微积分第十一章差分方程初步课件.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页关于微积分第十一章差分方程初步第1页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页 在第十章中我们讨论了微分方程，在那里，自变量在第十章中我们讨论了微分方程，在那里，自变量x是在是在给定区间内连续取值的，所求函数是自变量给定区间内连续取值的，所求函数是自变量x的连续函数的连续函数 然而，在经济与管理的实际问题中，经济数据绝大多数是然而，在经济与管理的实际问题中，经济数据绝大多数是以等间隔时间周期地统计的以等间隔时间周期地统计的 基于这一原因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关基于这一原因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关的经济变量的取值是离散的经济变量的取值是离散

2、(非连续非连续)化的，描述各经济变量之间的化的，描述各经济变量之间的变化规律的数学模型也是离散变化规律的数学模型也是离散(非连续非连续)型的而最常见的一类离型的而最常见的一类离散型经济数学模型就是差分方程模型散型经济数学模型就是差分方程模型第2页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念一、一、差分的概念差分的概念定定义义1 设设函函数数yt=f(t)在在t=,-2,-1,0,1,2,处处有有定定义义,对对应应的的函函数数值值为为,y-2,y-1,y0,y1,y2,则则 函函 数数 yt=f(t)在在 时时 间间t的的一一 阶阶 差差 分分定定

3、 义义 为为 yt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)依此定依此定义类义类推推,有有 yt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),yt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),给定函数给定函数 ,其自变量其自变量t(通常表示时间通常表示时间)的取值为离散的取值为离散等间隔的整数值：等间隔的整数值：t=,-2,-1,0,1,2,因因t是离散地取等间隔是离散地取等间隔值，那么函数值，那么函数 只能在相应的点有定义只能在相应的点有定义第3页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页(1)若若yt=C(C为为常数常数),则则 yt=0;(2)对对于任意常数于任意常数k,(

4、kyt)=k yt;(3)(yt+zt)=yt+zt由定义由定义1，我们很容易验证一阶差分具有如下性质：，我们很容易验证一阶差分具有如下性质：因为函数因为函数 的一阶差分的一阶差分 通常还是通常还是t的函数，故可以考虑求的函数，故可以考虑求 的差分，进而还可继续考虑的差分，进而还可继续考虑 的差分的差分，如此等等，的差分的差分，如此等等，这样的差分统称为高阶差分这样的差分统称为高阶差分第4页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页定定义义2 函数函数yt=f(t)在在时时刻刻t的的二二阶阶差分差分定定义为义为一一阶阶差分的差分差分的差分,即即 2yt=(yt)=yt+1-yt =(yt+2-

5、yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt依此定依此定义类义类推推,有有 2yt+1=yt+2-yt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,2yt+2=yt+3-yt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,类类推推,计计算两个相算两个相继继的二的二阶阶差分之差差分之差,便得到便得到三三阶阶差分差分 3yt=2yt+1-2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,3yt+1=2yt+2-2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,第5页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页一般地一般地,k阶阶差分差分(k为为正整数正整数)定定义为义为 这这里里 第6页，此课件共7

6、2页哦返回返回上页上页下页下页二、二、差分方程差分方程定定义义3 含有未知函数含有未知函数yt=f(t)以及以及yt的差分的差分 yt,2yt,的函数方程的函数方程,称称为为常常差分方程差分方程(简简称差分方程称差分方程);出出现现在差分方程中的差分的最高在差分方程中的差分的最高阶阶数数,称称为为差差分方程的分方程的阶阶.n阶阶差分方程的一般形式差分方程的一般形式为为F(t,yt,yt,nyt)=0,其中其中F是是t,yt,yt,nyt的已知函数的已知函数,且且 nyt一定要在方程中出一定要在方程中出现现 第7页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页定定义义3 含有两个或两个以上函数含有两

7、个或两个以上函数值值yt,yt+1,的函数方程的函数方程,称称为为(常常)差分差分方程方程,出出现现在差分方程中未知函数下在差分方程中未知函数下标标的最大差的最大差,称称为为差分方程的差分方程的阶阶 n阶阶差分方程的一般形式差分方程的一般形式为为F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,（*）其其中中F为为t,yt,yt+1,，yt+n的的已已知知函函数数,且且yt和和yt+n一一定定要要在在差差分分方方程中出程中出现现.由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程因此，今后我们将只讨论形如（因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方

8、程）式的差分方程第8页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页三、三、差分方程的解差分方程的解定定义义4 如如果果将将已已知知函函数数yt=(t)代代入入方方程程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,使使其其对对t=,-2,-1,0,1,2,成成为为恒恒等等式式,则则称称yt=(t)为为方方程程的的解解.含含有有n个个任任意意(独独立立)常数常数C1,C2,Cn的解的解yt=(t,C1,C2,Cn)称称为为n阶阶差差分分方方程程的的通通解解.在在通通解解中中给给任任意意常常数数C1,C2,Cn以以确确定定的的值值所得的解所得的解,称称为为n阶阶差分方程的特解差分方程的特解.第9页，此课件

9、共72页哦返回返回上页上页下页下页 例例如如,函函数数yt=at+C(a为为已已知知常常数数,C为为任任意意常常数数)是是差差分分方方程程yt+1-yt=a的通解的通解.而函数而函数yt=at,yt=at-1,均是均是这这个差分方程的特解个差分方程的特解.由由差差分分方方程程的的通通解解来来确确定定它它的的特特解解,需需要要给给出出确确定定特特解解的的定定解解条件条件.n阶阶差分方程差分方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0常常见见的定解条件的定解条件为为初始条件初始条件.y0=a0,y1=a1，,yn-1=an-1，这这里里a0,a1,a2,，an-1均均为为已知常数已知常数第10页，

10、此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页 只只要要保保持持差差分分方方程程中中的的时时间间滞滞后后结结构构不不变变,无无论论对对t提提前前或或推推后后一一个个相相同同的的等等间间隔隔值值,所所得得新新方方程程与与原原方方程程是是等等价价的的,即即二二者者有有相相同同的的解解.例例如如,方程方程 ayt+1-byt=0 与方程与方程 ayt+2-byt+1=0都是相互等价的都是相互等价的 特别值得注意的是特别值得注意的是：基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方需要，我们经常随

11、意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可 由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,恒成立时，对恒成立时，对t=-1,-2,也是成立的为此，今后也就只需讨也是成立的为此，今后也就只需讨论论t=0,1,2,的情形的情形第11页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页四、四、线性差分方程及其基本定理线性差分方程及其基本定理 形如形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的的差差分分方方

12、程程,称称为为n阶阶非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程.其其中中a1(t),a2(t),an-1(t),an(t)和和f(t)都是都是t的已知函数的已知函数,且且an(t)0,f(t)0 而形如而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的的差差分分方方程程,称称为为n阶阶齐齐次次线线性性差差分分方方程程.其其中中ai(t)(i=1,2,，n)为为t的的已已知知函数函数,且且an(t)0.第12页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页 如果如果ai(t)=ai(i=1,2,n)均均为为常数常数(an0),则则有有yt+n+a1yt+n-1+a2y

13、t+n-2+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0 分分别别称称为为n阶阶常系数非常系数非齐齐次次线线性差分方程性差分方程和和n阶阶常系数常系数齐齐次次线线性差性差分方程分方程.第13页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页定理定理1(齐齐次次线线性差分方程解的叠加原理性差分方程解的叠加原理)若若y1(t),y2(t),ym(t)是是齐齐次次线线性差分方程性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的m个特解个特解(m2),则则其其线线性性组组合合y(t)=A1y1(t)

14、+A2y2(t)+Amym(t)也是方程也是方程 的解的解,其中其中A1，A2，Am为为任意常数任意常数定理定理2 n阶齐次线性差分方程阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0一定存在一定存在n个线性无关的特解个线性无关的特解第14页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页定理定理3(齐齐次次线线性差分方程通解性差分方程通解结结构定理构定理)如如 果果y1(t),y2(t),yn(t)是是 齐齐 次次 线线 性性 差差 分分 方方 程程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的n个个线线性无关的特解性

15、无关的特解,则则方程方程 的通解的通解为为：yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)，其中其中A1，A2，An为为n个任意个任意(独立独立)常数常数 第15页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页定理定理4(非非齐齐次次线线性差分方程通解性差分方程通解结结构定理构定理)如如果果 (t)是是非非齐齐次次线线性性方方程程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的的一一个个特特解解,yA(t)是是其其对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的通解

16、的通解,那么那么,非非齐齐次次线线性差分方程的通解性差分方程的通解为为：y(t)=yA(t)+(t)即即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)+(t)，这这里里A1，A2,An为为n个任意个任意(独立独立)常数常数第16页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 一一阶阶常系数常系数线线性差分方程的一般形式性差分方程的一般形式为为yt+1+ayt=f(t)和和yt+1+ayt=0,其其中中f(t)为为t的的已已知知函函数数,a0为为常常数数.分分别别称称为为一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性差分方程性差分方程和其

17、和其对应对应的的齐齐次差分方程次差分方程.第17页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页一、一、一阶常系数线性齐次差分方程的通解与特解一阶常系数线性齐次差分方程的通解与特解将方程将方程yt+1+ayt=0改写改写为为:yt+1=-=-ayt,t=0,1,2,假定在初始假定在初始时时刻刻(即即t=0)时时,函数函数yt取取值值A,那么由上式逐次迭代那么由上式逐次迭代,得得y1=-=-ay0=-=-aA,y2=-=-ay1=(-a)2A,方程的通解方程的通解为为yt=A(-a)t,t=0,1,2,A为为任意常数任意常数.如果如果给给定初始条件定初始条件t=0时时yt=y0,则则A=y0,此此时

18、时特解特解为为：yt=y0(-a)t 第18页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页二、二、一阶常系数线性非齐次差分方程的通解与特解一阶常系数线性非齐次差分方程的通解与特解1.迭代法求通解迭代法求通解将方程改写将方程改写为为 yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,逐步迭代逐步迭代,则则有有y1=(-a)y0+f(0),y =(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y =(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),23第19页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页由数学由数学归纳归纳法法,可得可得 yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)

19、t-2f(1)+f(t-1)=(-a)ty0+,(t=0,1,2,)，yA(t)=(-a)ty0为为 对应对应的的齐齐次方程次方程 的通解的通解.于是于是 方程的通解为方程的通解为第20页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页解解例例第21页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页方程的通解方程的通解 第22页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页2.待定系数法求特解待定系数法求特解情形情形 f(t)为常数为常数方程方程变为变为yt+1+ayt=b,a,b均均为为非零常数非零常数当当a-1时时,可求得特解可求得特解当当a=-=-1时时,改改设设特特解解 (为为待待定定系系数数),将将

20、其其代代入入方方程程得得 (t+1)+a t=(1+a)t+=b 求得特解求得特解试试以以 (为为待定常数待定常数)形式的特解代入方程得形式的特解代入方程得 +a =(1+a)=b第23页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页方程的通解为方程的通解为 解解例例求差分方程求差分方程注意注意 我们也可用迭代法求解我们也可用迭代法求解.第24页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页情形情形 f(t)为为t的多项式的多项式设设f(t)=b0+b1t(t的一次多的一次多项项式式),即即 yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,，其中其中a,b0,b1均均为为常数常数,且且a0,b10试试以特

21、解以特解 =+t,(,为为待定系数待定系数)代入方程得代入方程得+(t+1)+a(+t)=b0+b1t，上式对一切上式对一切t值均成立值均成立,其充分必要条件是：其充分必要条件是：第25页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页当当1+a0时时,即即a-1时，时，方程的特解为方程的特解为 当当a=-1时时,改设特解改设特解 =(+t)t=t+t2 将其代入方程可求得特解将其代入方程可求得特解第26页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页方程的通解为方程的通解为 解解例例第27页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页情形情形 f(t)为指数函数为指数函数 设设f(t)=bdt,b,d均

22、均为为非零常数非零常数,方程方程变为变为 yt+1+ayt=bdt,t=0,1,2,求得特解求得特解当当a+d0时时,设设方方程程有有特特解解 =dt,为为待待定定系系数数.将将其其代代入入方方程程得得 dt+1+a dt=bdt,当当a+d=0时时,改改设设方方程程的的特特解解 =tdt,为为待待定定系系数数,将将其其代代入入方方程程可可求得特解求得特解=btdt 当当a+d0时时,设设方方程程有有特特解解 =dt,为为待待定定系系数数.将将其其代代入入方方程程得得 dt+1+a dt=bdt,第28页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页方程的通解为方程的通解为 解解例例第29页，此课

23、件共72页哦返回返回上页上页下页下页情形情形 f(t)为正弦、余弦型三角函数为正弦、余弦型三角函数 设设f(t)=b1cos t+b2sin t,其其中中b1,b2,均均为为常常数数,且且 0,b1与与b2不不同同时为时为零零.于是非于是非齐齐次方程次方程变为变为yt+1+ayt=b1cos t+b2sin t,a0,t=0,1,2,设设方程有特解方程有特解 =cos t+sin t,均均为为待定系数待定系数.将其代入方程得将其代入方程得 cos(t+1)+sin(t+1)+a cos t+a sin t =b1cos t+b2sin t,(cos+sin +a)cos t+(-sin +co

24、s +a)sin t=b1cos t+b2sin t 第30页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页(cos+sin +a)cos t+(-sin +cos +a)sin t=b1cos t+b2sin t 上式对上式对t=0,1,2,恒成立的充分必要条件是恒成立的充分必要条件是 其系数行列式其系数行列式 第31页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页当当D0时时,则可求得其解则可求得其解当当D=(a+cos)2sin2=0时时,则则有有改设特解改设特解 第32页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页代入方程并整理可得代入方程并整理可得 方程的通解为方程的通解为 第33页，此课件共

25、72页哦返回返回上页上页下页下页例例 求差分方程求差分方程yt+1-2yt=cost的通解的通解解解 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 yA(t)=A2t设设非非齐齐次方程的特解次方程的特解为为 =cost+sint,其中其中,为为待定系数待定系数 将其代入原方程将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式并利用三角函数的和角公式,得得 第34页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页所给方程的通解为所给方程的通解为 第35页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页第三节第三节 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用一、一、存款模型存款模型 设设St为为t期存款期存款总额总额

26、,i为为存款利率存款利率,则则St与与i有如下关系式：有如下关系式：St+1=St+iSt=(1+i)S ,t=0,1,2,，其中其中S0为为初始存款初始存款总额总额t这是一阶线性齐次差分方程，这是一阶线性齐次差分方程，通解为通解为第36页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页二、二、动态供需均衡模型动态供需均衡模型(蛛网定理蛛网定理)设设Dt表表示示t期期的的需需求求量量,St表表示示t期期的的供供给给量量,Pt表表示示商商品品t期期价价格格,则则传统传统的的动态动态供需均衡模型供需均衡模型为为：其中其中a,b,a1,b1均均为为已知常数已知常数.(1)式表示式表示t期期(现期现期)需求

27、依赖于同期价格；需求依赖于同期价格；(2)式表示式表示t期期(现期现期)供给依赖于供给依赖于(t-1)期期(前期前期)价格价格(3)式为供需均衡条件式为供需均衡条件 第37页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页若在供需平衡的条件下若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变而且价格保持不变,即即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格静态均衡价格 需求曲需求曲线线与供与供给给曲曲线线的交点的交点(Pe,Qe)即即为该为该种商品的静种商品的静态态均衡点均衡点动态供需均衡模型的等价差分方程动态供需均衡模型的等价差分方程 方程的一个特解方程的一个特解 方程的通解为方程的通解为 将动态供需均衡模型的将动态

28、供需均衡模型的(1)(2)两式代入两式代入(3)式，便得到式，便得到第38页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页若若初初始始价价格格P0已已知知时时,将将其其代代入入通通解解,可可求求得得任任意意常常数数A=P0-Pe,此此时时,通解改写通解改写为为 如果初始价格如果初始价格P0=Pe,那么那么Pt=Pe,这这表明没有外部干表明没有外部干扰发扰发生生,价格将固定价格将固定在常数在常数值值Pe上上,即静即静态态均衡均衡如果初始价格如果初始价格P0Pe,那么价格那么价格Pt将随将随t的的变变化而化而变变化化.动态动态价格价格Pt随着随着t的无限增大逐的无限增大逐渐渐地振地振荡趋荡趋近于静近于

29、静态态均衡价格均衡价格Pe.第39页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页普通商品的价格与供需关系图普通商品的价格与供需关系图上图的形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型上图的形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理或蛛网定理)第40页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页一一.一阶常系数线性齐次差分方程一阶常系数线性齐次差分方程 的通解为的通解为二二.一阶常系数线性非齐次差分方程一阶常系数线性非齐次差分方程 的通解的通解小结小结第41页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页第42页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页1 设设Yt为为t期国民收入，期国民收入，Ct为

30、为t期消期消费费，I为为投投资资(各期相同各期相同)卡恩卡恩(Kahn)曾提出如下宏曾提出如下宏观经济观经济模型：模型：其中其中，均均为为常数，常数，试试求求Yt和和Ct解：解：中消去中消去，得：，得：上式上式为为一一阶线阶线性非性非齐齐次方程，且其解次方程，且其解为为：第43页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页将将 上式上式 代入第一式代入第一式 得得 第44页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页第三节第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程 二二阶阶常系数常系数线线性差分方程的一般形式性差分方程的一般形式为为yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,

31、2,，其其中中f(t)为为t的的已已知知函函数数,a1,a2为为已已知知常常数数,且且a20,称称为为二二阶阶常常系数非系数非齐齐次次线线性差分方程性差分方程 特特别别地地,当当f(t)0时时,方程方程变为变为yt+2+a1yt+1+a2yt=0 称称为为对应对应的的齐齐次差分方程次差分方程第45页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页一、一、齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 称称 2a1+a2=0为为二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程或或其其对对应应的的齐齐次次差差分分方方程程的的特特征征方方程程它它的的解解(或或根根)称称为为方方程的程的特征根特征根(值值)特

32、征方程的两个根为特征方程的两个根为(1)特征根为相异的两实根特征根为相异的两实根当当 0时时,1,2为为两相异的两相异的实实根根.y1(t)=1t与与y2(t)=2t是是齐齐次差分方程的两个次差分方程的两个线线性无关的特解性无关的特解.第46页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 1,2由特征方程确定由特征方程确定,A1,A2为为两任意两任意(独立独立)常数常数 例例 求差分方程求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解的通解解解 特征方程特征方程为为 2-7+12=(-3)(-4)=0,有两相异有两相异实实特征根特征根 1=3,2=4 原方程

33、的通解为原方程的通解为 第47页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页(2)特征根为两相等的实根特征根为两相等的实根当当=0时时,=1=2=为为两相等的两相等的实实根根.方程的一个特解：方程的一个特解：yt(t)=t 方程的另一个特解方程的另一个特解为为y(t)=t t，且与且与 t线线性无关性无关.方程的通解为方程的通解为 第48页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为 2-4+4=(-2)2=0，方程有重特征根方程有重特征根 =1=2=2 原方程的通解原方程的通解为为yA(t)=(A1

34、+A2t)2t,A1,A2为为任意常数任意常数第49页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页(3)特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根当当 0时时,1,2为为一一对对共共轭轭复根复根.1,2=i=r(cos isin)第50页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页y1(t)=rtcos t,y2(t)=rtsin t是方程的两个是方程的两个线线性无关特解性无关特解.方程的通解方程的通解为为yA(t)=rt(A1cos t+A2sin t)其中其中 A1，A2为为任意常数任意常数.第51页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页例例 求差分方程求差分方程yt+2-2yt+1+2yt

35、=0的通解的通解解解 特征方程特征方程 2-2+2=(-1)21=0 特征根特征根为为一一对对共共轭轭复根复根 1,2=1i 方程的通解为方程的通解为 第52页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页二、二、非齐次方程的特解与通解非齐次方程的特解与通解例例 求差分方程求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解的通解解解 对应对应的的齐齐次方程的通解次方程的通解为为 yA(t)=A13t+A24t，原方程的通解原方程的通解为为yt=yA(t)+=A13t+A24t+1，这这里里A1,A2为为任意常数任意常数 由由于于1+a1+a2=1-7+120,设设特特解解 =B,B为为待待定定常常

36、数数,将其代入原方程将其代入原方程,求得求得B=1.第53页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页例例 求差分方程求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解的通解解解 特征方程特征方程为为 2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根特征根 1=1,2=2.对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为 yA(t)=A1+A22t因因1+a1+a2=1-3+2=0,故故应设应设非非齐齐次方程的特解次方程的特解为为 =Bt,B为为待定系数待定系数,将其代入原方程将其代入原方程,求得求得B=-4 原方程的通解原方程的通解为为yt=yA(t)+=A1+A22t-4t，这这里里A1,A2为为任意常数任

37、意常数第54页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解的通解.解解 对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为yA(t)=(A1+A2t)2t此式此式对对t=0,1,2,恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是B0-2B1=3,B1=2.由此解得：由此解得：B0=7，B1=2 设设非非齐齐次次方方程程有有特特解解 =B0+B1t,B0,B1为为待待定定系系数数.将其代入原方程中将其代入原方程中,得得(B0-2B1)+B1t=3+2t,第55页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页所求非齐次方程的特解为所求非齐次方程的特解为

38、原方程的通解为原方程的通解为 A1,A2为为任意常数任意常数 第56页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解的通解解解 对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为yA(t)=(A1+A2t)2t设设所所给给非非齐齐次方程的特特次方程的特特为为 =B5t,B为为待定系数待定系数.将其代入所将其代入所给给方程方程,可得可得 B5t+2-4B5t+1+4B5t=5t非齐次方程的特解为非齐次方程的特解为 所给方程的通解为所给方程的通解为 其中其中A1,A2为为任意常数任意常数第57页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页第四节第四

39、节 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用一、一、存款模型存款模型 设设St为为t期期存存款款总总额额,i为为存存款款利利率率,则则St与与i有有如如下下关关系系式：式：St+1=St+iSt=(1+i)Si,t=0,1,2,，其中其中S0为为初始存款初始存款总额总额 第58页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页二、二、动态供需均衡模型动态供需均衡模型(蛛网定理蛛网定理)设设Dt表表示示t期期的的需需求求量量,St表表示示t期期的的供供给给量量,Pt表表示示商商品品t期价格期价格,则传统则传统的的动态动态供需均衡模型供需均衡模型为为：其中其中a,b,a1,b1均均为为已知常数已

40、知常数.(1)式表示式表示t期期(现期现期)需求依赖于同期价格；需求依赖于同期价格；(2)式表示式表示t期期(现期现期)供给依赖于供给依赖于(t-1)期期(前期前期)价格价格(3)式为供需均衡条件式为供需均衡条件 第59页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页若在供需平衡的条件下若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变而且价格保持不变,即即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格静态均衡价格 需需求求曲曲线线与与供供给给曲曲线线的的交交点点(Pe,Qe)即即为为该该种种商商品品的的静静态态均均衡点衡点动态供需均衡模型的等价差分方程动态供需均衡模型的等价差分方程 方程的一个特解方程的一个特解 方程

41、的通解为方程的通解为 第60页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页若若初初始始价价格格P0已已知知时时,将将其其代代入入通通解解,可可求求得得任任意意常常数数A=P0-Pe,此此时时,通解改写通解改写为为 如果初始价格如果初始价格P0=Pe,那么那么Pt=Pe,这这表明没有外部干表明没有外部干扰发扰发生生,价格将固定在常数价格将固定在常数值值Pe上上,即静即静态态均衡均衡如果初始价格如果初始价格P0Pe,那么价格那么价格Pt将随将随t的的变变化而化而变变化化.动态动态价格价格Pt随着随着t的无限增大逐的无限增大逐渐渐地振地振荡荡趋趋近于静近于静态态均衡价格均衡价格Pe.第61页，此课件共

42、72页哦返回返回上页上页下页下页普通商品的价格与供需关系图普通商品的价格与供需关系图第62页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页三、三、凯恩斯凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型乘数动力学模型 设设Yt表示表示t期国民收入期国民收入,Ct为为t期消期消费费,It为为t期投期投资资,I0为为自自发发(固定固定)投投资资,I为为周期固定投周期固定投资资增量增量.凯凯恩斯国民恩斯国民经济经济收支收支动动态态均衡模型均衡模型为为：(1)式式为为均衡条件均衡条件,即国民收入等于同期消即国民收入等于同期消费费与同期投与同期投资资之之和和;(2)式式为为消消费费函数函数,即即现现期消期消费费水

43、平依水平依赖赖于前期国民收于前期国民收入入(消消费费滞后于收入一个周期滞后于收入一个周期),a(0)为为基本消基本消费费水平水平,b为边为边际际消消费倾费倾向向(0b1);(3)式式为为投投资资函数函数,这这里里仅仅考考虑为虑为固定投固定投资资 第63页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页在在(1)(2)(3)式式中中消消去去Ct和和It,得得到到一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性差差分分方程：方程：Yt-bYt-1=a+I0+I 方程的一个特解方程的一个特解 方程的通解为方程的通解为 其中其中A为任意常数为任意常数.称系数称系数 为凯恩斯乘数为凯恩斯乘数.第64页，此课件共72页

44、哦返回返回上页上页下页下页四、四、哈罗德哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型经济增长模型 设设St为为t期期储储蓄蓄,Yt为为t期国民收入期国民收入,It为为t期投期投资资,s称称为边际为边际储储蓄蓄倾倾向向(即平均即平均储储蓄蓄倾倾向向),0s1,k为为加速系数加速系数.哈罗德宏观经济增长模型为：哈罗德宏观经济增长模型为：其中其中s,k为已知常数为已知常数(1)式表示式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入期储蓄依赖于前期的国民收入;(2)式表示式表示t期投期投资为前两期国民收入差的加速资为前两期国民收入差的加速,且预期资本加速系数且预期资本加速系数k为为常数常数;(3)式为均衡条件式为均衡

45、条件.第65页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页经整理后得齐次差分方程经整理后得齐次差分方程其通解为其通解为其中其中A为任意常数为任意常数,哈罗德称之为哈罗德称之为“保证增长率保证增长率”其其经济经济意意义义就是：如果国民收入就是：如果国民收入Yt按保按保证证增增长长率率 增增长长,那么就能保那么就能保证证t期期储储蓄与蓄与t期投期投资资达到达到动态动态均衡均衡,即即It=St,t=0,1,2,第66页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页假定假定t-1期收入期收入Yt-1满满足于通解足于通解,而而t期收入期收入Yt由于某种外由于某种外部干部干扰满扰满足足设设B0,那么有那么有 因

46、因kB0,故故ItSt.表示表示:总总投投资资将大于将大于总总供供给给(由由储储蓄提供蓄提供),从而从而对对收入收入产产生一个向上的生一个向上的压压力力,迫使收入迫使收入较较以前增加得以前增加得更多更多.充分地充分地说说明了明了,“保保证证增增长长率率”保保证证了国民收入的增了国民收入的增长长.第67页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页五、五、萨缪尔森萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型乘数加速数模型 设设Yt为为t期国民收入期国民收入,Ct为为t期消期消费费,It为为t期投期投资资,G为为政府政府支出支出(各期均相同各期均相同).萨缪萨缪尔尔森将乘数和加速数两个参数同

47、森将乘数和加速数两个参数同时时引引进进而得到国民而得到国民经济经济收支均衡模型收支均衡模型(也称也称为为乘数乘数-加速数模加速数模型型)：其中其中G0为常数为常数,b称为边际消费倾向称为边际消费倾向(常数常数),k为加速数为加速数.第68页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页将将(2)(3)两式代入两式代入(1)并并经经整理后得：整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G 其特解其特解 其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数与其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数与政府支出自发投资政府支出自发投资G的乘积的乘积.对应对应的的齐齐次方程次方程为为 Yt-b(1+k)Y

48、t-1+bkYt-2=0，其特征方程其特征方程为为 2-b(1+k)+bk=0，特征方程的判特征方程的判别别式式 =b2(1k)2-4bk=bb(1+k)2-4k 第69页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页当当 0时时,特征方程有两相异实根特征方程有两相异实根 齐齐次方程的通解次方程的通解为为：YA(t)=A1 1t+A2 2t(A1,A2为为任意常数任意常数)当当=0时时,特征方程有一对相等实特征根特征方程有一对相等实特征根 齐次齐次方程的通解方程的通解为为：(A1,A2为为任意常数任意常数)第70页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页当当 0时时,特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：齐次齐次方程的通解方程的通解为为：Y(t)=t(A1cos t+A2sin t),A1,A2为任意常数为任意常数.第71页，此课件共72页哦返回返回上页上页下页下页感谢大家观看第72页，此课件共72页哦