第5讲 质点的角动量角动量守恒定律精选文档.ppt

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1、第5讲 质点的角动量角动量守恒定律本讲稿第一页，共三十八页在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用，这时在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用，这时若采用若采用角动量角动量概念讨论问题就比较方便。概念讨论问题就比较方便。角动量也是一个重要概念。角动量也是一个重要概念。本讲稿第二页，共三十八页对于作匀速直线运动的质点，可以用对于作

2、匀速直线运动的质点，可以用动量动量也可用也可用角动角动量量的概念进行描述。的概念进行描述。设质点沿设质点沿 AB 作匀速直线运动，在相作匀速直线运动，在相等的时间间隔等的时间间隔t 内，走过的距离内，走过的距离 S=vt 都相等。都相等。由于各三角形具有公共高线由于各三角形具有公共高线 OH=d，因此掠面速度相等。，因此掠面速度相等。所以有：所以有：选择选择O 为原点，从为原点，从O 到质点处引到质点处引位矢位矢 。在单位时间内扫过的面在单位时间内扫过的面积，称为积，称为掠面速度掠面速度。d5.1 质点的角动量定理质点的角动量定理一一一一 质点的角动量质点的角动量质点的角动量质点的角动量本讲稿

3、第三页，共三十八页由上式可得：由上式可得：写成矢量式：写成矢量式：称为称为质点质点(关于关于O点点)的角动量的角动量 匀速直线运动的质点关于固定点的角动量是常数。匀速直线运动的质点关于固定点的角动量是常数。匀速直线运动的质点关于固定点的角动量是常数。匀速直线运动的质点关于固定点的角动量是常数。本讲稿第四页，共三十八页再来看有心力场的简单情形。再来看有心力场的简单情形。质点在向心力的作用下作匀速圆周运动，此时动量质点在向心力的作用下作匀速圆周运动，此时动量因速度的方向一直在改变而不守恒。因速度的方向一直在改变而不守恒。但质点的位矢与动量的矢量积但质点的位矢与动量的矢量积是一个常矢量是一个常矢量方

4、向始终垂直于纸面向外。方向始终垂直于纸面向外。就是质点就是质点(关于关于O点点)的角动量的角动量它的大小为它的大小为 ，显然，位矢显然，位矢 的掠面速度的掠面速度vr/2在圆周上各点相等。在圆周上各点相等。匀速圆周运动的质点关于圆心的角动量是常数。匀速圆周运动的质点关于圆心的角动量是常数。本讲稿第五页，共三十八页从上面两个例子看到，动量守恒只是对匀速直线运动从上面两个例子看到，动量守恒只是对匀速直线运动的质点成立而对有心力场中质点的运动不成立。的质点成立而对有心力场中质点的运动不成立。但在两种情况下，相对于某点但在两种情况下，相对于某点 O的位矢的掠面速度都相等，的位矢的掠面速度都相等，都相应

5、存在一个守恒量，这就是都相应存在一个守恒量，这就是角动量角动量。因此我们引入。因此我们引入角角动量动量的概念。的概念。角动量概念与线动量类似，但它是描述质点绕某一固定参角动量概念与线动量类似，但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物理量。照点的转动状态的物理量。角动量也有时称其为动量矩。角动量也有时称其为动量矩。本讲稿第六页，共三十八页0(矢量矢量)的大小为：的大小为：和和 的夹角为的夹角为 ，的方向：由的方向：由 和和 按照按照右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。角动量的定义：角动量的定义：角动量是状态量；角动量是状态量；角动量是状态量；角动量是状态量；是描述质点对固定点的转动状态的物理

6、量。是描述质点对固定点的转动状态的物理量。是描述质点对固定点的转动状态的物理量。是描述质点对固定点的转动状态的物理量。本讲稿第七页，共三十八页关于角动量关于角动量角动量与位矢有关，位矢与参考点有关。角动量与位矢有关，位矢与参考点有关。谈到角动量时谈到角动量时必须指明必须指明是对哪一是对哪一参照点参照点而言。而言。当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，=/2角动量大小为：角动量大小为：当质点作一般平面运动时，当质点作一般平面运动时，角动量为：角动量为：讨论本讲稿第八页，共三十八页在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：角动量的单位为角动量的单位为:k

7、g m2/s本讲稿第九页，共三十八页例题例题例题例题1 1：质点作直线运动的角动量。质点作直线运动的角动量。解：解：解：解：质点位置矢量的方向发质点位置矢量的方向发生了变化生了变化转动转动广义的转动：广义的转动：本讲稿第十页，共三十八页本讲稿第十一页，共三十八页地球公转（圆轨道）的角动量。地球公转（圆轨道）的角动量。解：解：解：解：例题例题例题例题2 2：地球的轨道半径是地球的轨道半径是它的质量是它的质量是因此可得，它绕太阳的角速率因此可得，它绕太阳的角速率地球每年地球每年运动一周运动一周所以地球绕太阳公转的角动量大小是所以地球绕太阳公转的角动量大小是本讲稿第十二页，共三十八页嫦娥二号卫星飞行

8、路径嫦娥二号卫星飞行路径嫦娥二号卫星飞行路径嫦娥二号卫星飞行路径本讲稿第十三页，共三十八页嫦娥二号卫星质量为嫦娥二号卫星质量为2480千克千克,绕月球飞行的圆轨道高度为绕月球飞行的圆轨道高度为100公里公里,周期为周期为118分钟分钟,月球直径约月球直径约3476公里公里,质量约质量约7.3491022 千克千克.可求得嫦娥二号卫星绕月球转动的角可求得嫦娥二号卫星绕月球转动的角动量为动量为 7.43511012 kg m2/sm2/s。%嫦娥二号卫星质量嫦娥二号卫星质量嫦娥二号卫星质量嫦娥二号卫星质量 kg kgm=2480;m=2480;%绕月球飞行的圆轨道高度绕月球飞行的圆轨道高度绕月球飞

9、行的圆轨道高度绕月球飞行的圆轨道高度 km kmh=100;h=100;%绕月周期绕月周期绕月周期绕月周期 minute minuteT=118;T=118;%月球直径约月球直径约月球直径约月球直径约 km kmD=3476;D=3476;%绕月角速度绕月角速度绕月角速度绕月角速度 rad/s rad/sw=2*pi/(T*60);w=2*pi/(T*60);%绕月球旋转的角动量大小绕月球旋转的角动量大小绕月球旋转的角动量大小绕月球旋转的角动量大小 kgkg mm2 2/s/sL=m*(D/2+100)*103)2*w;L=m*(D/2+100)*103)2*w;L=7.43511012解：解

10、：w=8.874610-4 rad/s本讲稿第十四页，共三十八页 类比质点的动量定理类比质点的动量定理考查质点角动量考查质点角动量的变化率：的变化率：于是有于是有引起转动状态改变的原因引起转动状态改变的原因是由于力矩的作用是由于力矩的作用 可见可见:令令力矩力矩二二二二 质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理本讲稿第十五页，共三十八页力矩力矩力矩力矩和角动量必须都是对同一固定点的。和角动量必须都是对同一固定点的。和角动量必须都是对同一固定点的。和角动量必须都是对同一固定点的。比较比较角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式与动量定理在形式、结构上一致。与动量定理在形式

11、、结构上一致。角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式冲量矩冲量矩冲量冲量质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。本讲稿第十六页，共三十八页0其中其中为为 和和 的夹角的夹角力对某一固定点的力力对某一固定点的力矩的大矩的大小等于此力和力小等于此力和力臂的乘积。臂的乘积。三三三三 力矩力矩力矩力矩

12、本讲稿第十七页，共三十八页 落落体体运运动动中中质质点点对对同同一一参参照照点点的的角角动动量量和和力力矩矩试试问问：企企鹅鹅从从A做做自自由由落落体体运运动动的的过过程程中中，对对于于O点点的的角角动动量量为为多多少少？本讲稿第十八页，共三十八页力偶矩力偶矩一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。解：解：解：解：例题例题例题例题3 3：本讲稿第十九页，共三十八页有心力对力心的力矩为零。有心力对力心的力矩为零。在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：力矩的单位为：力矩的单位为：Nm关于力矩关于力矩上式也称为力对轴的力矩

13、。上式也称为力对轴的力矩。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。讨论本讲稿第二十页，共三十八页质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动量的矢量和。量的矢量和。一一一一 质点系对固定点的角动量质点系对固定点的角动量质点系对固定点的角动量质点系对固定点的角动量5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理本讲稿第二十一页，共三十八页二二 质点系的角动量定理质点系的角动量定理研究方法：研究方法：先对每个质点应用角动量定理，然后对所有先对每个质点应用角动量定理，然后对所有质点求和。质点求和。对质

14、点对质点i应用角动量定理：应用角动量定理：对质点系中所有质点求和，则有对质点系中所有质点求和，则有fijfjirirjFiFjO等式左边等式左边等式左边等式左边等式右边等式右边等式右边等式右边本讲稿第二十二页，共三十八页各质点所受各质点所受各质点所受各质点所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和外力矩的矢量和外力矩的矢量和。各个质点所受的各各个质点所受的各各个质点所受的各各个质点所受的各内力矩内力矩内力矩内力矩 的的的的矢量和矢量和矢量和矢量和。考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现

15、的 与与 共线，矢积为共线，矢积为0.因此，所有内力矩的矢量和为因此，所有内力矩的矢量和为因此，所有内力矩的矢量和为因此，所有内力矩的矢量和为0.0.ri-rjfijfjirirjFiFjO本讲稿第二十三页，共三十八页所以对质点系有：所以对质点系有：所以对质点系有：所以对质点系有：质点系所受的合外力矩等于其角动量对时间的质点系所受的合外力矩等于其角动量对时间的质点系所受的合外力矩等于其角动量对时间的质点系所受的合外力矩等于其角动量对时间的变化率。变化率。变化率。变化率。质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理本讲稿第二十四页，共三十八页则有：则有：若质点若质点(

16、系系)所受外力对某固定参照点的力矩矢量和为零，则所受外力对某固定参照点的力矩矢量和为零，则质点质点(系系)对对该固定点的角动量守恒。该固定点的角动量守恒。角动量守恒定律角动量守恒定律根据动量定理：根据动量定理：若若5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律一一 角动量守恒定律角动量守恒定律本讲稿第二十五页，共三十八页 质点质点(系系)所受的合外力为零；所受的合外力为零；合力矩为零。合力矩为零。在有心力的作用下在有心力的作用下,质点质点(系系)对力心的角动量对力心的角动量都是守恒的；都是守恒的；匀速直线运动的质点匀速直线运动的质点(系系)对任意固定点的角对任意固定点的角动量都是守恒的。动量都是守恒的。

17、关于守恒条件关于守恒条件关于守恒条件关于守恒条件讨论本讲稿第二十六页，共三十八页二二 开普勒第二定律的证明开普勒第二定律的证明行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积动画中，行星在一段时间内从动画中，行星在一段时间内从 A 点运动到点运动到B点，位矢扫点，位矢扫过的面积是过的面积是ds1；在另一段相同的时间间隔内从；在另一段相同的时间间隔内从 C点运点运动到动到 D点，这时位矢扫过的面积是点，这时位矢扫过的面积是 ds2 。开普勒观测的。开普勒观测的结果是结果是 ds1=ds2。本讲稿第二十七页，共三十八页开普勒开普勒发现行星绕太阳的轨道是椭圆形发现

18、行星绕太阳的轨道是椭圆形的，他把二十余年观测的几千个数据归的，他把二十余年观测的几千个数据归纳总结，提出了开普勒三定律，开普勒纳总结，提出了开普勒三定律，开普勒为此欣喜若狂。为此欣喜若狂。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的定律已传达了重大的“天机天机”。由于角动量正比于位矢的掠面速度，由于角动量正比于位矢的掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。守恒。本讲稿第二十八页，共三十八页行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引力的方向行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳

19、的位矢反平行，因此在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平行，因此行星受到行星受到的引力对太阳的力矩为零的引力对太阳的力矩为零。角动量的方向不变角动量的方向不变，表明位矢，表明位矢和速度所决定的平面的方位不和速度所决定的平面的方位不变，行星就在这个平面内运动，变，行星就在这个平面内运动，它的轨道是二维的它的轨道是二维的。所以，所以，行星行星在运行过程中，它在运行过程中，它对太阳的角动量保持不变对太阳的角动量保持不变。证明：证明：设在设在 t 时刻，行星位于时刻，行星位于A 点，点，经经dt 时间运动到时间运动到 点，点，本讲稿第二十九页，共三十八页在此时间间隔内，在此时间间隔内，扫过的面积为扫过的

20、面积为因此面积的变化率因此面积的变化率有心力作用，角动量有心力作用，角动量 L 守恒，故面积变化率恒定。守恒，故面积变化率恒定。行星转过角位移行星转过角位移 ，本讲稿第三十页，共三十八页用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为圆周运动，其半径为 r0，角速度为，角速度为0。现通过。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为求当半径缩为 r 时的角速度。时的角速度。解：例题例题例题例题4 4mr0ro以小孔以小孔 o 为原点为原点绳对小球的拉力为有心力，绳对小球的拉力为有心力，则

21、小球对则小球对o 点的角动量守恒。点的角动量守恒。其力矩为零。其力矩为零。本讲稿第三十一页，共三十八页初态初态 末态末态 角动量守恒角动量守恒 所以所以 或或 本讲稿第三十二页，共三十八页运用动能定理，可计算这个力的功：运用动能定理，可计算这个力的功：可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。若维持角动量守恒，必须对质点做功。星系的形状可能与此有关。星系的形状可能与此有关。星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质量星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻气团，在

22、引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。这样的星系呈扁平状。本讲稿第三十三页，共三十八页银河系银河系This is 我们的太阳！我们的太阳！本讲稿第三十四页，共三十八页仙女座星系仙女座星系(220万光年万光年)本讲稿第三十五页，共三十八页一颗地球卫星，近地点一颗地球卫星，近地点181km，速率，速率8.0km/s，远，远地点地点327km，求卫星在该点的速率。，求卫星在该点的速率。解：例题例题例题例题5 5角动量守恒角动量守恒近地点近地点远地点远地点则则且且行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否

23、守恒？行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？NO!本讲稿第三十六页，共三十八页这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。而远离太阳时，动能转换成势能。在在低轨道上运行的地球卫星低轨道上运行的地球卫星由于大气摩擦阻力对地心的矩由于大气摩擦阻力对地心的矩不为零，其不为零，其对地心的角动量不守恒对地心的角动量不守恒。在此力矩的作用下，。在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。本讲稿第三十七页，共三十八页角动量守恒是自然界的普遍规律角动量守恒是自然界的普遍规律从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现反例。从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现反例。角角动量守恒动量守恒与与动量守恒动量守恒及及机械能转换与守恒定律机械能转换与守恒定律并称为并称为三大三大守恒定律守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因：，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因：由运动的时空属性决定的。由运动的时空属性决定的。本讲稿第三十八页，共三十八页