静定结构位移课件.ppt

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1、静定结构位移1第1页，此课件共87页哦6-1 概述一、静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用ABCABC2第2页，此课件共87页哦2.广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。AB 竖向位移之和 相对竖向位移a)支座B下沉ABCC温度变化ABCC3第3页，此课件共87页哦qABABb)c)相对竖向位移 相对水平位移4第4页，此课件共87页哦 A左、右截面相对转角e)d)AlB AB杆转角A5第5页，此课件共87页哦次梁跨中挠

2、度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度二、位移计算的目的1）验算结构的刚度6第6页，此课件共87页哦2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件 求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB 如右图示单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如 可以取任意值。7第7页，此课件共87页哦三、实功和虚功：1.实功 力 在由该力引起的位移 上所作的功称为实功。即 右图中，外力是从零开始线性增大至 ，位移也从零线性增大至 。也称为静力实功。FP118第8页，此课件共87页哦2.虚功 力FP在由非该力引起的位移上所作的

3、功叫作虚功。右图简支梁，先加上 ，则两截面1、2之位移分别为 、。然后加 ，则1、2截面产生新的位移 。FP1FP29第9页，此课件共87页哦实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP210第10页，此课件共87页哦6-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式一、变形体虚功原理 定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。11第11页，此课件共87页哦下面讨论W及Wi 的具体表达式。条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形

4、。以上两种状态彼此无关。2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。12第12页，此课件共87页哦第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）13第13页，此课件共87页哦外力虚功：微段ds的内虚功dWi：整根杆件的内虚功为：14第14页，此课件共87页哦根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：15第15页，此课件共87页哦小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非

5、弹性结构。考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)16第16页，此课件共87页哦 变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。二、位移计算的一般公式所以 在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则虚功方程为：17第17页，此课件共87页哦 下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。给定位移、变形虚设平衡力系ABC1.欲求 ，则在C截面加上竖向单位载荷 ，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。ABC18第18页，此课件共87页哦2.位

6、移计算一般公式 外力虚功 内虚功 所求位移给定的位移和变形。力和位移无关。3.小结1）单位载荷 在结构中产生的内力和支座反力，、19第19页，此课件共87页哦，则 与 同向；若求得的 ，3）外力虚功 这一项前取正号。若求得的则 与 反向。2）正负号规则：若 及 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负；乘积 及 的正负号分别由力与应变的正负号确定。使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负，以顺时针方向为正，反之为负；以拉力为正，压力为负，以拉应变为正，压应变为负；若 与 同向，则乘积 为正，反之为负。20第20页，此课件共87页哦4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。图示单位荷载分别求位移AB

7、C5）求位移步骤如下：沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；利用位移计算一般公式求位移。21第21页，此课件共87页哦例6-2-1 已知杆AB和BC在B处有折角 (见图a)，求B点下垂距离 。虚设平衡力系1/3c)ABCl/32l/32/312l/9给定位移b)a)1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加铰，见图b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/322第22页，此课件共87页哦2）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得：1/3虚设平衡力系c)ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/3给定位移b)23第23页，此课件共

8、87页哦例6-2-2 已知杆AB在B左、右截面有竖向相对错动 见图a)，求 。ABCl/32l/3Ba)ABCl/32l/3b)给定位移24第24页，此课件共87页哦解：1）将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为滑动联结，见上页图 b)。2）虚设平衡力系如图c）所示。运用虚功方程W=0得：1/lc)虚设平衡力系ABCl/32l/311/l1/l1/l25第25页，此课件共87页哦例6-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度 。解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程 得：给定位移虚设平衡力系ABCRl/2l/2ABCl/2l/2l/41/21/2126第26页，此课件共87页哦三、广义

9、位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移 。+a)给定位移qABAHBH,0,AB1c)虚设单位荷载1AB1b)1AB1d)虚设单位荷载2=27第27页，此课件共87页哦虚设单位载荷如上图c)，d)所示。由上图b)可得：所以得：28第28页，此课件共87页哦 所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：q求11单位荷载1)29第29页，此课件共87页哦AB1/l1/l单位荷载ABlAVBV求+)/l=(AVBV2)ABFP1AB求AV-BV1AB11求AV+BVAVBV(A，B截面竖向位移

10、之和）(A，B截面相对竖向位移）原结构3)30第30页，此课件共87页哦例6-2-4 因温度变化底板AB弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面C、D的相对水平位移 。给定位移虚设平衡力系CR=10mD0.7mABCD0.7AB110.72m 在截面C、D上加一对大小相等、方向相反、沿水平方向的单位荷载如图所示。解：31第31页，此课件共87页哦注意，AC、BD杆无弯曲变形。32第32页，此课件共87页哦6-3 支座移动和温度变化时的位移计算一、支座移动时的位移计算说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去 掉。2）若 与 方向相同，则乘积 为正，反之为负。若静定结构只有支座移动而无其他因素

11、作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变 均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：33第33页，此课件共87页哦例6-3-1 已知刚架支座B向右移动a,求 。解：CABhd/2d/2aCAB1d/4hd/4h0.50.51）求求34第34页，此课件共87页哦CADB10.50.5h/dh/d求DHd/2d/2hCADB1/h1/h00求Cd/2d/2112）求3）求35第35页，此课件共87页哦二、温度变化时的位移计算 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值36第36页，

12、此课件共87页哦 2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：对于矩形截面杆件，。hb杆轴线处温度改变值 ：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-t1dt37第37页，此课件共87页哦3.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变4.位移计算公式38第38页，此课件共87页哦小结：1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。2）39第39页，此课件共87页哦例6-3-2 求图示刚架C截面水平位移 。已知杆件线 膨胀系数为 ，矩形截面高为h。解：CABdd1CAB ddCAB图图40第40页，

13、此课件共87页哦41第41页，此课件共87页哦6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算一、基本公式CABD虚设平衡力系FP=1给定位移、变形FPCABqD,0,DH,DV,D(MP,FQP,FNP)D 求下图示结构在荷载作用下的位移 。42第42页，此课件共87页哦 若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。在荷载作用下，应变 与内力 的关系式如下：43第43页，此课件共87页哦正负号规则：1）不规定 和 的正负号，只规定乘积的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MP正MP负MP44第44页，此课件共8

14、7页哦 若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：2）和 以拉力为正，压力为负；3）和 的正负号见下图。45第45页，此课件共87页哦二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。46第46页，此课件共87页哦2.桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：4.拱拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构用于弯曲杆用于二力杆47第47页，此课件共87页哦例6-4-1 求简支梁中点竖向位移 ，并

15、讨论剪切变形对位移的影响。qxAMPFQPql/2xA0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/248第48页，此课件共87页哦解：49第49页，此课件共87页哦 若杆截面为矩形，则k=1.2；又=1/3，则E/G=2(1+)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，则 h/l=1/2，则可见，剪切变形的影响不能忽略。50第50页，此课件共87页哦6-5 图乘法 图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分 改写成。51第51页，此课件共87页哦Mi图yxMk图d=MkdxMk(x)xx0d

16、xAByxMi(x)=xtgxx0ABy052第52页，此课件共87页哦说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与的取值：y0一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。53第53页，此课件共87页哦二、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线hl二次抛物线h二次抛物线3l/4l/4h5l/83l/8二次抛物线h54第54页，此课件共87页哦三、图乘法举例 运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分

17、块,尤其是正确的进行分块。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/355第55页，此课件共87页哦 分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。ABCDABCDMP56第56页，此课件共87页哦分块只对 或 中的一个图形进行 分块，另一个图形不分块。ABABMP1MP257第57页，此课件共87页哦例6-5-1 求 。解：作 图 图，如上图所示。分段：，分为AC、CB两段，分块：图的CB段分为两块。MPACBEI1EI21231FPCBy1y2y3EI1EI2A58第58页，此课件共87页哦 此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是 ，再加上刚度为 的AC段，再减去刚度为 的AC

18、段即可。CBACACA122MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1159第59页，此课件共87页哦例6-5-2 求 ,EI等于常数。解：作 图 图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MP2y2y160第60页，此课件共87页哦 如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。16A4C84图例6-5-3 求 ,EI等于常数。作 图 图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC61第61页，此

19、课件共87页哦1/21y12y381244MP图13y2图1ACBBAC（kN.m)62第62页，此课件共87页哦例6-5-4 求 ,EI等于常数。解：作 图及 图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y2图图1412613（kN.m)63第63页，此课件共87页哦1/61/62/31/312y3y2图图1412613（kN.m)64第64页，此课件共87页哦例6-5-5 求CH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为

20、两块。65第65页，此课件共87页哦42y3=4121MP图(kN.m)2m2y22y1图13ABC466第66页，此课件共87页哦6-6 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I67第67页，此课件共87页哦68第68页，此课件共87页哦 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即69第69页，此课件共87页哦定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做

21、的虚功W21。二、位移互等定理定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12=21即70第70页，此课件共87页哦由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：或于是所以状态II12状态I1271第71页，此课件共87页哦1212说明：1）ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。i 产生位移的方位；j 产生位移的原因。2）FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义

22、位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等。72第72页，此课件共87页哦例6-6-1 验证位移互等定理。a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/4解：73第73页，此课件共87页哦所以例6-6-2 验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN21274第74页，此课件共87页哦解：所以15311175第75页，此课件共87页哦三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I

23、12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：76第76页，此课件共87页哦 在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。i 产生支座反力的方位；j 产生支座移动的支座。77第77页，此课件共87页哦例6-6-3 验证反力互等定理。可见：r12=r2112EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r

24、12。78第78页，此课件共87页哦四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令状态I1FP12FR21状态II1122C2 上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。79第79页，此课件共87页哦位移反力互等定理在混合法中得到应用。所以由此得到即 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数 、的量纲都是 。定理 在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数 ，但二者符号相反。80第80页，此课件共87页哦例6-6-4 验证位移

25、反力互等定理。FP1C2a/2a/2122181第81页，此课件共87页哦6-7 结构位移计算公式的 另一种推导 本节讨论问题的思路是：先导出局部变形时的位移公式，然后运用叠加原理，导出结构位移计算的一般公式。一、局部变形时静定结构的位移计算公式先讨论三个例题。例6-7-1 下图示悬臂梁B左右截面有相对转角，试求A截面竖向位移。aaBAC82第82页，此课件共87页哦令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：解：在截面B加铰，把实际位移表示为刚体位移状态。在截面A加上竖向单位荷载，在铰B左右截面虚设一对弯矩 如图示根据平衡条件得：，BAB1ACCaaBAC83第83页，此课件共87页哦b 在截

26、面B上加上滑动连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面A沿方向加上单位荷载，在B左右截面虚设一对剪力 如图所示。显然：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：解：例6-7-2 图示悬臂梁B截面有相对剪切位移 ，试求A截面沿 方向位移。aaBACBACBAC184第84页，此课件共87页哦 在截面B上加上轴向连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面A沿方向加单位荷载，在B左右截面虚设一对轴力 如图所示。显然：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：解：CBAC1BABACC例6-7-3 图示悬臂梁B截面有相对轴向位移 ，试求A截面沿 方向位移。85第85页，此课件共87页哦二、微段变形时的位移计算公式 下图示梁除了微段ds有局部变形外，杆件其余部分没有变形。dsdsRBdACdsdsA/BAC1C/86第86页，此课件共87页哦 把微段BC(ds)的三个应变集中到截面C，这样就可以把微段BC的变形当作截面C的局部变形。根据前面三个例题的结论，应用虚功原理，就可以求得A截面沿方向由微段ds的变形所产生的位移增量d：三、结构位移计算的一般公式 整根杆件的变形在A点产生的位移可以由每个微段变形在该点引起的微小位移叠加得到，即：87第87页，此课件共87页哦