用消元法解下列方程组的过程.ppt

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1、关于用消元法解下列方程组的过程现在学习的是第1页，共21页解解:2 2 3 2现在学习的是第2页，共21页+53 2用用“回代回代”的方法求出解的方法求出解.于是得解于是得解:其中其中x3可以任意取值可以任意取值.或令或令x3=c,方程组的解可记作方程组的解可记作:现在学习的是第3页，共21页 1.上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2.始终把方程组看作一个整体变形始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变用到如下三种变换换:(2)其中其中c为任意常数为任意常数.或或归纳以上过程归纳以上过程:(3)一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍倍:(2)以不等

2、于以不等于0的数的数 k 乘某个方程乘某个方程:(1)交换方程次序交换方程次序:i 与与 j 相互替换相互替换;以以 i k替换替换 i ;以以 i +k j 替换替换 i .现在学习的是第4页，共21页由于三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的后的方程组是同解的.故这三种变换是故这三种变换是同解变换同解变换.3.上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的.因为在上述变换过程中因为在上述变换过程中,未知量并未参与本质性运算未知量并未参与本质性运算,仅仅只对方程组的仅仅只对方程组的系数系数和和常数常数进行运算进行运算.现在学

3、习的是第5页，共21页若记若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组(1)的的增广矩阵增广矩阵)的变换的变换.二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 定义定义1:下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:(1)对调两行对调两行(对调对调 i,j 两行两行,记作记作 ri rj);(2)以非零数以非零数k乘以某一行的所有元素乘以某一行的所有元素(第第 i 行乘行乘 k,记记作作 ri k);(3)把某一行所有元素的把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上倍加到另一行的对应元素上去去(第第 j 行的行的 k 倍加到第

4、倍加到第 i 行上去行上去,记作记作 ri+k rj ).同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)现在学习的是第6页，共21页 定义定义2:矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换与与初等列变换初等列变换统称为统称为初等变初等变换换.初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.ri rj 的逆变换为的逆变换为 rj ri;ri k 的逆变换为的逆变换为 ri (1/k),或或 ri k;ri+k rj 的逆变换为的逆变换为 ri+(k)rj,或或 ri k rj.定义定义3:(1)如果矩阵如果矩阵A可

5、经过可经过有限次初等行变换有限次初等行变换变为矩阵变为矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B行等价行等价.记作记作A B.(2)如果矩阵如果矩阵A可经过可经过有限次初等列变换有限次初等列变换变为矩阵变为矩阵B,则称则称矩矩阵阵A与与B列等价列等价.记作记作A B.(3)如果矩阵如果矩阵A可经过可经过有限次初等变换有限次初等变换变为矩阵变为矩阵B,则称则称矩阵矩阵A与与B等价等价.记作记作A B.rc现在学习的是第7页，共21页具有以下三条具有以下三条性质的关系性质的关系 称为称为等价关系等价关系:(1)自反性自反性:A A;(2)对称性对称性:若若A B,则则 B A;(3)传递性传递性:若若A B

6、,且且 B C,则则A C.矩阵的矩阵的(行、列行、列)等价等价 满足等价关系的定义满足等价关系的定义.现在学习的是第8页，共21页12.6.2 矩阵的秩矩阵的秩 定义定义:在在m n矩阵矩阵A中任取中任取 k 行行 k 列列(k m,k n),位于位于这这 k 行行 k 列交叉处的列交叉处的 k2个元素个元素,不改变它们在不改变它们在A中所处的位中所处的位置次序而得到的置次序而得到的 k 阶行列式阶行列式,被称为被称为矩阵矩阵A的的k阶子式阶子式.m n矩阵矩阵A的的k阶子式共有阶子式共有 定义定义:若在矩阵若在矩阵A中有一个中有一个 r 阶子式阶子式D非零非零,且所有的且所有的 r+1阶子

7、式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都为零都为零,则称则称D为为矩阵矩阵A的一个最的一个最高阶非零子式高阶非零子式,称数称数 r 为为矩阵矩阵A的秩的秩,记作记作R(A).现在学习的是第9页，共21页 规定规定零矩阵的秩为零零矩阵的秩为零.m n矩阵矩阵A的秩的秩R(A)是是A中不等于零的子式的最高阶数中不等于零的子式的最高阶数.对于对于AT,显然有显然有:R(AT)=R(A).解解:在矩阵在矩阵A中中例例1:求矩阵求矩阵A=的秩的秩.又由于矩阵又由于矩阵A的的3阶子阶子式只有式只有|A|,且且|A|=0.所以所以,R(A)=2.现在学习的是第10页，共21页例例2:求矩阵求矩阵A=的秩的秩.

8、解解:因为因为计算计算A的的3阶子式阶子式.所以所以,R(A)=2.现在学习的是第11页，共21页定理定理:初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩另解另解:用初等变换将用初等变换将A化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵:显然显然,非零行的行数为非零行的行数为2.所以所以,R(A)=2.特点特点(1).可划出一条阶梯线可划出一条阶梯线,线的下方全为零线的下方全为零;特点特点(2).每个台阶只有一行每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行台阶数即是非零行的行数数,阶梯线上的第一个元素为非零元阶梯线上的第一个元素为非零元,即非零行的阶梯线上即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元的第一个元素为非零元.

9、行阶梯矩阵行阶梯矩阵现在学习的是第12页，共21页例例3:求矩阵求矩阵A=的秩的秩.解解:用初等行变换将用初等行变换将A化为行阶梯矩阵化为行阶梯矩阵:Ar1r4r2 r4r3 2r1r4 3r1r3 3r2r4 4r2r4 r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.现在学习的是第13页，共21页r1r2r3 2r2r3r32r1r43r1例例4:现在学习的是第14页，共21页r3+5r2r43r2r2 2r32r4r4r3r2r3r1r3r1r2现在学习的是第15页，共21页 注意注意:行最简形矩阵行最简形矩阵是由矩阵是由矩阵(方程组方程组)唯一确定的唯一确定

10、的,行阶行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵(方程组方程组)唯一确定的唯一确定的.行阶梯矩阵行阶梯矩阵B6还称为还称为行最简形矩阵行最简形矩阵,即非零行的第一即非零行的第一个非零元为个非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为零且这些非零元所在的列的其它元素都为零.行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形标准形.B6c3c4c4+c1+c2 对任何矩阵对任何矩阵Am n,总可以经过有限次总可以经过有限次初等行变换初等行变换把它把它们变为们变为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和行最简形矩阵行最简形矩阵.现在学习的是第16页，共2

11、1页c54c13c2+3c3矩阵矩阵F称为矩阵称为矩阵B的的标准形标准形.特点特点:标准形标准形F的左上角是一个单位矩阵的左上角是一个单位矩阵,其余元素全其余元素全为零为零.所有与矩阵所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合,称为一个称为一个等等价类价类,标准形标准形F是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵任一个矩阵Am n总可经过总可经过初等变换初等变换化为标准形化为标准形 标准形由标准形由m,n,r三个数唯一确定三个数唯一确定,其中其中r 就是行阶梯形就是行阶梯形矩阵中矩阵中非零行的行数非零行的行数.现在学习的是第17页，共21页1.初等行初等

12、行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质:自反性自反性,对称性对称性,传递性传递性.三、小结三、小结(1)ri rj (cicj);(2)ri k(ci k);(3)ri+k rj (ci+k cj).2.A初等变换初等变换B A B.现在学习的是第18页，共21页思考题思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组元齐次方程组元齐次方程组(2)的通解为的通解为:及另一四及另一四问问:方程组方程组(1)与与(2)是否有非零公共解是否有非零公共解?若有若有,请求出来请求出来.或表示为或表示为:现在学习的是第19页，共21页思考题解答思考题解答将将(2)的通解代入的通解代入(1)得得:故方程组故方程组(1)与与(2)有非零公共解有非零公共解,(1)与与(2)的所有非零公共解为的所有非零公共解为:现在学习的是第20页，共21页感谢大家观看现在学习的是第21页，共21页