离散数学函数精选PPT.ppt

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1、关于离散数学函数第1页，讲稿共138张，创作于星期二第一节第一节 函数的基本概念函数的基本概念一、函数的定义一、函数的定义二、特种函数二、特种函数第2页，讲稿共138张，创作于星期二一、函数的定义一、函数的定义1、函数、函数2、函数的定义域、函数的定义域3、函数的值域、函数的值域4、陪域、陪域5、函数相等、函数相等6、函数的图和矩阵表示、函数的图和矩阵表示7、缩小和扩大、缩小和扩大(略略)第3页，讲稿共138张，创作于星期二1、函数、函数函数是满足函数是满足任意性任意性和和唯一性唯一性的二元的二元关系关系。f:XY对对任意任意的的x X都存在都存在唯一唯一的的y Y fy=f(x)，任意性任意

2、性唯一性唯一性函数函数映射映射原像原像像点像点第4页，讲稿共138张，创作于星期二函数举例函数举例设设X=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3判断下列关系是否是函数？判断下列关系是否是函数？f1=,f2=,f3=,第5页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答f1=,不是函数。不是函数。x2对应两个不同的像点对应两个不同的像点y2和和y3不满足唯一性。不满足唯一性。第6页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答f2=,是函数是函数满足任意性和唯一性。满足任意性和唯一性。第7页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答f3=,不是函数。不是函数。原像原像x2没有像点没有像点不满足任意性不满足任意

3、性。第8页，讲稿共138张，创作于星期二2、函数的定义域、函数的定义域函数函数f:XY定义域定义域Df第9页，讲稿共138张，创作于星期二3、函数的值域、函数的值域函数函数f:XYf(X)是是f的的值域值域由像点组成的集合由像点组成的集合Rff(X)Y第10页，讲稿共138张，创作于星期二4、陪域、陪域函数函数f:XY陪域陪域第11页，讲稿共138张，创作于星期二定义域、值域及陪域举例定义域、值域及陪域举例f:XYX=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3,y4,y5,y6第12页，讲稿共138张，创作于星期二函数举例函数举例判断下列关系中哪个能构成函数？判断下列关系中哪个能构成函数？(

4、1)f1=|x1,x2 N,x1+x210(2)f2=|x1,x2 R,x22=x1(3)f3=|x1 N,x2为非负整数为非负整数,x2为为小于等于小于等于x1的素数的个数的素数的个数第13页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)f1=|x1,x2 N,x1+x210不能构成函数。不能构成函数。(1)不满足任意性不满足任意性:Df=1,2,3,4,5,6,7,8N(2)不满足唯一性：不满足唯一性：f1(1)=1,f1(1)=2,f1(1)=8第14页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(2)f2=|x1,x2 R,x22=x1不能构成函数。不能构成函数。(1)不满足任意性不满足任意性

5、:Df=R+R(2)不满足唯一性：不满足唯一性：一个一个x1对应两个不同的对应两个不同的x2例如：例如：22=4,(-2)2=4第15页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(3)f3=|x1 N,x2为非负整数为非负整数,x2为小为小于等于于等于x1的素数的个数的素数的个数能构成函数。能构成函数。满足任意性和唯一性：对于满足任意性和唯一性：对于任意任意的一个自然数的一个自然数x1，小于，小于x1的素数个数是的素数个数是唯一唯一的。的。例如例如:f3(1)=0:小于小于1的素数不存在；的素数不存在；f3(2)=1:小于小于2的素数有的素数有1个：个：1 f3(3)=2:小于小于3的素数有的素数

6、有2个：个：1,2 f3(4)=3:小于小于3的素数有的素数有3个：个：1,2,3第16页，讲稿共138张，创作于星期二5、函数相等、函数相等函数函数f和函数和函数g相等相等函数函数f:AB，g:C DA=CB=D对所有对所有x A和和x C都有都有f(x)=g(x)f=g第17页，讲稿共138张，创作于星期二函数相等举例函数相等举例设设f:AB,g:CD,h:EFA=C=E=1,2,3,B=D=a,b,c,F=a,b,c,df(1)=a,f(2)=a,f(3)=c h(1)=a,h(2)=a,h(3)=cg(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gfhBFghDF第18页，讲稿共138张，

7、创作于星期二6、函数的图和矩阵表示、函数的图和矩阵表示图图Gf：f(x)=y f从从x有一条到有一条到y的有向弧的有向弧矩阵矩阵Mf：每一行有且仅有一个元素为每一行有且仅有一个元素为“1”。化简的化简的Mf：二列矩阵二列矩阵第一列：第一列：Df第二列：第二列：Rf第19页，讲稿共138张，创作于星期二函数的图和矩阵表示举例函数的图和矩阵表示举例X=a,b,c,d,e Y=,f=,求：求：Df、Rf、Gf、Mf、简化的、简化的MfDf=X=a,b,c,d,eRf=,Y第20页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答X=a,b,c,d,e Y=,f=,第21页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例X

8、=a,b,c Y=0,1问：存在多少个从问：存在多少个从X到到Y的的二元关系二元关系？存在多少个从存在多少个从X到到Y的的函数函数？第22页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答X Y=,|X Y|=6关系是笛卡尔乘积的子集关系是笛卡尔乘积的子集|(X Y)|=26结论：存在结论：存在26个从个从X到到Y的二元关系的二元关系第23页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答函数是满足任意性和唯一性的二元关系函数是满足任意性和唯一性的二元关系结论：存在结论：存在|Y|X|=23个从个从X到到Y的函数。的函数。第24页，讲稿共138张，创作于星期二结论结论则则:|BA|=|B|A|BA:从从A到到B的

9、所有可能的函数的集合的所有可能的函数的集合BA=f|f:AB第25页，讲稿共138张，创作于星期二7、缩小和扩大、缩小和扩大(略略)f:XY A X(1)g:AY g=f(A Y)称称g是函数是函数f的缩小，并记作的缩小，并记作f/A(2)若若g是是f的缩小，则的缩小，则f是是g的扩大。的扩大。由定义可知：由定义可知：Dg Df g f缩小即原有的对应关系不变，但定义域缩小。缩小即原有的对应关系不变，但定义域缩小。第26页，讲稿共138张，创作于星期二缩小和扩大举例缩小和扩大举例设设A=-1，0，1 f:A2B(1)写出写出f的全部序偶；的全部序偶；(2)求求Rf;(3)写出写出f/0,12中

10、的全部序偶。中的全部序偶。第27页，讲稿共138张，创作于星期二f的全部序偶和的全部序偶和Rf(1)A2=A A=-1,0,1-1,0,1=,f()=0,f()=-1,f()=-2,f()=1,f()=0,f()=-1f()=2,f()=1,f()=0f=,0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0(2)Rf=-2,-1,0,1,2第28页，讲稿共138张，创作于星期二0,12 Rf中的全部序偶中的全部序偶f/0,12=f(0,12 Rf)0,12=0,1 0,1=,Rf=-2,-1,0,1,20,12 Rf=,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,

11、0,1,2 第29页，讲稿共138张，创作于星期二f/0,12中的全部序偶中的全部序偶f/0,12=f(0,12 Rf)=,0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0 ,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2 =,0,-1,1,0第30页，讲稿共138张，创作于星期二缩小的举例缩小的举例X=a1,a2,a3,x4,x5Y=y1,y2,y3,y4,y5A=a1,a2,a3f=,求：求：f/A第31页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答f/A=,第32页，讲稿共138张，创作于星期二二、特种关系二、特种关系1、满射函数、满射函数2、内射函数、

12、内射函数3、单射函数、单射函数4、双射函数、双射函数5、恒等函数、恒等函数第33页，讲稿共138张，创作于星期二1、满射函数、满射函数函数函数f:XY若若f(X)=Rf=Y值域陪域值域陪域f是滿射函数是滿射函数映满的映射映满的映射f是滿射函数是滿射函数对任意的对任意的y Y，在在X中必有原像中必有原像x与之对应与之对应f(x)=y像点的集合像点的集合第34页，讲稿共138张，创作于星期二满射举例满射举例A=a,b,c,dB=1,2,3f:ABf(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2 Rf=1,2,3=B f是满射函数。是满射函数。第35页，讲稿共138张，创作于星期二2、内射函数、内

13、射函数函数函数f:XY若若Rf Yf是内射函数是内射函数映入的映射映入的映射第36页，讲稿共138张，创作于星期二3、单射函数、单射函数函数函数f:XY对任意对任意x1，x2 Xx1x2f(x1)f(x2)如果原像不同如果原像不同,则像点不同则像点不同或或 f(x1)=f(x2)X1=x2如果像点相同如果像点相同,则原像相同则原像相同则则f是单射函数是单射函数一对一的映射一对一的映射第37页，讲稿共138张，创作于星期二内射、单射举例内射、单射举例A=a,b B=2,4,6f:ABf(a)=2,f(b)=4 Rf=2,4 B f是内射函数是内射函数且且f也是单射函数。也是单射函数。第38页，讲

14、稿共138张，创作于星期二4、双射函数、双射函数函数函数f:XYf是满射的是满射的f是单射的是单射的f是是双射函数双射函数一对一映满的映射一对一映满的映射第39页，讲稿共138张，创作于星期二5、恒等函数、恒等函数函数函数I Ix x:XX对于所有的对于所有的xX:Ix x=|xX恒等函数恒等函数双射函数双射函数第40页，讲稿共138张，创作于星期二特种函数举例特种函数举例(1)f1(x)=x2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6问以上问以上4个函数各是什么函数？个函数各是什么函数？第41页，讲稿共138张，创作于星期二 解答解答(1)f1(x)=

15、x2 f1不是满射函数；不是满射函数；f1(x)=f1(x)=x2 f1不是单射函数不是单射函数；Rf1为正实数集合，不是实数集合为正实数集合，不是实数集合第42页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(2)f2(x)=2x不是满射函数。不是满射函数。是单射函数是单射函数第43页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(3)f3(x)=x3是单射函数是单射函数是满射函数是满射函数是双射函数是双射函数第44页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是满射函数是满射函数不是单射函数不是单射函数第45页，讲稿共138张，创作于星期二第

16、二节函数的合成和合成函数的性质第二节函数的合成和合成函数的性质一、合成函数的定义一、合成函数的定义二、反函数二、反函数第46页，讲稿共138张，创作于星期二一、合成函数的定义一、合成函数的定义函数函数f:XY函数函数g:YZgf=|x X z Z(y)(y Y y=f(x)z=g(y)f和和g的合成函数的合成函数复合函数复合函数函数函数f和和g合成的书写格式合成的书写格式:关系关系R和和S合成的书写格式合成的书写格式:RSgf从左到右从左到右从右到左从右到左 f g第47页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理函数函数f:XY函数函数g:YZgf:XZ是函数是函数(gf)(x)=g(f(x)x

17、 X第48页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明显然显然gf是从是从X到到Z的关系的关系(1)任意性：任意性：f是函数是函数:对任意的对任意的x X存在存在y Y，使得使得 fg是函数是函数:对任意的对任意的y Y存在存在z Z，使得使得 g f g gf由复合关系的定义：由复合关系的定义：对于每一个对于每一个x X，都存在都存在Z中的某个像点中的某个像点z与之对应与之对应DgfX第49页，讲稿共138张，创作于星期二证明（续）证明（续）(2)唯一性：唯一性：gf gf假设假设且且z1 z2 gf存在存在y1 Y f g gf存在存在y2 Y f gy1 y2 yz1 z2 z第50页，讲稿

18、共138张，创作于星期二合成函数举例合成函数举例设设X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b,f=,g=,求求gf。gf=,第51页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理函数的合成运算是函数的合成运算是可结合可结合的，即：的，即：h(gf)=(hg)ff:XY g:YZh:Z W第52页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明设：设：f，g，h f g gf h h(gf)g h hg f(hg)f是任意的是任意的h(gf)=(hg)f第53页，讲稿共138张，创作于星期二合成函数满足结合律的图解表示合成函数满足结合律的图解表示fghgfhgh(gf)(hg)f第54页，讲稿共138张，创作于星期

19、二合成函数举例合成函数举例设设R为实数集合为实数集合,对对xR有：有：f(x)=x+2,g(x)=2x,h(x)=3x;求求gf，h(gf)，ff，gg，fg，(hg)f第55页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答合成函数不满足交换律合成函数不满足交换律gf(x)=g(f(x)=g(x+2)=2(x+2)h(gf)(x)=h(gf(x)=h(2(x+2)=6(x+2)ff(x)=f(f(x)=f(x+2)=(x+2)+2=x+4gg(x)=g(g(x)=g(2x)=4xfg(x)=f(g(x)=f(2x)=2x+2=2(x+1)(hg)f(x)=(hg)(f(x)=(hg)(x+2)=6(x

20、+2)hg(x)=h(g(x)=h(2x)=6x合成函数满足结合律合成函数满足结合律第56页，讲稿共138张，创作于星期二函数合成运算结合律的推广函数合成运算结合律的推广f1:X1X2,f2:X2X3,fn:XnXn+1fnfn-1f2f1 :X1Xn+1若：若：f1=f2=fn X1=X2=Xn+1，则：则：fn=ffff :XX第57页，讲稿共138张，创作于星期二等幂函数等幂函数函数函数f:XXf2=fff等幂函数等幂函数第58页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理设函数设函数f:XY,g:YZ,gf是一个复合是一个复合函数，则：函数，则：(1)若若g和和f是满射的是满射的,则则gf是

21、满射的是满射的.(2)若若g和和f是单射的是单射的,则则gf是单射的是单射的.(3)若若g和和f是双射的是双射的,则则gf是双射的是双射的.第59页，讲稿共138张，创作于星期二证明（证明（1）对于任意的对于任意的zZZ存在存在x X,使得：使得：gf对于任意的对于任意的zZZg是满射的是满射的存在一个存在一个y Y，使得使得g(y)=zf是满射的是满射的对于对于y Y，必有必有x X，使得使得f(x)=yz=g(y)=g(f(x)=gf(x)gfgf是满射函数是满射函数第60页，讲稿共138张，创作于星期二证明（证明（2）x1x2 gf(x1)gf(x2)x1x2 f是单射的是单射的f(x1

22、)f(x2)y1y2g是单射的是单射的g(y1)g(y2)g(f(x1)g(f(x2)gf(x1)gf(x2)gf是单射的是单射的第61页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理设函数设函数f:XY,g:YZ,gf是一个复是一个复合函数，则：合函数，则：(1)若若gf是满射的是满射的,则则g是满射是满射的的.(2)若若gf是单射的是单射的,则则f是单射是单射的的.(3)若若gf是双射的是双射的,则则g是满射的，是满射的，f是单射的是单射的.第62页，讲稿共138张，创作于星期二证明（证明（2）x1x2 f(x1)f(x2)x1x2 gf是单射的是单射的gf(x1)gf(x2)g(f(x1)g(f

23、(x2)g(y1)g(y2)函数的唯一性函数的唯一性y1y2f(x1)f(x2)f是单射的是单射的第63页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理设函数设函数 f:XY,IX是是X上的恒等函数，上的恒等函数，IY是是Y上的恒等函数，则上的恒等函数，则 f=fIX=IYf第64页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明设设:x X y YIX(x)=xIY(y)=yfIX(x)=f(IX(x)=f(x)fIX=fIYf(x)=IY(f(x)=f(x)IYf=f第65页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理函数函数 f:XY f-1:f的逆关系，则：的逆关系，则：f-1是从是从Y到到X的函数的函数f是

24、双射函数是双射函数第66页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例:f不是满射函数不是满射函数设函数设函数 f:XYX=a,b,c Y=1,2,3,4f=,f的逆关系的逆关系f-1=,，不不满满足函数的任意性足函数的任意性不是函数不是函数第67页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例:f不是单射函数不是单射函数设函数设函数 f:XYX=a,b,c Y=1,2f=,f的逆关系的逆关系f-1=,，不满足唯一性不满足唯一性不是函数不是函数第68页，讲稿共138张，创作于星期二2、反函数、反函数设设 f:XY是是双射函数双射函数，则，则:f的逆关系称的逆关系称f的反函数的反函数注意：注意：只有双射函数才

25、有反函数。只有双射函数才有反函数。f-1第69页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明(1)f:XY 则则f-1:YX假设假设f不是满射函数，则不是满射函数，则:与函数的任意性相矛盾与函数的任意性相矛盾Rf YRf=Df-1Df-1 Y第70页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明(2)假设假设f不是单射函数，则：不是单射函数，则：x1x2f(x1)f(x2)yf(x1)yf(x2)yf-1(y)x1f-1(y)x2原像原像像点像点像点像点与函数的唯一性相矛盾与函数的唯一性相矛盾第71页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理设设 f:XY是一双射函数是一双射函数,则则:f的反函数的反函数f-1

26、:YX也是一个双射函数。也是一个双射函数。第72页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明(1)f-1 是从是从 Y到到X的函数；的函数；(2)f-1是满射函数；是满射函数；(3)f-1是单射函数；是单射函数；第73页，讲稿共138张，创作于星期二证明：证明：f-1 是从是从 Y到到X的函数的函数f是双射函数是双射函数f是满射函数是满射函数对任意的对任意的y Y必存在必存在x X f f-1Df-1Yf-1是满足任意性的是满足任意性的f是双射函数是双射函数f是单射函数是单射函数对任意的对任意的y Y恰有一个的恰有一个的x X f仅有一个x X f-1f-1是满足唯一性的是满足唯一性的第74页，讲

27、稿共138张，创作于星期二证明：证明：f-1是满射函数是满射函数R f-1=f-1是满射函数是满射函数Df=X第75页，讲稿共138张，创作于星期二证明：证明：f-1是单射函数是单射函数假设假设f-1不是单射函数，即：不是单射函数，即：y1y2但是有但是有 f-1(y1)f-1(y2)f是函数是函数f-1(y1)x1f-1(y2)x2x1 x2 f(x1)f(x2)y1 y2与假设相矛盾与假设相矛盾 f-1是单射函数是单射函数第76页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理若若 f:XY是双射函数是双射函数,则则(f-1)-1=f。证明：对任意的证明：对任意的(f-1)-1 f-1 f(f-1)

28、-1=f第77页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理函数函数 f:XY反函数反函数 f-1:YXf-1f=IXff-1=IY证明：证明：设设f(x)=yf-1(y)=xf-1f(x)=f-1(f(x)=f-1(y)=x f-1f=IXff-1(y)=f(f-1(y)=f(x)=y ff-1=IY第78页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例f:XYX=0,1,2 Y=a,b,cf=,求：求：f-1f，ff-1第79页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答f-1=,(f-1f)(0)=f-1(f(0)=f-1(c)=0(f-1f)(1)=f-1(f(1)=f-1(a)=1(f-1f)(2)=f

29、-1(f(2)=f-1(b)=2 f-1f=,=IX 第80页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(ff-1)(a)=f(f-1(a)=f(1)=a(ff-1)(b)=f(f-1(b)=f(2)=b(ff-1)(c)=f(f-1(c)=f(0)=c ff-1=,=IYf-1=,第81页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理f:XYg:YZ(g f)-1=双射函数双射函数g-1f-1第82页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明f:XYg:YZgf:X Z(gf)-1:ZX对任意的对任意的 (gf)-1 gf(y)(y Y f g)(y)(y Y f-1 g-1)(y)(y Y g-1 f-1

30、)f-1g-1第83页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例X=1,2,3FX:从从X到到X上的所有上的所有双射函数双射函数组成的集合组成的集合求：求：FX的所有函数及其反函数。的所有函数及其反函数。第84页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答f1=,=IXf2=,f3=,f4=,f5=,f6=,FX=f1,f2,f3,f4,f5,f6 f1-1=,=f1f2-1=,=f2f3-1=,=f3f4-1=,=f4f5-1=,=f6f6-1=,=f5第85页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(续续)f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f6f5f4f3f3f3f5f1

31、f6f2f4f4f4f6f5f1f3f2f5f5f3f4f2f6f1f6f6f4f2f3f1f5若若|X|X|n,n,则则X X上双射上双射函数的个数为函数的个数为n!n!f3 f2=,=f5第86页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例|X|=m|Y|=n问：存在满射函数、单射函数、双射函数的问：存在满射函数、单射函数、双射函数的必要条件是什么？必要条件是什么？mnmnm=n第87页，讲稿共138张，创作于星期二第三节第三节 二元运算二元运算一、基本概念一、基本概念二、二元运算的性质二、二元运算的性质三、二元运算中的特异元素三、二元运算中的特异元素第88页，讲稿共138张，创作于星期二一、基

32、本概念一、基本概念1、二元运算、二元运算2、n元运算元运算3、二元运算的封闭性、二元运算的封闭性第89页，讲稿共138张，创作于星期二1、二元运算、二元运算X:集合集合f:X2X的映射的映射f为为X中的中的二元运算二元运算解释：解释：一个运算符联系着两个运算分量一个运算符联系着两个运算分量f()=z运算符运算符运算分量运算分量运算分量运算分量运算结果运算结果xfy=zx,y,z Xz X封闭性封闭性第90页，讲稿共138张，创作于星期二2、n元运算元运算X:集合集合f:XnX的映射的映射f为为X中的中的n元运算元运算运算的阶运算的阶f=xx1,x2,xn,x X第91页，讲稿共138张，创作于

33、星期二3、二元运算的封闭性、二元运算的封闭性注意：注意：任意一个二元运算必须满足封闭性任意一个二元运算必须满足封闭性A:集合集合f:A2B的映射的映射B A二元运算是封闭的二元运算是封闭的第92页，讲稿共138张，创作于星期二二元运算举例二元运算举例设设A=x|x=2n,n N 问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？乘法运算：乘法运算：对于任意的对于任意的2r、2s A2r 2s=2r+s A 乘法运算在乘法运算在A上封闭；上封闭；加法运算：加法运算：21+22=6 A 加加法运算在法运算在A上不封闭；上不封闭；第93页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例判

34、断乘法运算是否在下列各判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？的子集上封闭？(1)A1=0,1(2)A2=1,2(3)A3=x|x为素数为素数(4)A4=x|x为偶数为偶数(5)A5=x|x为奇数为奇数2 2=4 A22 3=6 A3第94页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理*:X中的二元运算中的二元运算S1 XS2 X*在在S1和和S2上是封闭的上是封闭的*在在S1S2上也封闭上也封闭第95页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明对任意的两个元素对任意的两个元素x,y S1S2 x,y S1 x,y S2*在在S1和和S2上封闭上封闭 x*y S1 x*y S2 x*y S1S2*在在S

35、1S2上也封闭上也封闭第96页，讲稿共138张，创作于星期二二、二元运算的性质二、二元运算的性质1、封闭性（通性）、封闭性（通性）2、交换性交换性3、可结合性、可结合性4、可分配性、可分配性5、吸收律、吸收律第97页，讲稿共138张，创作于星期二1、封闭性（通性）、封闭性（通性）*:X中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,y Xx*y X在集合在集合X上满足封闭性上满足封闭性第98页，讲稿共138张，创作于星期二2、交换性交换性*:X中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,y Xx*y=y*x*运算是可交换的运算是可交换的第99页，讲稿共138张，创作于星期二3、可结合性、可

36、结合性*:X中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,y,z Xx*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*运算是可结合的运算是可结合的第100页，讲稿共138张，创作于星期二二元运算性质举例二元运算性质举例设设Q是有理数集合，是有理数集合，Q上的二元运算定义为：上的二元运算定义为：a*b=a+b-ab a,bQ问问*是否可交换？可结合？是否可交换？可结合？第101页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)交换性：交换性：b*a=b+a-ba=a+b-ab=a*b*运算运算满足交换律满足交换律第102页，讲稿共138张，创作于星期二(2)结合性：结合性：a*(b*c)=a*(b+c-

37、bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c)*运算运算满足结合律满足结合律解答解答第103页，讲稿共138张，创作于星期二二元运算性质举例二元运算性质举例A是非空集合，是非空集合，*是是A上的二元运算，并定上的二元运算，并定义为：义为：a*b=b,证明证明*是可结合的。是可结合的。a*(b*c)*是可结合的是可结合的(a*b)*c=c=a*c=b*c=c第104页，讲稿共138张，创作于星期二4、可分配性、可分配性*,:X

38、中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,y,z Xx*(y z)=(x*y)(x*z)(y z)*x=(y*x)(z*x)*对对可分配可分配第105页，讲稿共138张，创作于星期二5、吸收律、吸收律*,:X中的中的可交换可交换的二元运算的二元运算对于任意的对于任意的x,y Xx*(x y)=x(x*y)=xx*和和满足吸收律满足吸收律第106页，讲稿共138张，创作于星期二二元运算性质举例二元运算性质举例在在N上定义两个二元运算上定义两个二元运算*和和，对任意，对任意的的x,yN，有：有：x*y=max(x,y)xy=min(x,y)验证：验证：*和和满足吸收律。满足吸收律。第107页

39、，讲稿共138张，创作于星期二解答解答x*(x y)=x*(min(x,y)=max(x,min(x,y)=xyx=yxyx=yxymin(x,x)=xmin(x,x)=xmin(x,y)=x*和和满满足足吸吸收收律律第108页，讲稿共138张，创作于星期二三、二元运算中的特异元素三、二元运算中的特异元素1、幺元、幺元e（左幺元左幺元el、右幺元右幺元er）2、零元、零元（左零元左零元l、右零元右零元r）3、逆元（左逆元、逆元（左逆元xl、右逆元右逆元xr）4、等幂元、等幂元5、可约的（可消去的）、可约的（可消去的）6、由运算表求特异元素、由运算表求特异元素第109页，讲稿共138张，创作于星

40、期二1、幺元、幺元e（左幺元左幺元el、右幺元右幺元er）*:X中的二元运算中的二元运算(x)()x X(el)()el Xel*x=x左幺元左幺元(x)()x X(er)()er Xx*er=x右幺元右幺元第110页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理*:X中的二元运算中的二元运算如果如果X对运算对运算*同时存在同时存在e l和和e re l=e r=e(x)()x X(e)()e Xx*e=xe*x=幺元幺元单位元素单位元素e若存在则必唯一若存在则必唯一第111页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明(1)el=er=ex*e=e*x=xel*e r el是是*的左幺元的左幺元=e re

41、r是是*的右幺元的右幺元=e l=ex*e=e*x=xx第112页，讲稿共138张，创作于星期二e是是*唯一的幺元唯一的幺元(2)幺元是唯一的幺元是唯一的证明证明(续续)假设假设e 是是*的另一个幺元的另一个幺元e ee*e=ee*e=ee是幺元是幺元e是幺元是幺元e=e第113页，讲稿共138张，创作于星期二幺元举例幺元举例问实数集合问实数集合R上的上的加法运算加法运算和和乘法运算乘法运算的的幺元各是什么？幺元各是什么？实数集合实数集合R上的上的加法运算加法运算：幺元是幺元是0实数集合实数集合R上的上的乘法运算乘法运算：幺元是幺元是1第114页，讲稿共138张，创作于星期二2、零元、零元（左

42、零元左零元l、右零元右零元r）*:X中的二元运算中的二元运算(x)()x X(l)()l Xl*x=l左零元左零元(x)()x X(r)()r Xx*r=r右零元右零元第115页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理*:X中的二元运算中的二元运算如果如果X对运算对运算*同时存在同时存在 l和和 r l=r=(x)()x X()()Xx*=*x=零元零元若存在则必唯一若存在则必唯一第116页，讲稿共138张，创作于星期二零元举例零元举例问实数集合问实数集合R上的上的加法运算加法运算和和乘法运算乘法运算的零的零元各是什么？元各是什么？实数集合实数集合R上的上的加法运算加法运算：实数集合实数集合R上

43、的上的乘法运算乘法运算：无零元无零元零元是零元是0第117页，讲稿共138张，创作于星期二3、逆元（左逆元、逆元（左逆元xl、右逆元右逆元xr）*:X中的二元运算中的二元运算*运算存在幺元运算存在幺元ex X(xl)()xl Xexl*x=x的左逆元的左逆元左可逆的左可逆的(xr)()xr Xex*xr=x的右逆元的右逆元右可逆的右可逆的x是左可逆的是左可逆的x是右可逆的是右可逆的x是可逆的是可逆的第118页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理*:X中的二元运算中的二元运算*运算存在幺元运算存在幺元e*运算可结合运算可结合元素元素x X是可逆的是可逆的x l=x r=x-1x的逆元逆元x-1

44、若存在则必唯一若存在则必唯一第119页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明(1)左逆元等于右逆元左逆元等于右逆元xl*x*xr*是可结合的是可结合的=(xl*x)*xrxl*x=e=e*xr=xrxl*x*xr*是可结合的是可结合的=xl*(x*xr)x*xr=e=xl*e=xlxl=xr第120页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明(2)xl=xr=x-1唯一唯一幺元幺元e e的逆元是其本身，零元不可逆的逆元是其本身，零元不可逆假设假设x1-1和和x2-1是是x的两个逆元的两个逆元x1-1 x2-1x1-1=x1-1*ex2-1是是x的逆元的逆元=x1-1*(x*x2-1)*是可结合的是

45、可结合的=(x1-1*x)*x2-1x1-1是是x的逆元的逆元=e*x2-1=x2-1第121页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例(1)实数集合实数集合R上的加法运算：求每个实上的加法运算：求每个实数的逆元数的逆元(2)实数集合实数集合R上的乘法运算：求每个实数的上的乘法运算：求每个实数的逆元逆元第122页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答实数集合实数集合R上的加法运算上的加法运算无零元无零元e=0 x+(-x)=0=ex-1=-x实数集合实数集合R上的乘运算上的乘运算e=10 x 1/x=1=ex-1=1/xx0第123页，讲稿共138张，创作于星期二4、等幂元、等幂元x*x幺元和零

46、元都是等幂元幺元和零元都是等幂元*:X中的二元运算中的二元运算x X=x等幂元等幂元第124页，讲稿共138张，创作于星期二5、可约的、可约的*:X中的二元运算中的二元运算a X对每一个对每一个x,y X(a*x=a*y)x=y或者或者(x*a=y*a)x=y可约的可约的可消去的可消去的第125页，讲稿共138张，创作于星期二定理定理*:X中的二元运算中的二元运算*运算可结合运算可结合a Xa是可逆的是可逆的a是可约的是可约的第126页，讲稿共138张，创作于星期二证明证明a*x=a*yx=ya是可逆的是可逆的,a的逆元为的逆元为a-1a-1*(a*x)*是可结合的是可结合的=(a-1*a)*

47、x=e*x=xa-1*(a*x)a*x=a*y=a-1*(a*y)*是可结合的是可结合的=(a-1*a)*y=e*y=yx=ya是可约的第127页，讲稿共138张，创作于星期二6、由运算表求特异元素、由运算表求特异元素左幺元左幺元:右幺元右幺元:某一个元素使得某一行不改变；某一个元素使得某一行不改变；某一个元素使得某一列不改变；某一个元素使得某一列不改变；左零元左零元:右零元右零元:某一个元素使得某一行均为该元素；某一个元素使得某一行均为该元素；某一个元素使得某一列均为该元素；某一个元素使得某一列均为该元素；逆元逆元:幺元幺元所对应的元素互为逆元；所对应的元素互为逆元；等幂元等幂元:只考虑主对

48、角线上的元素只考虑主对角线上的元素第128页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例已知二元运算已知二元运算*、的运算表，求各的运算表，求各运算的特异元素。运算的特异元素。第129页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)第第2、4行没改变行没改变和和均为左幺元；均为左幺元；无右幺元；无右幺元；(2)无左、右零元；无左、右零元；(3)无逆元；无逆元；(4)、均为等幂元。均为等幂元。第130页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)第第1行没改变，所以行没改变，所以为左幺元；为左幺元；第第1列没改变，所以列没改变，所以为右幺元；为右幺元；为幺元为幺元(2)无左、右零元；无左、右零元；(3)

49、-1;-1;-1;(4)为等幂元。为等幂元。第131页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)第第1行没改变，所以行没改变，所以为左幺元；为左幺元；第第1列没改变，所以列没改变，所以为右幺元；为右幺元；为幺元为幺元(2)无左、右零元；无左、右零元；(3)-1;-1;-1;-1;-1=;(4)、为等幂元。为等幂元。第132页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例I:整数集合整数集合g:III，且：且：g=x*y=x+y-xy求出幺元，并指出每个元素的逆元。求出幺元，并指出每个元素的逆元。第133页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)求幺元求幺元e：对任意的对任意的x Ix*y=x+y

50、-xyx*e=x+e-xe幺元的定义幺元的定义=xe=0第134页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(2)求求x的逆元的逆元x-1：x*x-1x*y=x+y-xy=x+x-1-x x-1=0 x-1=x/(x-1)Ix=0时：时：x=2时：时：x-1=0 Ix-1=2 I第135页，讲稿共138张，创作于星期二举例举例设设*是自然数集合是自然数集合N中的二元运算，并且：中的二元运算，并且：x*y=x证明：证明：*不可交换，但可结合；不可交换，但可结合；并问哪些元素是等幂的，并问哪些元素是等幂的，是否有左、右幺元？是否有左、右幺元？第136页，讲稿共138张，创作于星期二解答解答(1)不可交