多元函数的基本概念讲稿.ppt

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1、多元函数的基本概念第一页，讲稿共三十二页哦 第二章 第一节第一节一、平面点集一、平面点集二、二元函数的概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第二页，讲稿共三十二页哦一、一、区域区域1.邻域邻域点集，称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为第三页，讲稿共三十二页哦在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.第四页，讲稿共三十二页哦2.区域区域(1)内

2、点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.第五页，讲稿共三十二页哦(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点

3、)第六页，讲稿共三十二页哦D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;第七页，讲稿共三十二页哦例如，例如，在平面上开区域闭区域第八页，讲稿共三十二页哦 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无第九页，讲稿

4、共三十二页哦3.n 维空间维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标.记作即一个点点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.第十页，讲稿共三十二页哦的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为规定为 与零元 O 的距离为第十一页，讲稿共三十二页哦二、二元函数的概念二、二元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式第十二页，讲稿共三十二页哦定义定义1.1.设 是三个变量.如果当变量 在一定范围内任意取定一对数值时,变量 按照一定的法则 总有确定的数值与它们对应,则称变量 是变量 的二元函二元函

5、数数,记为二元函数在点 所取得的函数值记为 ，或 其中 称为自变量,称为因变量.自变量 的取值范围 称为函数的定义域第十三页，讲稿共三十二页哦推广：推广：设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作第十四页，讲稿共三十二页哦例如,二元函数定义域为 圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第十五页，讲稿共三十二页哦例例1.设求解：解：令第十六页，讲稿共

6、三十二页哦例例2.求函数的定义域.解解:函数定义域必须满足所以，函数 的定义域为：第十七页，讲稿共三十二页哦当邻域内有定义（点定定义义2.2.设二元函数在点可以除外）,如果当点沿任意路径趋于点时,函数趋于常数,那么称为函数的某一总无限AA时的极限，记为或或三、二元函数的极限三、二元函数的极限第十八页，讲稿共三十二页哦说明：说明：（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点 从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点 时，函数都趋于同一常数.（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代

7、换等。xyoP0第十九页，讲稿共三十二页哦例例3.求极限：例例4.求极限：解解:原式例例5.求第二十页，讲稿共三十二页哦 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例6.讨论函数函数定理定理1.点 以任何方式趋向于点 函数 的极限都存在且相等.第二十一页，讲稿共三十二页哦仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例6 知它在(0,0)点二重极限不存

8、在.第二十二页，讲稿共三十二页哦四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 二 元函数 在点 的某个领域如果函数在区域 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上内有定义，如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 二 元函数连续.连续,在点第二十三页，讲稿共三十二页哦例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第二十四页，讲稿共三十二页哦例例7 7 求解解 因为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故第二十五页，讲稿共三十二页哦例例8 8 讨论函数 的连续性时，为初等函数,故函数在点处连

9、续.当不存在,所以函数在点处不连续，即原点是函数的间解 当断点时,由例6知第二十六页，讲稿共三十二页哦第二十七页，讲稿共三十二页哦有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质性质性质1 1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质性质2 2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值第二十八页，讲稿共三十二页哦内容小结内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数第二十九页，讲稿共三十二页哦有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续第三十页，讲稿共三十二页哦第三十一页，讲稿共三十二页哦例例5 5 求极限 解解:其中其中第三十二页，讲稿共三十二页哦