初三《圆》知识点及定理(4页).doc

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1、-第-1-页初三圆知识初三圆知识点及定理点及定理-第-2-页圆圆知识点及定理知识点及定理一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于

2、定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 dr无交点；2、直线与圆相切 dr有一个交点；3、直线与圆相交 dr有两个交点；四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；五、垂径定理五、垂径定

3、理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC 弧BD六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角

4、所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA 弧BD七、圆周角定理七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或90C90CAB是直径推

5、论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜?r?d?d?C?B?A?O?O?E?D?C?B?A?O?C?D?A?B?F?E?D?C?B?A?O?D?C?B?A?O?C?B?A?O-第-3-页边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是

6、切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PO平分BPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：

7、在O中，弦AB、CD相交于点P，（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点12OO垂直平分AB十三、

8、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt OO C中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2OD BD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形同 理，六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB中 进 行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1

9、）弧长公式：180n Rl；?E?D?C?B?A?N?M?A?O?P?B?A?O?D?E?C?B?P?A?O?B?A?O1?O2?C?O2?O1?B?A?D?C?B?A?O?B?A?O?S?l?B?A?O-第-4-页（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h十六、十六、圆中常见的辅助线圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、

10、弦心距”间的关系进行证明3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)

11、连心线12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边十七十七、圆中较特殊的辅助线、圆中较特殊的辅助线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完整3)作辅助圆例例 1 1 如图 23-11，CA 为O 的切线，切点为 A，点 B 在O 上，如果CAB55，那么AOB 等于()A35B90C110D120例例 2 2 如果圆柱的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，那么侧面积等于()ABCD例例 3 3 如图 23-12，在半径为 4 的O 中，AB、CD 是两条直径，M为 OB 的中点，延长 CM 交O 于 E，且 EMMC，连结 OE、DE，求：EM 的长例例 4 4 如图 23-13，AB 是O 的直径，PB 切O 于点 B，PA 交O于点 C，PF 分别交 AB、BC 于 E、D，交O 于 F、G，且 BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数的两根(1)求证：BEBD；(2)若，求A 的度数?B1?R?r?C?B?A?O