常微分方程练习题及答案(复习题)(7页).doc

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1、-第 1 页常微分方程练习题及答案(复习题)-第 2 页常微分方程练习试卷一、填空题。1.方程23210d xxdt 是阶（线性、非线性）微分方程.2.方程()x dyf xyy dx经变换_，可以化为变量分离方程.3.微分方程3230d yyxdx满足条件(0)1,(0)2yy的解有个.4.设常系数方程xyyye的一个特解*2()xxxyxeexe，则此方程的系数，.5.朗斯基行列式()0W t 是函数组12(),(),()nx tx tx t在axb上线性相关的条件.6.方程22(2320)0 xydxxydy的只与y有关的积分因子为.7.已知()XA t X的基解矩阵为()t的，则()A

2、 t.8.方程组2005xx的基解矩阵为9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.10.是满足方程251yyyy和初始条件的唯一解.11.方程的待定特解可取的形式:12.三阶常系数齐线性方程20yyy的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2求解方程13dyxydxxy.3.求解方程222()0d xdxxdtdt。4用比较系数法解方程.5求方程sinyyx 的通解.-第 3 页6验证微分方程22(cos sin)(1)0 xxxydxyxdy是恰当方程，并求出它的通解.7设3124A，11，试求方程组XAdtdX的一个基解基解矩

3、阵)(t，求XAdtdX满足初始条件)0(x的解.8.求方程2213dyxydx 通过点(1,0)的第二次近似解.9.求的通解10.若试求方程组xAx的解(),t12(0),并求expAt三、证明题1.若(),()tt是()XA t X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得()()tt C.2.设),()(0 xxx是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列)(xn在,上一致收敛所得的解，而)(x是这积分方程在,上的连续解，试用逐步逼近法证明：在,上)()(xx.3.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同

4、时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4.试证：如果)(t是AXdtdX满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt答案答案一一.填空题。填空题。1.二，非线性2.uxy，11()1)dudxu f ux3.无穷多4.3,2,1 5.必要6.3y7.1()()tt8.25 00tAtteee9.10.11.12.1,二、计算题二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.-第 4 页解解:设曲线方程为,切点为(x,y),切点到点(1,0)的连线的斜率为,则由题意可得如下初值问题:.分离变量,积分并整理后可得

5、.代入初始条件可得,因此得所求曲线为.2.求解方程13dyxydxxy.解解：由10,30 xyxy 求得1,2xy 令1,2,xy则有.dd令z，解得2(1)1z dzdz,积分得21arctanln(1)ln|2zzC,故原方程的解为222arctanln(1)(2)1yxyCx.3.求解方程222()0d xdxxdtdt解解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。4.用比较系数法解方程.解：解：特征方程为,特征根为.对应齐方程的通解为.设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得,故.原方程的通解可以表示为(是任意常数)5

6、.求方程sinyyx 的通解.-第 5 页解：解：先解yy 得通解为xyce,令()xyc x e为原方程的解，代入得()()()sinxxxc x ec x ec x ex,即有()sinxc xex,积分得1()(sincos)2xc xexxc,所以1(sincos)2xycexx为原方程的通解.6验证微分方程22(cos sin)(1)0 xxxydxyxdy是恰当方程，并求出它的通解.解解：由于22(,)cos sin,(,)(1)M x yxxxyN x yyx，因为2MNxyyx 所以原方程为恰当方程.把原方程分项组合得22cos sin()0 xxdxxy dxyx dyydy

7、,或写成2222111(sin)()()0222dxdx ydy,故原方程的通解为2222sin xx yyC.7 7设3124A，11，试求方程组XAdtdX的一个基解基解矩阵)(t，求XAdtdX满足初始条件)0(x的解.解：解：特征方程为31det()(2)(5)0,24AE 求得特征值122,5 ,对应122,5 的特征向量分别为1211,(,0).12VV 可得一个基解矩阵2525().2tttteetee，又因为1211(0)113，于是，所求的解为)0()()(1tt2525211111132tttteeee 25252134tttteeee8.8.求方程2213dyxydx 通

8、过点(1,0)的第二次近似解.解解:令0()0 x，于是9.9.求的通解解：解：方程可化为3284dyydxxdyydx，令dypdx则有3284pyxyp（*），（*）两边对 y 求导得322322(4)(8)4dpy pypypy pdy，即32(4)(2)0dppyypdy，由20dpypdy得12pcy，即2()pyc.-第 6 页将 y 代入（*）得2224cpxc，即方程的 含参数形式的通解为：22224()cpxcpyc，p 为参数；又由3240py得123(4)py代入（*）得3427yx也是方程的解.10.10.若试求方程组xAx的解(),t12(0),并求expAt解：解：

9、特征方程221()69014p，解得1,23，此时 k=1,12n。由公式expAt=10()!intiiteAEi得三、证明题三、证明题1.若(),()tt是()XA t X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得()()tt C.证：证：()t是基解矩阵，故1()t存在，令1()()()X ttt，则()X t可微且det()0X t，易知()()()tt X t.所以()()()()()tt X tt X t()()()()()A tt X tt X t()()()()A ttt X t 而()()()tA tt，所以()()0t X t,()0,X t()X tC（常数矩阵

10、），故()()tt C.2.设),()(0 xxx是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列)(xn在,上一致收敛所得的解，而)(x是这积分方程在,上的连续解，试用逐步逼近法证明：在,上)()(xx.证明证明：由题设，有xxdyx0,)()(20下面只就区间 xx0上讨论，对于0 xx 的讨论完全一样。因为),()|)(|(|)()(|0200 xxMdxxxx其中|)(|max2,xxxMx，所以00221000|()()|(|()()|)()(),2!xxxxMLxxdLMx dxx -第 7 页其中max2,xLx,设对正整数n有nnnxxnMLxx)(!|)()(|011,则有故由归纳法，对一切

11、正整数k，有而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当k 时，它0,因而函数序列)(xn在 xx0上一致收敛于)(x.根据极限的唯一性,即得3.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.证明证明:和的伏朗斯基行列式为因和是基本解组,故.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故(i)得证.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(ii)得证.若存在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(iii)得证.4.试证：如果)(t是AXdtdX满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt.证明：证明：因为Attexp)(是AXdtdX的基本解矩阵，)(t是其解，所以存在常向量C使得：(t)exp At C，令0tt，则：CAt0exp，所以10)(expAtC，故1000(t)exp At(exp At)exp At exp(At)exp A(tt)