高量空间对称性和守恒定律课件.ppt

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1、关于高量空间对称性和守恒定律1第1页，此课件共33页哦219-2 19-2 空间对称变换空间对称变换一、位置变换一、位置变换ABABQ 设变换设变换 是三维位形空间的算符，它将点是三维位形空间的算符，它将点 变为另一点变为另一点 （19.1）对对每一个每一个 都有确定值。都有确定值。变换变换 是不改变任何两点距离的那些变换：是不改变任何两点距离的那些变换：第2页，此课件共33页哦3对对称称变换变换群：群：对对某些物理系某些物理系统统，若位置，若位置变换变换的一个的一个集合集合 是此系统的对称变换，即保持这个是此系统的对称变换，即保持这个系统不变的变换，则这个集合必构成一个群，称为系统不变的变换

2、，则这个集合必构成一个群，称为这个系统的对称变换群。这个系统的对称变换群。满足群的四个条件：满足群的四个条件：1 1单位元存在：单位元存在：2 2结合律成立：结合律成立：3 3封闭性：封闭性：4 4逆元存在：逆元存在：第3页，此课件共33页哦4二、态函数的变换二、态函数的变换态态函数函数 用算符用算符 作一个整体的变换。作一个整体的变换。整体变换：新函数在新点处的值等于老函数在老点上的值，即整体变换：新函数在新点处的值等于老函数在老点上的值，即（19.3）新老函数的关系用一个新老函数的关系用一个函数空函数空间间的的变换变换算符算符 表示：表示：变换变换不影响其不影响其归归一化，一化，是幺正算符

3、：是幺正算符：（19.4）第4页，此课件共33页哦5考考虑连续虑连续两次两次变换变换：（：（只对只对 作用作用）得得 构成一个群。构成一个群。（19.5）群群 与群与群 是什么关系呢？是什么关系呢？由于由于 所以所以 （19.6）同同态态，即，即第5页，此课件共33页哦6三、态矢量的变换三、态矢量的变换在在Hilbert空间中，状态空间中，状态 经过变换经过变换 之后成为新态之后成为新态 ，则可定出一个幺正变换算符，则可定出一个幺正变换算符 ：（19.7）由于由于 可得可得 即即 所以所以（19.8）（19.9）第6页，此课件共33页哦7(19.8)：Hilbert空间中空间中D(Q)的定义式

4、。的定义式。(19.9)：与与 的形式关系。的形式关系。右矢形式：右矢形式：两两边边乘乘,有有 令令，得，得 即即 第7页，此课件共33页哦8四、算符的变换四、算符的变换设对称变换前，设对称变换前，现在分别对现在分别对 ，作对称变换作对称变换Q，即，即，则则 第8页，此课件共33页哦9对对位置算符位置算符R，其本征，其本征值值方程方程为为 所以所以 有有 （19.13）（19.14）用用D(Q)作用，得作用，得 用用Q-1作用在等式作用在等式（本征值为（本征值为Qr的的R的本征方程）的本征方程）因因为为|Qr为为任意矢量，所以比任意矢量，所以比较较（19.13）和（）和（19.14）,得得第9

5、页，此课件共33页哦10的双重身份：的双重身份：Hilbert空间中的算符，空间中的算符，只对只对 作用作用位形空间中的矢量，位形空间中的矢量，只对只对 作用。作用。第10页，此课件共33页哦1119-3 19-3 空间反演空间反演一、空间反演算符一、空间反演算符 通常通常:，根据根据19.419.4式：式：，空空间间反演群反演群 ：函数空函数空间间的空的空间间反演算符反演算符 :和和空空间间反演反演变换变换 的定的定义义是：是：空空间间反演算符反演算符 是：是：，第11页，此课件共33页哦12偶宇称偶宇称奇宇称奇宇称无确切宇称无确切宇称其他情况其他情况因为因为 ，所以，所以 的本征值为的本征

6、值为 ：空空间间反演算符既是幺正算符反演算符既是幺正算符又是厄米算符又是厄米算符与与 相相应应的左矢形式的左矢形式为为：第12页，此课件共33页哦13二、算符在空间反演下的变换二、算符在空间反演下的变换 1位置算符位置算符R在在Hilbert空空间间中：中：所以所以 在函数空在函数空间间中：中：所以所以 （19.23）（19.24）第13页，此课件共33页哦142动动量算符量算符P由于由于 则则 所以所以 （19.25）（19.26）第14页，此课件共33页哦15即即P与与L对对易易3轨轨道角道角动动量算符量算符L所以：所以：共同的本征函数是球共同的本征函数是球谐谐函数函数（19.27）第15

7、页，此课件共33页哦16矢量算符矢量算符：在空：在空间间反演下改反演下改变变符号，如符号，如R,P轴轴矢量（矢量（赝赝矢量）算符矢量）算符：在空间反演下不变，如角动量算符在空间反演下不变，如角动量算符L并规定自旋算符是轴矢量算符。并规定自旋算符是轴矢量算符。真标量：真标量：在空间反演下在空间反演下不不改变符号改变符号赝标量：赝标量：在空间反演下改变符号在空间反演下改变符号第16页，此课件共33页哦1719-4 19-4 空间平移空间平移1 1、平移群、平移群无限小空无限小空间间平移平移变换变换 （19.28）不是不是线线性算符性算符，得得 即即 在位置表象中，将在位置表象中，将 作用于态函数作

8、用于态函数 上，上，第17页，此课件共33页哦18对对于有限的平移，有于有限的平移，有 （19.30）是线性算符，是线性算符，与与 同构。同构。第18页，此课件共33页哦19二、态矢量的平移算符二、态矢量的平移算符在在Hilbert空空间间中，有中，有 （19.31）（19.32）由由 ，知，知（19.33）所以所以态态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符第19页，此课件共33页哦20三、位置算符和动量算符的平移变换三、位置算符和动量算符的平移变换对位置算符对位置算符R：由（：由（19.15）式）式 得得（19.34）对动量算符对动量算符P，由，由

9、知知 所以所以（19.35）即动量算符在平移变换下是不变的。即动量算符在平移变换下是不变的。第20页，此课件共33页哦2119-5 19-5 空间转动空间转动一、空间转动和转动群一、空间转动和转动群 绕绕n轴转轴转 角的无限小角的无限小转动转动算符算符 ：3D正当转动群：绕所有的轴转一切角度的正当转动正当转动群：绕所有的轴转一切角度的正当转动算符的集合算符的集合 构成的群。构成的群。第21页，此课件共33页哦22二、函数空间和二、函数空间和Hilbert空间中的转动算符空间中的转动算符（由（由19.4）（略高阶项）（略高阶项）函数空间中：函数空间中：（应用（应用 和和 ）在位置表象中态函数在位

10、置表象中态函数 的转动变换是的转动变换是 第22页，此课件共33页哦23Hilbert空间中：空间中：第23页，此课件共33页哦24三、算符的变换三、算符的变换1.位置算符位置算符R 第24页，此课件共33页哦25 ：Levi-Civita symbol（6.19）式）式 第25页，此课件共33页哦26四、标量算符和矢量算符四、标量算符和矢量算符2.动量算符动量算符P和角动量算符和角动量算符L：1.1.标量算符：在转动下不变得单分量算符，满足标量算符：在转动下不变得单分量算符，满足 2.2.矢矢量量算算符符：在在3D位位形形空空间间转转动动下下，函函数数空空间间或或Hilbert空空间间中中与

11、与位位置置算算符符有有同同样样变变换换特特性性的的三三分分量量算算符符，满足满足 或或第26页，此课件共33页哦27标标量量和和矢矢量量算算符符按按空空间间反反演演变变换换下下的的性性质质分分别别有有“真真”和和“赝赝”或或“真真”和和“轴轴”之分。之分。矢矢量量算算符符的的任任意意分分量量与与轨轨道道角角动动量量算算符符的的任任意意分分量量的的对对易关系：易关系：第27页，此课件共33页哦28五、自旋空间中的转动变换五、自旋空间中的转动变换 自自旋旋是是一一种种角角动动量量，S与与L一一样样是是轴轴矢矢量量，即即在在空空间间反反演演下下不改不改变变符号；符号；S与与L三个分量的三个分量的对对

12、易关系易关系类类似：似：自旋空间中与空间转动自旋空间中与空间转动 对应的对应的变换算符变换算符 为：为：第28页，此课件共33页哦29在带有自旋粒子的态空间（直积空间）中：在带有自旋粒子的态空间（直积空间）中：空间平移算符为空间平移算符为 ，并只对位形，并只对位形HilbertHilbert空间有作用；空间有作用；空间反演算符为空间反演算符为 ，对自旋算符的作用为，对自旋算符的作用为 空间转动算符为空间转动算符为 第29页，此课件共33页哦3019-6 19-6 空间变换对称性和守恒定律空间变换对称性和守恒定律1 1、系统在空间变换下的对称性、系统在空间变换下的对称性系系统统在在某某一一空空间

13、间对对称称变变换换下下具具有有不不变变性性或或对对称称性性，不不是是指指系系统在变换后状态不变，而是指系统在变换前后运动规律不变。统在变换后状态不变，而是指系统在变换前后运动规律不变。设系统的运动满足设系统的运动满足SchrdingerSchrdinger方程方程施以一个空间变换施以一个空间变换 第30页，此课件共33页哦31如果系统在这一变换下具有不变性或对称性，则要求：如果系统在这一变换下具有不变性或对称性，则要求：即即 在空间变换下，在空间变换下，SchrdingerSchrdinger方程变为：方程变为：第31页，此课件共33页哦32二、守恒量二、守恒量1平移对称性与动量守恒：平移对称性与动量守恒：空空间间平移算符：平移算符：如果如果 有有 如果如果，则所有方向上的动量守恒。，则所有方向上的动量守恒。则此系统具有则此系统具有 方向上的平移对称性，方向上的平移对称性，方向的动量方向的动量分量是守恒量。分量是守恒量。第32页，此课件共33页哦02.10.2022感感谢谢大大家家观观看看第33页，此课件共33页哦