有较大的差异，而且有P|T|t P|X|t，其中 X N（，），即在 t 分布的尾部比标准正态分布尾部有着更大的概率（如图 ）三、F 分布定义 1 10 设 X（n），Y（n），且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量F XnYn（）服从自由度为（n，n）的 F 分