第5章瞬态分析精选文档.ppt

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1、第5章瞬态分析本讲稿第一页，共五十七页自动化期中考试情况及格率41%本讲稿第二页，共五十七页测控期中考试情况本讲稿第三页，共五十七页自动化期中考试情况本讲稿第四页，共五十七页测控期中考试情况及格率50%本讲稿第五页，共五十七页 一阶电路的定义：一阶电路的定义：换路后换路后，电路中仅含，电路中仅含一个一个或者可以等效为一个或者可以等效为一个储储能元件能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（电路（first order circuit）。）。一、一阶一、一阶RC电路的零输入响应：电路的零输入响应：如图所示，换路前开关如图所

2、示，换路前开关S合在位置合在位置2上，换路前电路上，换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：已达稳态，电容器充电至电源电压：在在t=0时，开关突然由时，开关突然由2打向打向1，电容通过电阻，电容通过电阻R形成回形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，路放电，此时电路已没有外施激励源，其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。由由KVL得：得：本讲稿第六页，共五十七页上式是关于上式是关于uc的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之两边取积分：两边取积分：方程变形为：方程变形为：任意一阶任意一阶RC电路的零输入响应

3、为电路的零输入响应为：本讲稿第七页，共五十七页一阶一阶RC电路的零输入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。衰减的速度取决于衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。（衰减系数）。称其为一阶电路的时间常数称其为一阶电路的时间常数本讲稿第八页，共五十七页响应与其初始值成正比响应与其初始值成正

4、比。初始值增大几倍，响应增大几倍。初始值增大几倍，响应增大几倍。一阶一阶RC电路的零输入响应是电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶终。此为一阶RC电路的零输入电路的零输入响应的响应的 实质。实质。WR=WC本讲稿第九页，共五十七页二、一阶二、一阶RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：电容元件初始能量为电容元件初始能量为0，由，由t0时刻电路中外加激励作用所产时刻电路中外加激励作用所产生的响应。生的响应。如图所示电路，开关闭合前电

5、容器未充电即处如图所示电路，开关闭合前电容器未充电即处于零状态：于零状态：开关闭合后，电源通过开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容形成回路，给电容充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。激励源引起，为零状态响应。此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：)(tu)0(=+tuudtduRCSCCC为变量列写微分方程为：为变量列写微分方程为：以以本讲稿第十页，共五十七页一阶一阶RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：通解通解(general solution):特解特解(pa

6、rticular solution)：一般与微分方程常数项：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形（外施激励源）的形式相同式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。，是满足原非齐次微分方程的一个解。由由电路知电路知US是换路后电路重新达到稳态即是换路后电路重新达到稳态即t=+时电容电压时电容电压。本讲稿第十一页，共五十七页一阶一阶RC电路的零状态响应有以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：最后达到新的稳态值。它由两部分组成：a:稳态分量稳态分量：方程的特解即：方程的特解即电路达

7、到稳态时的稳态电路达到稳态时的稳态值值。它受外施激励源制约，也称为。它受外施激励源制约，也称为强制分量；强制分量；b:暂态分量暂态分量：方程的通解其：方程的通解其变化规律与零输入响应变化规律与零输入响应相同相同按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源故称暂态分量。其形式与外施激励源无关无关也称为也称为自由分量自由分量。起始值与外施激励源有关起始值与外施激励源有关。本讲稿第十二页，共五十七页电流在换路瞬间发生突变，其值为电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电路以即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着

8、极板上的电荷增多电容电压的增大，此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为减小，最后为零，电容电压为US。一阶一阶RC电路的零状态响应电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程实质是电路储存电场能的过程。电源在充。电源在充电过程中提供的能量，电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容一部分转化成电场能储存在电容中，中，一部分被电一部分被电路中的电阻消耗路中的电阻消耗。且有。且有 WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容电源提供的能量只有一半储存在电容中。中。充电效率充电效率50，与电阻电容数值无关。，与电阻电容数值无关。电源

9、电源电阻电阻电容电容本讲稿第十三页，共五十七页二、一阶电路的三要素法二、一阶电路的三要素法 稳稳态态值值，初初始始值值和和时时间间常常数数称称为为一一阶阶电电路路的的三三要要素素，通通过过三三要素可以直接写出一阶电路的全响应。这种方法称为三要素法。要素可以直接写出一阶电路的全响应。这种方法称为三要素法。若全响应变量用若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出：表示，则全响应可按下式求出：三要素的计算三要素的计算：1.初始值初始值f(0+)。（1）求出电容电压）求出电容电压uC（0-）或电感电流或电感电流iL(0-)（2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值）根据换路定律，求出响应电流

10、或电压的初始值i(0+)或或u(0+),即即f(0+)。本讲稿第十四页，共五十七页 2.稳态值稳态值 f()。作换路后作换路后t=时的稳态等效电路，求取稳时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流或电压的稳态值态下响应电流或电压的稳态值 i()或或u(),即即f()。作作t=电电路时路时,电容相当于开路电容相当于开路;电感相当于短路。电感相当于短路。3.时间常数时间常数。=RC或或L/R，其中，其中R值是换路后断开储能元件值是换路后断开储能元件C或或L,由储能元件两端看进去由储能元件两端看进去,用戴维南等效电路求得的等效用戴维南等效电路求得的等效内阻。内阻。注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二

11、阶或高阶注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高阶电路是不适用的。电路是不适用的。本讲稿第十五页，共五十七页例例1：如图所示电路原已稳定，：如图所示电路原已稳定，t=0时开关时开关S闭合，试闭合，试求电感电压求电感电压uL。解解（1）求初始值：）求初始值：作作t=0等效电路如图（等效电路如图（b）所示。则有：）所示。则有：（b）3ALt=03ALSR2R1R3IS2 2 1 1H（a）本讲稿第十六页，共五十七页作作t0时的电路如图（时的电路如图（c）所示，则有：）所示，则有：R1R32AR2（c）（3）求时间常数：）求时间常数：等效电阻为：等效电阻为：时间常数为：时间常数为：（2）求稳

12、态值：）求稳态值：画画t=时的等效电路时的等效电路,如图如图(d)所示。所示。R1R2R3（d）所以，全响应为：所以，全响应为：本讲稿第十七页，共五十七页例例2：如图（：如图（a）所示电路，在）所示电路，在t=0时开关时开关S闭合，闭合，S闭合闭合前电路已达稳态。求前电路已达稳态。求t0时时uC(t)和和iC(t)。解：解：（1）求初始值）求初始值uC(0+)。作。作t=0时的等效电路如图（时的等效电路如图（b）所示。）所示。则有：则有：S（t=0）2 F+uC+20 V(a)iC4k 4k 2k+uC（0）+20 V(b)4k 2k 本讲稿第十八页，共五十七页 作作t=0+等效电路如图（等效

13、电路如图（c）所示。列出网孔电流方程：）所示。列出网孔电流方程：+20 V(c)iC（0+）4k 4k 2k 20 Vi（0+）可得：可得：（2）求稳态值）求稳态值uC()、iC()。作。作t=时稳态等效电路如图（时稳态等效电路如图（d）所示，）所示，则有：则有：+20 V(d)uC（）4k 4k 2k iC（）本讲稿第十九页，共五十七页 （3）求时间常数）求时间常数。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：(4)根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：本讲稿第二十页，共五十七页小小 结结利用

14、换路定律和利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。2.一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应。其形式为：的响应。其形式为：1.换路定理换路定理 在电路理论中，在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）突变、电路参数的变化等）,统称为换路。换路前后瞬间，电感电流、电容电统称为换路。换路前后瞬间，电感电流、电容电压不能突变，称

15、为换路定律。即：压不能突变，称为换路定律。即：式中，式中，f(0+)是响应的初始值，是响应的初始值，是电路的时间常数。是电路的时间常数。本讲稿第二十一页，共五十七页 3.一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。其形零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。其形式为式为：式中，式中，f()是响应的稳态值。是响应的稳态值。4.一阶电路的全响应一阶电路的全响应 全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生 的响应。其两种分解为：的响应。其两种分解为：(暂态响应暂态响应)

16、(稳态响应稳态响应)本讲稿第二十二页，共五十七页 5.一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法 一阶电路的响应一阶电路的响应f(t),由初始值由初始值f(0+)、稳态值、稳态值f()和时间常数和时间常数三要三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应。全响应表达式为：用下的电路响应。全响应表达式为：计算响应变量的初始值计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值和稳态值f()，分别用，分别用t=0+时的电路和时的电路和t=时的电路解出。作时的电路解出。作t=0+时的电路，将时的电路，将uC(0+)和和iL(0+)分

17、别视为电压源和电流分别视为电压源和电流源。作源。作t=时的电路，电容相当于开路、电感相当于短路。时间常数时的电路，电容相当于开路、电感相当于短路。时间常数中的电中的电阻阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路电阻。，是动态元件两端电路的戴维南等效电路电阻。本讲稿第二十三页，共五十七页理想开关换路换路前瞬间换路后瞬间电路的初始状态：初始值：电路变量在 的值。初始值本讲稿第二十四页，共五十七页电容电压的初始值初始值若换路瞬间电容电流有界，则电感电流的初始值若换路瞬间电感电压有界，则本讲稿第二十五页，共五十七页 设开关断开前电路已持续很长时间，求电容电流和电感电压的初始值。初始值本讲稿第二十六页，共

18、五十七页RC串联电路 若电容的初始电压为零，换路后电容电压增大。KVL：一阶RC电路的响应 充电结束后，电容上电压等于电源电压。电路中电压电流的变化规律？充电需要多长时间？一阶微分方程本讲稿第二十七页，共五十七页一阶RC电路的响应其中几种特殊情况：1）（零输入）时间常数工程中取（放电）的持续期为或本讲稿第二十八页，共五十七页一阶RC电路的响应本讲稿第二十九页，共五十七页2）（零状态）一阶RC电路的响应本讲稿第三十页，共五十七页一阶RC电路的响应零状态条件下的能量充电结束后电容存贮的能量在整个充电过程中电源提供的能量 在整个充电过程中电阻消耗的能量 本讲稿第三十一页，共五十七页一阶RC电路的响应

19、3）本讲稿第三十二页，共五十七页一阶RC电路的响应如何求解电流？电流的波形？例：例：本讲稿第三十三页，共五十七页若零状态响应，则注意：电路必须是零状态的 要将响应写成完整表达式微分、积分性质本讲稿第三十四页，共五十七页例例：求电容电压的单位斜变响应。微分、积分性质解解：本讲稿第三十五页，共五十七页5.5二阶电路二阶电路本讲稿第三十六页，共五十七页动态元件有2个，用二阶微分方程描述。与一阶电路不同，没有通用求解公式。分析的基本方法：微分方程法。本节重点介绍 RLC 串联电路 其方法也可推广到 RLC 并联电路一般二阶电路的分析略引 言本讲稿第三十七页，共五十七页该二阶微分方程求解需要已知：微分方

20、程时本讲稿第三十八页，共五十七页齐次解：令则特征根的3种形式：1）不相等的实根2）相等的实根3）复数根特解：特征方程本讲稿第三十九页，共五十七页常数的确定其他量不相等的实根本讲稿第四十页，共五十七页例：求各电压电流的单位阶跃响应。试用响应曲线说明动态元件的充放电过程，并求出电流的最大值。不相等的实根本讲稿第四十一页，共五十七页练习：练习：练习：练习：R=3W,L=1H,C=0.5F,u(0)=1V,i(0)=0。求 u 和 i。Ans：不相等的实根本讲稿第四十二页，共五十七页常数的确定相等的两个实根本讲稿第四十三页，共五十七页复数根本讲稿第四十四页，共五十七页复数根本讲稿第四十五页，共五十七页

21、例：例：求各电压电流的单位阶跃响应。复数根本讲稿第四十六页，共五十七页虚根情况复数根 若右图中电容的初始电压已知，试从物理概念确定电压和电流的振幅，并绘制出其波形。本讲稿第四十七页，共五十七页常用术语 当特征根为复数时，响应具有振荡性，否则，响应是非振荡性的。电路理论证明，对由电阻和动态元件全为电容或全为电感组成的二阶电路，响应一定是非振荡性的。根据两个特征根的形式，实数时称电路是过阻尼的，相等时是临界阻尼的，复数时是欠阻尼的（虚数时是无阻尼）。本讲稿第四十八页，共五十七页典型电路分析典型电路分析(RLCRLC串联串联)1.列写方程列写方程i=duCdt-CRi=-RCuL=Ldidt=-LC

22、d2uCdt2由由KVL：-uC+Ri+uL=0 LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0代入上式得二阶齐次微分方程代入上式得二阶齐次微分方程duCdt若以电容电压为变量则有若以电容电压为变量则有 uC(0+)=U0，i(0+)=0初始条件为初始条件为或或duCdt=-Ct=0+i(0+)=0C+-uC+-S(t=0)+-uLRL+-uRiU0I0(t0+)二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应本讲稿第四十九页，共五十七页2.解方程解方程特征方程的根特征方程的根特征方程特征方程 LCp2+RCp+1=0 p1=2LR-+2LR2-LC1uC(0+)=U0，LCd2uCdt2duCdt+R

23、C+uC=0duCdt=0t=0+p2=2LR-2LR2-LC1(1)特征根只与电路参数特征根只与电路参数和结构有关，与激励和和结构有关，与激励和初始值无关。初始值无关。(2)当当R、L、C的参数不的参数不同时，特征根有不同同时，特征根有不同的形式。的形式。C+-uC+-S(t=0)+-uLRL+-uRiU0I0(t0+)本讲稿第五十页，共五十七页uC=A1e p1t+A2e p2t解的形式为解的形式为(1)R23.分析三种情况分析三种情况p1、p2 是两个不相等的负实根。是两个不相等的负实根。A1=p2-p1p2U0A2=p2-p1p1U0由初始条件求得由初始条件求得uC=p2-p1U0(p

24、2e p1t-p1e p2t)所以所以LCp1,2=2LR-2LR2-LC1 LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0uC(0+)=U0，duCdt=0t=0+本讲稿第五十一页，共五十七页duCdti=-CuL=didt L=-(p2-p1)U0(p1e p1t-p2e p2t)p1 p2=LC1考虑到考虑到=-L(p2-p1)U0(e p1t-e p2t)tm2tmuCuLiotuC,uL,U0i|p2|p1|uC 第第1项较大，且衰减较项较大，且衰减较慢。故占主导地位慢。故占主导地位。总有总有uC0、i0，说明说明C一一直在释放电能。称非振荡放电直在释放电能。称非振荡放电或过阻尼放电或

25、过阻尼放电。uC=p2-p1U0(p2e p1t-p1e p2t)分析分析本讲稿第五十二页，共五十七页C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm2tmuCuLiotuC,uL,U0i|p2|p1|tm=p1-p2ln(p2p1)i从从0开始开始，到到0结束结束，有有极值极值。令令(di/dt)=0 得得i达到达到 imax的时刻为的时刻为：0tm：C 的电场能转化的电场能转化为为L的磁场能和的磁场能和R的热能的热能。tm：uL变负变负，C 的电的电场能和场能和L的磁场能都转化为的磁场能都转化为R的热能的热能。能量释放完毕，过渡过程结束。能量释放完毕，过渡过程结束。本讲稿第五十三页，共五十七页(2)令令2LRd=LC1w2=-22LRbwdw0R临界电阻临界电阻,为过阻尼电路为过阻尼电路。R 临界电阻临界电阻,为欠阻尼电路为欠阻尼电路。R=2LCp1,2=2LR-2LR2-LC1特征方程具有重根特征方程具有重根。微分方程解的形式为微分方程解的形式为：uC=(A1+A2t)e-d t根据初始条件根据初始条件duCdt=0t=0+求得A1=U0A2=d U0本讲稿第五十七页，共五十七页