巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题(9页).doc

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1、-第 1 页巧借三角形的两巧借三角形的两条内外角平分线条内外角平分线夹角的模型解决夹角的模型解决问题问题-第 2 页巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学严云霞【基本模型】【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于 90与第三个角一半的和（如图 1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于 90与第三个角一半的差（如图 2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如

2、图 3）；【分析【分析】三个结论的证三个结论的证明明例 1、如图 1，ABC中，BD、CD 为两个内角平分线，试说明：D=90+21A。（方法一）解：BD、CD 为角平分线CBD21ABC，BCD21ACB。在BCD 中：D180（CBDBCD）18021（ABCACB）18021（180A）1802118021A9021A（方法二）解：连接 AD 并延长交 BC 于点 E解：BD、CD 为角平分线CBD21ABC，BCD21ACB。BDE 是ABD 的外角BDEBAD+ABD=BAD+21ABC同理可得CDECAD+21ACB又BDCBDE+CDEBDCBAD+21ABC+CAD+21ACB

3、BAC+21（ABC+ACB）如图 1如图 2如图 3-第 3 页BAC+21（180BAC）9021BAC例、如图，、为的两条外角平分线，试说明：D=9021A。解：BD、CD 为角平分线CBD=21CBEBCD21BCF又CBE、BCD 为ABC 的外角CBEAACBBCFAABCCBEBCFAACBAABCA180在BCD 中：D180（CBDBCD）180（21CBE21BCF）18021（CBEBCF）18021（A180）9021A【小结【小结】通过对模型通过对模型 1 1、2 2 的分析和证明的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平

4、分线的夹角互补，即和为线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为 180180。例：如图，在ABC 中，BD 为ABC 的平分线，CD 为的平分线，试说明：D21A；解：BD 为角平分线，CBD21ABC，又CD 为ACE 的平分线DCE=21ACE，而DCE 为BCD 的一个外角DCE=D+DBC，即DDCEDBCD21ACE21ABC21（ACEABC）-第 4 页21A。【巧借模型解决问题】【巧借模型解决问题】一、一、运用模型直接求值运用模型直接求值例例 4 4、如图，在ABC 中，=400，D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点，则BDC=0【思路分析【思路分析】由条件知，这是图 1

5、的模型：三角形两条内角平分线的夹角，BDC9021A当=400时，BDC=9020=110反之，如果已知BDC 的度数，则把度数代入公式：BDC9021A，可以解出A 的度数。二、二、运用模型揭秘画图题运用模型揭秘画图题例例 5 5、小明用下面的方法画出了 45角：作两条互相垂直的直线 MN、PQ，点 A、B 分别是 MN、PQ 上任意一点，作ABP 的平分线 BD，BD 的反向延长线交OAB的平分线于点 C，则C 就是所求的 45角你认为对吗？请给出证明【思路分析【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现 AC、BD 分别是AOB 的内角平分线和外角平分线的夹角。根据图 3 的结论：这个

6、夹角等于第三个角一半，可知C=21AOB。解：先模仿图 3 证明C=21AOB又AOB=90C=21AOB=45三、三、运用模型探究规律，提升拓展运用模型探究规律，提升拓展例例 6 6、问题引入：（1）如图，在ABC 中，点 O 是ABC 和ACB 平分线的交点，若A=，则BOC=（用表示）；拓展研究：（2）如图，CBO=13ABC，BCO=13ACB，A=，试求BOC 的度数（用表示）归纳猜想：（3）若 BO、CO 分别是ABC 的ABC、ACB 的 n 等分线，它们交于点 O，CBO=1nABC，BCO=1nACB，A=，则BOC=（用表示）类比探索：（4）特例思考：如图，CBO=13DB

7、C，BCO=13ECB，A=，求BOC 的度数（用表示）-第 5 页一般猜想：若 BO、CO 分别是ABC 的外角DBC、ECB 的 n 等分线，它们交于点 O，CBO=1nDBC，BCO=1nECB，A=，请猜想BOC=（用表示）【思路分析】【思路分析】（1）此为图 1 的模型，O=90+21BAC=90+21（2）把角平分线换成13，但证明的思路大致相似。在OC 中：BOC180（OBCOCB）18013（ABCACB）18013（180A）1801318013A12013A12013（3）把角平分线换成1n，证明的思路类似。在中：BOC180（OBCOCB）1801n（ABCACB）18

8、01n（180A）1801n1801nA1nn1801nA1nn1801n-第 6 页（4）此为图 2 的模型中，把角平分线换成13，证明如下：CBD、BCE 为ABC 的外角CBDAACB,BCEAABCCBDBCEAACBAABCA180在中：BOC180（CBOBCO）180（13CBD13BCE）18013（CBDBCE）18013（A180）12013A12013一般猜想：把13再次推广为1n，证明类似：在中：BOC180（CBOBCO）180（1nCBD1nBCE）1801n（CBDBCE）1801n（A180）1nn1801nA1nn1801n【小结】在（【小结】在（2 2）（3

9、 3）（4 4）的结果对比中，我们发现这两个夹角不再互补，）的结果对比中，我们发现这两个夹角不再互补，但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。虽但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。虽然在问题设计中引起一连串的变式然在问题设计中引起一连串的变式，从从12变成13，再从13推广为1n，但问题证明的思路并未发生质的变化。四、四、三种模型合为一体，渗透分类思想三种模型合为一体，渗透分类思想例例 7 7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列 4 个问题，请你一起参与，共同进步如图，ABC，点 I 是ABC 与ACB 平分线的交点，点 D

10、是MBC 与NCB 平分线的交点，点 E 是ABC 与ACG 平分线的交点问题（1）：若BAC=50，则BIC=，BDC=问题（2）：猜想BEC 与BAC 的数量关系，并说明理由-第 7 页问题（3）：若BAC=x（0 x90），则当ACB 等于度（用含 x 的代数式表示）时，CEAB说明理由问题（4）：若BDE 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求BAC 的度数【思路分析】【思路分析】（1）已知点 I 是两内角ABC、ACB 平分线的交点，故由图 1 归纳的模型：BIC=90+BAC，由此可求BIC；因为 CD、BD 分别为ABC 的两外角平分线，故由图 2 的模型：BDC=190BAC

11、，由此可求BDC；（2）因为 BE、CE 分别为ABC 的内角、外角平分线，故由图 3 的模型：BEC=BAC，由此可求BEC；（3）当 CEAB 时，BEC=ABC，由（3）可知，ABC=BAC，ACB=（180BAC）（4）由题意可证：BDE 是直角三角形，DBE=90，D+E=90。已知条件中：一个内角等于另一个内角的三倍，则不明确，所以应当分类讨论。若EBD=3D；若EBD=3E；若D=3E；若E=3D解：（1）点 I 是两角 B、C 平分线的交点，BIC=180（IBC+ICB）=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+BAC=115；类似证明BDC=180BIC=90B

12、AC=65；或者也可以这样证明：BE、BD 分别为ABC 的内角、外角平分线，IBC=ABC，CBD=CBM；DBI=IBC+CBD=IBC=ABC+CBM=（ABC+CBM）=180-第 8 页DBI=90，同理DCI=90，在四边形 CDBI 中，BDC=180BIC=90BAC=65；（2）有图 3 的模型可证BEC=BAC也可借助上面的小题这样证明：在BDE 中，DBI=90，BEC=90BDC=90（90BAC）=BAC；（3）当ACB 等于（1802x）时，CEAB理由如下：CEAB，ACE=A=x，CE 是ACG 的平分线，ACG=2ACE=2x，ABC=ACGBAC=2xx=x

13、，ACB=180BACABC=（1802x）（4）由题意知：BDE 是直角三角形D+E=90若EBD=3D 时BAC=120；若EBD=3E 时BAC=60；若D=3E 时BAC=45；若E=3D 时BAC=135综上所述，BAC=120 或 60或 45或 135巩固练习：巩固练习：1 1、如图：BO、CO 分别平分ABC 和ACB，（1）若A=40，求BOC 的度数；（2）若A=60，BOC=；若A=100，BOC=；（3）由（1）、（2）的结果，试直接写出BOC 与A 之间的数量关系；（4）利用你得出的结论，求当BOC=150时，求A 的度数2、已知如图，COD=90，直线 AB 与 OC 交于点 B，与 OD 交于点 A，射线 OE和射线 AF 交于点 G（1）若 OE 平分BOA，AF 平分BAD，OBA=30，则OGA=；（2）若GOA=13BOA，GAD=13BAD，OBA=30，则OGA=；（3）将（2）中“OBA=30”改为“OBA=”，其余条件不变，则OGA=（用含的代数式表示）；（4）若 OE 将BOA 分成 1：2 两部分，AF 平分BAD，ABO=（3090），求OGA 的度数（用含的代数式表示）。