方向导数与梯度精选PPT.ppt

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1、关于方向导数与梯度第1页，讲稿共34张，创作于星期二一、方向导数的定义一、方向导数的定义 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题第2页，讲稿共34张，创作于星期二当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？第3页，讲稿共34张，创作于星期二记为记为方向导数的几何意义方向导数的几何意义第4页，讲稿共34张，创作于星期二过直线过直线 作平行于作平行于 z 轴的平面轴的平面 与曲面与曲面 z=f(x,y)所交的曲线记为所交的曲线记为 C 表示表示C 的割线向量的割线向量 即即即即割线转化为切线割线转化为切线第5页，讲稿共34张，创作于星期二上式极限存在

2、就意味着当点上式极限存在就意味着当点趋于点趋于点 曲线曲线C在点在点 P0 有唯一的切线有唯一的切线它关于它关于 方向的斜率方向的斜率就是方向导数就是方向导数LCM0TP0PMl第6页，讲稿共34张，创作于星期二证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到第7页，讲稿共34张，创作于星期二故有方向导数故有方向导数第8页，讲稿共34张，创作于星期二解解第9页，讲稿共34张，创作于星期二解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故第10页，讲稿共34张，创作于星期二推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义第11页，讲稿共3

3、4张，创作于星期二解解令令故故方向余弦为方向余弦为第12页，讲稿共34张，创作于星期二故故第13页，讲稿共34张，创作于星期二二、梯度的概念二、梯度的概念第14页，讲稿共34张，创作于星期二第15页，讲稿共34张，创作于星期二在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线等高线第16页，讲稿共34张，创作于星期二等高线的画法等高线的画法第17页，讲稿共34张，创作于星期二例如例如,第18页，讲稿共34张，创作于星期二梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：第20页，

4、讲稿共34张，创作于星期二此时此时 f(x,y)沿该法线方向的方向导数为沿该法线方向的方向导数为 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。线方向就是方向导数取得最大值的方向。第21页，讲稿共34张，创作于星期二梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数与取得最大方向导数的方向

5、一致，其模为方向导数的最大值的最大值.第22页，讲稿共34张，创作于星期二第23页，讲稿共34张，创作于星期二解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故第24页，讲稿共34张，创作于星期二例例5 求函数求函数沿曲线沿曲线在点在点处处的内法线方向的方向导数的内法线方向的方向导数解一解一用方向导数计算公式用方向导数计算公式即要求出从即要求出从 x 轴正向沿逆时针轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角转到内法线方向的转角在在两边对两边对x 求导求导第25页，讲稿共34张，创作于星期二解得解得（切线斜率）（切线斜率）故法线斜率为故法线斜率为内法线方向的方向余弦为内法线方向的方向余弦为而由而由得得第26页，

6、讲稿共34张，创作于星期二解二解二用梯度用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯即梯度是函数在这点增长最快的方向度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，从等高线的角度来看，f(x,y)在点在点 P 的梯度的梯度 第27页，讲稿共34张，创作于星期二方向与过点方向与过点P 的等高线的等高线 f(x,y)=C 在这点在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线指向数值较高的等高线等高线为等

7、高线为f(x,y)=C 即即椭圆椭圆大于椭圆大于椭圆因此因此在点在点处的内法线恰好是梯度方向处的内法线恰好是梯度方向第28页，讲稿共34张，创作于星期二故故方向导数存在偏导数存在 可微第29页，讲稿共34张，创作于星期二三、小结三、小结1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系思考题思考题第30页，讲稿共34张，创作于星期二思考题解答思考题解答第31页，讲稿共34张，创作于星期二练练 习习 题题第32页，讲稿共34张，创作于星期二第33页，讲稿共34张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第34页，讲稿共34张，创作于星期二