多元正态分布 讲稿.ppt

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1、多元正态分布 第一页，讲稿共二十八页哦 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在农业科学研究中，经常通过多元统计寻求多维随机变量的统在农业科学研究中，经常通过多元统计寻求多维随机变量的统计规律，即多指标问题。如，自然因子对作物产量和品质的作用、计规律，即多指标问题。如，自然因子对作物产量和品质的作用、育种中选择性状对目标性状的影响、疾病的多指标诊断、土壤成分育种中选择性状对目标性状的影响、疾病的多指标诊断、土壤成分分析、气象预报、样品的归属等，都属于多指标的统计问题。这些分析、气象预报、样品的归属等，都属于多指标的统计问题。这些指标间千丝万缕、交叉影响，存在着极其复杂的统计规律。

2、在这种指标间千丝万缕、交叉影响，存在着极其复杂的统计规律。在这种情况下，用我们所熟知的一元统计知识去孤立地分析各个指标，就情况下，用我们所熟知的一元统计知识去孤立地分析各个指标，就难免顾此失彼，使整体结论失真。因而多指标、多因素问题只有选难免顾此失彼，使整体结论失真。因而多指标、多因素问题只有选择相应的多元统计方法来处理，才能使其规律得以正确的表达。择相应的多元统计方法来处理，才能使其规律得以正确的表达。多元统计分析的理论主要建立在多元正态分布总体基础上的。多元统计分析的理论主要建立在多元正态分布总体基础上的。在实际问题中，所遇到的多元总体多是多元正态分布总体或近似多在实际问题中，所遇到的多元

3、总体多是多元正态分布总体或近似多元正态分布，有时不是多元正态分布总体，但当样本容量足够大时，元正态分布，有时不是多元正态分布总体，但当样本容量足够大时，其平均值将近似服从多元正态分布。其平均值将近似服从多元正态分布。1.2.11.2.1多元正态分布的定义多元正态分布的定义多元正态分布的定义多元正态分布的定义 设某品种小麦的产量设某品种小麦的产量(x(x1 1)、每亩穗数、每亩穗数 (x(x2 2)、每穗粒数、每穗粒数 (x(x3 3)、千、千粒重粒重 (x(x4 4)均服从正态分布：均服从正态分布：第二页，讲稿共二十八页哦第三页，讲稿共二十八页哦 那么那么4 4个性状所组成的个性状所组成的4

4、4维列向量维列向量X=XX=X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4 T T就服从四元正态就服从四元正态分布分布。一般地一般地,对于每一个分量都服从正态分布的对于每一个分量都服从正态分布的p p维随机向量维随机向量 X=XX=X1 1,X,X2 2,X,Xp p T T (1.2.3)(1.2.3)具有和一元正态分布相似的概率密度函数具有和一元正态分布相似的概率密度函数第四页，讲稿共二十八页哦 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在式（在式（1.2.41.2.4）中，）中，为均值向量。为均值向量。E E为期望算子，有为期望算子，有E(X)E(X)=,的分量的分量 i

5、i(i=1,2,pi=1,2,p)为为X X的分量的分量XiXi的数学期望，即的数学期望，即E E(X(Xi i)=i i，称为称为X X的协方差阵。的协方差阵。V V为方差算子，即为方差算子，即V(X)=,V(X)=,中的元素中的元素 ii ii为为X X的分量的分量X Xi i的方差，即的方差，即V(XV(Xi i)=)=i i2 2=ii ii,而而 ij ij为为X Xi i与与X Xj j间的协方差，间的协方差，ij ij=ji ji。在（。在（1.2.4)1.2.4)中，要求中，要求 0 0，即即 不但不但对称而且正定，这时对称而且正定，这时 的逆的逆-1-1一定存在，且一定存在，

6、且 的特征根大于的特征根大于0 0。正态分布参数的这些性质农林科研中具有特定的实际意义。正态分布参数的这些性质农林科研中具有特定的实际意义。第五页，讲稿共二十八页哦1.2.2 多元正态分布的性质 多元正态分布的性质在实际应用中起着重要的作用：1、若XN(,),则 第六页，讲稿共二十八页哦 第七页，讲稿共二十八页哦第八页，讲稿共二十八页哦第九页，讲稿共二十八页哦 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1.3多元正态分布参数的估计多元正态分布参数的估计1.3.1样本第十页，讲稿共二十八页哦 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1.3.2样本的数字特征由样本观察矩阵（1

7、.3.1)，通过计算可得样本的数字特征。1.样本均值向量 是表示样本中心位置的，其定义为第十一页，讲稿共二十八页哦2样本离差阵样本离差阵 样本离差阵样本离差阵L亦称样本信息阵，因为它反映了样亦称样本信息阵，因为它反映了样本中指标及指标间的变异及相关信息，令本中指标及指标间的变异及相关信息，令 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第十二页，讲稿共二十八页哦 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第十三页，讲稿共二十八页哦 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第十四页，讲稿共二十八页哦 由于由于 样本方差样本方差 带有原观测单位的带有原观测单位的 平方

8、平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时度而不作其它分析时 ，常需要与平均数配合常需要与平均数配合使用使用，这，这 时应时应 将平方单位还原，即应求出样将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的的平方根叫做平方根叫做样本标准样本标准 差差，记为，记为S，即：，即：（3-11）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第十五页，讲稿共二十八页哦 由于由于 所以（所以（3-11）式可改写为：）式可改写为：（3-12）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张

9、 第十六页，讲稿共二十八页哦 相应的总体参数叫相应的总体参数叫总体标准差总体标准差，记为，记为。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，的计算公式为：的计算公式为：在统计学中，常用样本标准差在统计学中，常用样本标准差S估计总估计总体标准差体标准差。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第十七页，讲稿共二十八页哦二、标准差的计算方法二、标准差的计算方法 （一）直接法（一）直接法 对于未分组或小样本资料对于未分组或小样本资料，可直接利可直接利用（用（311）或（）或（3-12）式来计算标）式来计算标准差。准差。第十八页，讲稿共二十八页哦 【例例3.9】计算计算10只辽宁绒山羊产绒量：只

10、辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的）的标准差。标准差。此例此例n=10，经计算得：，经计算得：x=5400，x2=2955000，代入（，代入（312）式得：）式得：(g)即即10只辽宁绒山羊产绒量的只辽宁绒山羊产绒量的 标准差标准差 为为65.828g。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第十九页，讲稿共二十八页哦 （二）加权法（二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为

11、：算公式为：（3 31414）式中，式中，f为各组次数；为各组次数；x为各组的组中值；为各组的组中值；f=n为总次数。为总次数。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十页，讲稿共二十八页哦 【例例3.10】利用某纯系蛋鸡利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料枚蛋重资料的次数分布表（见表的次数分布表（见表3-4）计算标准差。）计算标准差。将表将表3-4中的中的f、fx、代入（代入（314）式得：式得：(g)即某即某 纯纯 系系 蛋蛋 鸡鸡200枚枚 蛋蛋 重的标准差为重的标准差为3.5524g。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十一页，讲稿共二十八页哦 表表34

12、某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布 及标准差计算表及标准差计算表下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十二页，讲稿共二十八页哦 三、标准差的特性三、标准差的特性 （一）（一）（一）（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。（二）（二）在计算标准差

13、时，在各观测值加上或减去一个常在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。数，其数值不变。数，其数值不变。数，其数值不变。（三）（三）（三）（三）当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数a a，则所得的，则所得的标准差是原来标准差的标准差是原来标准差的a a倍或倍或倍或倍或1 1/a/a倍。倍。倍。倍。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十三页，讲稿共二十八页哦 （四）（四）在资料服从正态分布的条件

14、下，资在资料服从正态分布的条件下，资料中约有料中约有68.26%的观测值在平均数左右一的观测值在平均数左右一倍标准差（倍标准差（S）范围内；约有）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（的观测值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有）范围内；约有99.73%的观测值在平的观测值在平均数左右三倍标准差（均数左右三倍标准差（3S）范范 围内。围内。也就是说全距近似地等于也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用倍标准差，可用（全距（全距/6）来粗略估计标准差。）来粗略估计标准差。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十四页，讲稿共二十八页哦第三节第三节 变异系数变

15、异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量程度的另一个统计量。标标 准差与平均数的比值称为准差与平均数的比值称为 变异系数变异系数，记为记为CV。变异系数可以消除单位变异系数可以消除单位 和和（或）平（或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。的影响。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十五页，讲稿共二十八页哦 变异系数的计算公式为：变异系数的计算公式为：（315）【例例3.11】已知某良种猪场长白成年母已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为猪平均体重为 190kg，标准差为标准差

16、为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准，标准差为差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。个体重变异程度大。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十六页，讲稿共二十八页哦 由于，长白成年母猪体重的变异系数：由于，长白成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：所以，长白成年母猪体重的变异程度大于所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。大约克成年母猪。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二十七页，讲稿共二十八页哦 注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。下一张 主 页 退 出 上一张 第二十八页，讲稿共二十八页哦