多元随机变量及其分布 (2)讲稿.ppt

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1、关于多元随机变量及其分布(2)1第一页，讲稿共一百二十五页哦二元随机变量二元随机变量 例例1 1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身身高高H H的分布或仅研究体重的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。本空间的两个随机变量。问题的提出问题的提出第二页，讲稿共一百二十五页哦3例例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮：研究某种型号炮弹的弹着点分布

2、。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。第三页，讲稿共一百二十五页哦定义：定义：设设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设；设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在是定义在S S上的随机变量，由它们构成的向上的随机变量，由它们构成的向量量(X,Y)(X,Y)叫做叫做二元随机变量二元随机变量或或二维随机变量二维随机变量。Se第四页，讲稿共一百二十五页哦1 1 二元离散型随机变量二元离散型随机变量定义：若二元随

3、机变量定义：若二元随机变量(X,Y)(X,Y)全部可能取到的不同值全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称是有限对或可列无限对，则称(X,Y)(X,Y)是离散型随机变是离散型随机变量。量。（一）联合概率分布（一）联合概率分布第五页，讲稿共一百二十五页哦6y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij为二元离散型随机变量为二元离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率分布律。可以用的联合概率分布律。可以用如右表格表示：如右表格表示：离散型随机变量的离散型随机变量的联合概率分布律联合概率分布律：第六页，讲稿共一百二十五页哦分布律的性质第七页，讲稿共一百二十五页哦8例

4、例1：设随机变量：设随机变量X X在在1 1、2 2、3 3、4 4四个整数四个整数中等可能地取中等可能地取 一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能地取一中等可能地取一 整数值，试求整数值，试求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。第八页，讲稿共一百二十五页哦9 解：解：(X=i,Y=j)(X=i,Y=j)的取值情况为：的取值情况为：i=1,2,3,4i=1,2,3,4；j j取不大于取不大于i i的正整数。的正整数。第九页，讲稿共一百二十五页哦10YX12344000120300即即(X,Y)(X,Y)的联合概率分布为：的联合概率分布为：第十

5、页，讲稿共一百二十五页哦第十一页，讲稿共一百二十五页哦12第十二页，讲稿共一百二十五页哦13对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X,Y)(X,Y)，分布律为分布律为X,Y的边际（边缘）分布律边际（边缘）分布律为：（二）边际分布（二）边际分布第十三页，讲稿共一百二十五页哦p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1注意：注意：第十四页，讲稿共一百二十五页哦第十五页，讲稿共一百二十五页哦16X0210.050.800.15p 0 1 0120.76 0.040.1125 0.03750.015 0.035 0.800.150.050.887

6、5 0.11251第十六页，讲稿共一百二十五页哦17第十七页，讲稿共一百二十五页哦（三）条件分布（三）条件分布第十八页，讲稿共一百二十五页哦19由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。第十九页，讲稿共一百二十五页哦 定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对于对于固定的固定的 ，第二十页，讲稿共一百二十五页哦21同样，对于固定的 ，第二十一页，讲稿共一百二十五页哦求：求：(1)a,b的值；的值；(2)X=2条件下条件下Y的条件分布律；的条件分布律；(3)X+Y=2条件下条件下X的条件分布律。的条件分布律。YX-1 1 0 0.2 a0

7、.2120.1 0.1 b例4：(X,Y)的联合分布律为第二十二页，讲稿共一百二十五页哦23解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4第二十三页，讲稿共一百二十五页哦24第二十四页，讲稿共一百二十五页哦例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。第二十五页，讲稿共一百二十五页哦26解：解：第二十六页，讲稿共一百二十五页哦27第二十七页，讲稿共一百二十五页哦第二十八页，讲稿共一百二十五页哦29第二十九页，讲稿共一百二十五页哦0称为称为二元随机变量二元随机变

8、量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数。2 2 二元随机变量的分布函数二元随机变量的分布函数（一）（一）分布函数分布函数定义：设定义：设(X,Y)是二元随机变量是二元随机变量,对于任意实数对于任意实数x,y，二元函数，二元函数第三十页，讲稿共一百二十五页哦分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)第三十一页，讲稿共一百二十五页哦x2y1x1y2第三十二页，讲稿共一百二十五页哦二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)作为整体，有分布函数作为整体，有分布函数 其中其中X X和和Y Y都是随机变量，它们的分布函数都是随机变量，它们的分布函数,记为：记

9、为：称为称为边际分布函数。边际分布函数。（二）（二）边际（边缘）边际（边缘）分布函数分布函数第三十三页，讲稿共一百二十五页哦34事实上，事实上，第三十四页，讲稿共一百二十五页哦 定义：条件分布函数定义：条件分布函数（三）（三）条件条件分布函数分布函数第三十五页，讲稿共一百二十五页哦36第三十六页，讲稿共一百二十五页哦3 二元连续型随机变量（一）（一）联合概率密度联合概率密度第三十七页，讲稿共一百二十五页哦第三十八页，讲稿共一百二十五页哦39第三十九页，讲稿共一百二十五页哦例例1：设二元随机变量：设二元随机变量(X,Y)(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：第四十页，讲稿共一百二十五页哦41第四

10、十一页，讲稿共一百二十五页哦第四十二页，讲稿共一百二十五页哦43第四十三页，讲稿共一百二十五页哦对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为（二）（二）边际（边缘）概率密度边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为的边际概率密度为：对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为第四十四页，讲稿共一百二十五页哦45事实上，事实上，同理：同理：第四十五页，讲稿共一百二十五页哦 例例3：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)的联合的联合概率密度为概率密度为 第四十六页，讲稿共一百二十五页哦47第四十七页，讲稿共一百二十五页哦 定义：条件概率密度定义

11、：条件概率密度（三）（三）条件概率密度条件概率密度第四十八页，讲稿共一百二十五页哦49第四十九页，讲稿共一百二十五页哦 第五十页，讲稿共一百二十五页哦51第五十一页，讲稿共一百二十五页哦例例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过成时间不能超过30分钟。设甲先干了分钟。设甲先干了X分钟，再分钟，再由乙完成，加起来共用由乙完成，加起来共用Y分钟。若分钟。若XU(0,30)，在，在X=x条件下，条件下，YU(x,30)。(1)求求(X,Y)的联合概率密度以及条件概率密度的联合概率密度以及条件概率密度 ；(2)当已知两人共花了当已知两人共花了25分

12、钟完成工作时，求甲分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过的工作时间不超过10分钟的概率。分钟的概率。第五十二页，讲稿共一百二十五页哦53第五十三页，讲稿共一百二十五页哦54第五十四页，讲稿共一百二十五页哦55第五十五页，讲稿共一百二十五页哦二元均匀分布与二元正态分布二元均匀分布与二元正态分布（1）若二元随机变量）若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域在二维有界区域D上取上取值，且具有概率密度值，且具有概率密度则称则称(X,Y)(X,Y)在在D D上服从上服从均匀分布均匀分布。第五十六页，讲稿共一百二十五页哦57第五十七页，讲稿共一百二十五页哦例例5 5：设二元随机变量：设二元随机变量(X,Y)(

13、X,Y)在区域在区域 内均匀分布，求条件概率密度内均匀分布，求条件概率密度第五十八页，讲稿共一百二十五页哦59解：解：根据题意，根据题意，(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：Y Y的边际概率密度为：的边际概率密度为：第五十九页，讲稿共一百二十五页哦60于是给定于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：的条件概率密度为：二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布第六十页，讲稿共一百二十五页哦第六十一页，讲稿共一百二十五页哦第六十二页，讲稿共一百二十五页哦第六十三页，讲稿共一百二十五页哦第六十四页，讲稿共一百二十五页哦第六十五页，讲稿共一百二十五页哦66第六

14、十六页，讲稿共一百二十五页哦67第六十七页，讲稿共一百二十五页哦第六十八页，讲稿共一百二十五页哦694 随机变量的独立性第六十九页，讲稿共一百二十五页哦第七十页，讲稿共一百二十五页哦 例例1 1：33例例1 1中中X X和和Y Y是否相互独立？即是否相互独立？即(X,Y)(X,Y)具有具有概率密度概率密度第七十一页，讲稿共一百二十五页哦72解：计算得，解：计算得，X X和和Y Y的边际概率密度分别为：的边际概率密度分别为：第七十二页，讲稿共一百二十五页哦73 请问：连续型随机变量请问：连续型随机变量X,YX,Y相互独立，其密度相互独立，其密度函数有何特征？函数有何特征？第七十三页，讲稿共一百二

15、十五页哦XY01P(X=j)12P(Y=i)第七十四页，讲稿共一百二十五页哦75XY01P(X=j)12P(Y=i)第七十五页，讲稿共一百二十五页哦第七十六页，讲稿共一百二十五页哦第七十七页，讲稿共一百二十五页哦78第七十八页，讲稿共一百二十五页哦第七十九页，讲稿共一百二十五页哦第八十页，讲稿共一百二十五页哦81第八十一页，讲稿共一百二十五页哦一般一般n n元随机变量的一些概念和结果元随机变量的一些概念和结果 第八十二页，讲稿共一百二十五页哦 第八十三页，讲稿共一百二十五页哦 边际分布边际分布第八十四页，讲稿共一百二十五页哦85 第八十五页，讲稿共一百二十五页哦86相互独立相互独立第八十六页，

16、讲稿共一百二十五页哦 第八十七页，讲稿共一百二十五页哦 定理1：定理2：第八十八页，讲稿共一百二十五页哦895 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布第八十九页，讲稿共一百二十五页哦第九十页，讲稿共一百二十五页哦第九十一页，讲稿共一百二十五页哦92第九十二页，讲稿共一百二十五页哦第九十三页，讲稿共一百二十五页哦94第九十四页，讲稿共一百二十五页哦第九十五页，讲稿共一百二十五页哦96第九十六页，讲稿共一百二十五页哦第九十七页，讲稿共一百二十五页哦98第九十八页，讲稿共一百二十五页哦第九十九页，讲稿共一百二十五页哦100第一百页，讲稿共一百二十五页哦例例4 4：设：设X X和和Y Y

17、是相互独立的标准正态随机变量，是相互独立的标准正态随机变量，求求 的概率密度。的概率密度。第一百零一页，讲稿共一百二十五页哦102解：由卷积公式：解：由卷积公式：第一百零二页，讲稿共一百二十五页哦103一般：设一般：设X,YX,Y相互独立，相互独立，第一百零三页，讲稿共一百二十五页哦 例例5 5：X,YX,Y相互独立，同时服从相互独立，同时服从0,10,1上的均匀分上的均匀分布，求布，求 的概率密度。的概率密度。第一百零四页，讲稿共一百二十五页哦105xx=zz120 x=z-1 1解：根据卷积公式：解：根据卷积公式：易知仅当易知仅当参考图得：参考图得：第一百零五页，讲稿共一百二十五页哦例例6

18、 6：设随机变量（：设随机变量（X,YX,Y）的联合概率密度为）的联合概率密度为记记Z=X+Y，求，求Z的概率密度。的概率密度。第一百零六页，讲稿共一百二十五页哦107x x=z x=z/20 1 2 z参考图得：参考图得：第一百零七页，讲稿共一百二十五页哦例例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为为10元、元、20元、元、30元的概率各为元的概率各为1/3,另一份工作另一份工作的酬金的酬金YN(15,4).设设X,Y相互独立，记一天的酬相互独立，记一天的酬金总数为金总数为Z，Z=X+Y。求。求(1)Z的概率密度；的概率密度；(2)求一天酬金多于求一天酬

19、金多于30元的概率。元的概率。第一百零八页，讲稿共一百二十五页哦109解解:(:(1)1)先求先求Z Z的分布函数，利用全概率公式的分布函数，利用全概率公式第一百零九页，讲稿共一百二十五页哦110第一百一十页，讲稿共一百二十五页哦第一百一十一页，讲稿共一百二十五页哦112第一百一十二页，讲稿共一百二十五页哦 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：推广到推广到n个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况第一百一十三页，讲稿共一百二十五页哦114第一百一十四页，讲稿共一百二十五页哦第一百一十五页，讲稿共一百二十五页哦116第一百一十六页，讲稿共一百二十五页

20、哦117第一百一十七页，讲稿共一百二十五页哦例例9 9：设系统：设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L L1 1,L,L2 2联结而成，联联结而成，联结的方式分别为：结的方式分别为：(1)(1)串联；串联；(2)(2)并联；并联；(3)(3)备用备用(当系统当系统L L1 1损损坏时，系统坏时，系统L L2 2开始工作开始工作)。如图，设。如图，设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X,YX,Y，已知它们的概率密度分别为：，已知它们的概率密度分别为：第一百一十八页，讲稿共一百二十五页哦119试分别就以上三种联结方式写出试分别就以上三种联结方式写出L的寿命的寿命

21、Z的概的概率密度。率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1第一百一十九页，讲稿共一百二十五页哦(1)串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：L1L2第一百二十页，讲稿共一百二十五页哦121故故Z Z的分布函数为：的分布函数为：即即Z Z仍服从指数分布仍服从指数分布Z的概率密度为：的概率密度为：第一百二十一页，讲稿共一百二十五页哦(2)(2)并联的情况并联的情况 由于当且仅当由于当且仅当L L1 1,L,L2 2都损坏时，系统都损坏时，系统L L才停止工才停止工作，所以这时作，所以这时L L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)，Z Z的分布函的分布函数为：数为：L1L2Z的概率密度为：的概率密度为：第一百二十二页，讲稿共一百二十五页哦(3)(3)备用的情况备用的情况由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L2第一百二十三页，讲稿共一百二十五页哦124第一百二十四页，讲稿共一百二十五页哦02.10.2022感谢大家观看第一百二十五页，讲稿共一百二十五页哦