备战中考数学专题《平行四边形》综合检测试卷含答案.doc

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1、备战中考数学专题平行四边形综合检测试卷含答案一、平行四边形1在四边形中，对角线平分.（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若，探究边、与对角线的数量关系并说明理由.【答案】（1）.证明见解析；（2）成立；（3）.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明DACBEC即可解决问题；（3）结论：AD+ABAC过点C作CE

2、AC交AB的延长线于点E，只要证明ACE是等腰直角三角形，DACBEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，D+B=180，B=90，D=90，DAB=120，AC平分DAB，DAC=BAC=60，B=90，ABAC，同理ADACAC=AD+AB（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，BAC=60，AEC为等边三角形，AC=AE=CE，D+ABC=180，DAB=120，DCB=60，DCA=BCE，D+ABC=180，ABC+EBC=180，D=CBE，CA=CE，DACB

3、EC，AD=BE，AC=AD+AB（3）结论：AD+ABAC理由如下：过点C作CEAC交AB的延长线于点E，D+B=180，DAB=90，DCB=90，ACE=90，DCA=BCE，又AC平分DAB，CAB=45，E=45AC=CE又D+ABC=180，D=CBE，CDACBE，AD=BE，AD+AB=AE在RtACE中，CAB=45，AE.2在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，如图1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操

4、作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a， b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类

5、图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）

6、点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的3如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发以每秒1个单位的速度运动其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过点M作MPOA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，NPC是一个等腰三角形？

7、简要说明理由【答案】（1）P点坐标为（x，3x）（2）S的最大值为，此时x=2（3）x=，或x=，或x=【解析】试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，可通过PMOC得出的对应成比例线段来求；也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=ABPQ来求出PM的长得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标（2）可按（1）中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BCBN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式（3）本题要分类讨论：当CP=CN时，可在直角三

8、角形CPQ中，用CQ的长即x和ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CNCQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值试题解析：（1）过点P作PQBC于点Q，有题意可得：PQAB，CQPCBA，解得：QP=x，PM=3x，由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4x，3），P点坐标为（x，3x）（2）设NPC的面积为S，在NPC中，NC=4x，NC边上的高

9、为，其中，0x4S=（4x）x=（x2+4x）=（x2）2+S的最大值为，此时x=2（3）延长MP交CB于Q，则有PQBC若NP=CP，PQBC，NQ=CQ=x3x=4，x=若CP=CN，则CN=4x，PQ=x，CP=x，4x=x，x=；若CN=NP，则CN=4xPQ=x，NQ=42x，在RtPNQ中，PN2=NQ2+PQ2，（4x）2=（42x）2+（x）2，x=综上所述，x=，或x=，或x=考点：二次函数综合题4在ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF（1）如图1，请直接写

10、出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当ABC=90时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|=2，EF=2，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长【答案】（1）OF =OE；（2）OFEK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明AOECOK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明ABEBCF，AOECOK，继而可证得EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFEK，OF=OE；（3）分点P

11、在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO，OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK，EFK是直角三角形，OF=EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，ABC=AEB=CFB=90，ABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，AB=BC，ABEBCF，BE=CF，AE=BF，AOECOK，AE=CK，OE=OK，FK=EF，EFK是等腰直角三角形，OFEK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PHOF于H，|CFAE|=2，EF=2，

12、AE=CK，FK=2，在RtEFK中，tanFEK=，FEK=30，EKF=60，EK=2FK=4，OF=EK=2，OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在RtPHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2，OP=.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，POF=PFO=30，BOP=90，OP=OE=，综上所述：OP的长为或.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.5如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE6，F为AB上一动点，把BEF沿EF折叠

13、，点B落在点B处，当AFB恰好为直角三角形时，BD的长为？【答案】或【解析】【分析】分两种情况分析：如图1，当ABF=90时，此时A、B、E三点共线，过点B作BMAB，BNAD，由三角形的面积法则可求得BM=2.4，再由勾股定理可求得BN=3.2，在RtCBN中，由勾股定理得，BD=；如图2，当AFB=90时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，过点B作BNAD，则四边形AFBN为矩形，在RtCBN中，由勾股定理得，BD=；【详解】如图1，当ABF=90时，此时A、B、E三点共线，B=90，AE=10，BE=BE=6，AB=4，BF=BF，AF+BF=AB=8，在RtABF中，AB

14、F=90，由勾股定理得，AF2=FB2+AB2，AF=5，BF=3，过点B作BMAB，BNAD，由三角形的面积法则可求得BM=2.4，再由勾股定理可求得BN=3.2，AN=BM=2.4，DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在RtCBN中，由勾股定理得，BD= = ；如图2，当AFB=90时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，过点B作BNAD，则四边形AFBN为矩形，AN=BF=6，BN=AF=2，DN=AD-AN=2，在RtCBN中，由勾股定理得，BD= = ；综上，可得BD的长为或.【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图

15、形并能分类讨论是解题的关键.6已知AD是ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当ABAC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与BPE面积相等的三角形（不包括BPE本身）【答案】（1）见解析；（2）APE、APF、CPF、PGH【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EGAP，EFBC，EF=BC，GHBC，GH=BC，推出EFGH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EFAP，推出EFEG，即可得出

16、结论；（2）由APE与BPE的底AE=BE，又等高，得出SAPE=SBPE，由APE与APF的底EP=FP，又等高，得出SAPE=SAPF，由APF与CPF的底AF=CF，又等高，得出SAPF=SCPF，证得PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，推出SPGH=SAEF=SAPF，即可得出结果【详解】（1）证明：E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，EGAP，EFBC，EFBC，GHBC，GHBC，EFGH，EFGH，四边形EGHF是平行四边形，ABAC，ADBC，EFAP，EGAP，EFEG，平行四边形EGHF是矩形；（2）PE是APB的中线，APE与BPE的底AEBE

17、，又等高，SAPESBPE，AP是AEF的中线，APE与APF的底EPFP，又等高，SAPESAPF，SAPFSBPE，PF是APC的中线，APF与CPF的底AFCF，又等高，SAPFSCPF，SCPFSBPE，EFGHBC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AEF底边EF上的高等于ABC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于PBC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，GHEF，SPGHSAEFSAPF，综上所述，与BPE面积相等的三角形为：APE、APF、CPF、PGH【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理

18、、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键7菱形ABCD中、BAD120，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F（1）如图，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；（2）如图，点O在CA的延长线上，且OAAC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB6，BO2，当CF1时，请直接写出BE的长【答案】（1）CA

19、=CE+CF（2）CF-CE=AC（3）BE的值为3或5或1【解析】【分析】（1）如图中，结论：CA=CE+CF只要证明ADFACE（SAS）即可解决问题；（2）结论：CF-CE=AC如图中，如图作OGAD交CF于G，则OGC是等边三角形只要证明FOGEOC（ASA）即可解决问题；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】（1）如图中，结论：CA=CE+CF理由：四边形ABCD是菱形，BAD=120AB=AD=DC=BC，BAC=DAC=60ABC，ACD都是等边三角形，DAC=EAF=60，DAF=CAE，CA=AD，D=ACE=60，ADFACE（SAS），DF=CE，CE+C

20、F=CF+DF=CD=AC，CA=CE+CF（2）结论：CF-CE=AC理由：如图中，如图作OGAD交CF于G，则OGC是等边三角形GOC=FOE=60，FOG=EOC，OG=OC，OGF=ACE=120，FOGEOC（ASA），CE=FG，OC=OG，CA=CD，OA=DG，CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC=AC，（3）作BHAC于HAB=6，AH=CH=3，BH=3，如图-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时OB=2，OH=1，OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF，OC=4，CF=1，CE=3，BE=6-3=3如图-2中，当点O在线

21、段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时由（2）可知：CE-CF=OC，CE=4+1=5，BE=1如图-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时同法可证：OC=CE+CF，OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，CE=1，BE=6-1=5如图-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时同法可知：CE-CF=OC，CE=2+1=3，BE=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想

22、思考问题，属于中考压轴题8正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE(1)如图1，连EF，若EFAC，4AF3AC，AB4，求AEF的周长；(2)如图2，若AFAB，过点F作FGAC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH若EAH45，求证：ECHG+FC【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，得出ACAB4，求出AF3，CFACAF，求出CEF是等腰直角三角形，得出EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理求出AE，即可得出AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接A

23、G，则CGM和CFG是等腰直角三角形，得出CMCG，CGCF，证出BMDG，证明RtAFGRtADG得出FGDG，BMFG，再证明ABEAFH，得出BEFH，即可得出结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，ACAB4，4AF3AC12，AF3，CFACAF，EFAC，CEF是等腰直角三角形，EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理得：AE，AEF的周长AE+EF+AF；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则CGM和CFG是等腰直角三角形，CMCG，CGCF，BMDG，AFAB，AFAD，在RtAFG和RtA

24、DG中，RtAFGRtADG（HL），FGDG，BMFG，BACEAH45，BAEFAH，FGAC，AFH90，在ABE和AFH中，ABEAFH（ASA），BEFH，BMBE+EM，FGFH+HG，EMHG，ECEM+CM，CMCGCF，ECHG+FC【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键9如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B处AB与CD交于点E（1）求证：AEDCEB；（2）过点E作EFAC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予

25、证明【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=BC，B=D=B，且AED=CEB，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由AEDCEB可得AE=CE，且EFAC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，AEF=CEF即AF=CF，CEF=AFE=AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形ADBC，CDAB，BD平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BCBC，BBDB，ADBC且DEABECADEBEC（2）四边形AECF是菱形ADEBECAECEAECE，EFACEF垂直平分AC，AEFCEFAFCFCDA

26、BCEFEFA且AEFCEFAEFEFAAFAEAFAECECF四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键10在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF（1）说明BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据折叠得出DEF=BEF，根据矩形的性质得出ADBC，求出DEF=BFE，求出BEF=BFE即可；（2）过E作EMBC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，

27、根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在RtEMF中，由勾股定理求出即可【详解】（1）现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，DEF=BEF四边形ABCD是矩形，ADBC，DEF=BFE，BEF=BFE，BE=BF，即BEF是等腰三角形；（2）过E作EMBC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，DE=BE，DO=BO，BDEF四边形ABCD是矩形，BC=8，AD=BC=8，BAD=90在RtABE中，AE2+AB2=BE2，即（8BE）2+62=BE2，解得：BE=DE=BF，AE=8DE=8=BM，FM=在RtEM

28、F中，由勾股定理得：EF=故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键11（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ；（拓展探究）（2）如图（2）在RtABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在RtABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60，得到正方形ABCD，请直接写出BD平方的

29、值【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或168【解析】【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根据RtABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出AMF=MAN=ANF=90，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60，以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论【详解】（1）AB=A

30、D，CB=CD，点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，AC垂直平分BD，故答案为：AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形理由：如图2，连接AF，RtABC中，点F为斜边BC的中点，AF=CF=BF，又等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，AD=DB，AE=CE，由（1）可得，DFAB，EFAC，又BAC=90，AMF=MAN=ANF=90，四边形AMFN是矩形；（3）BD的平方为16+8或168分两种情况：以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60，如图所示：过D作DEAB，交BA的延长线于E，由旋转可得，DAD=60，EAD=30，AB=2=AD，DE=AD=

31、，AE=，BE=2+，RtBDE中，BD2=DE2+BE2=（）2+（2+）2=16+8以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60，如图所示：过B作BFAD于F，旋转可得，DAD=60，BAD=30，AB=2=AD，BF=AB=，AF=，DF=2，RtBDF中，BD2=BF2+DF2=（）2+（2-）2=168综上所述，BD平方的长度为16+8或168【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形12已知：在矩形

32、ABCD中，AB10，BC12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE2（1）如图，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积；（2）如图，当四边形EFGH为菱形，且BFa时，求GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2？请说明理由【答案】（1）10；（2）12a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GMBC于M在正方形EFGH中，HEF90，EHEF，AEHBEF90AEHAHE90，AHEBEF又AB90，AHEBEF同理可证MFGBEFGMBFAE2FCBCBF10（2）过点G作GMBC交BC的延长线于M，连接HFAD

33、BC，AHFMFHEHFG，EHFGFHAHEMFG又AGMF90，EHGF，AHEMFGGMAE2（3）GFC的面积不能等于2说明一：若SGFC2，则12a2，a10此时，在BEF中，在AHE中，AHAD，即点H已经不在边AD上，故不可能有SGFC2说明二：GFC的面积不能等于2点H在AD上，菱形边EH的最大值为，BF的最大值为又函数SGFC12a的值随着a的增大而减小，SGFC的最小值为又，GFC的面积不能等于213正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x（1）如图1，当AD=2OF时

34、，求出x的值；（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90，使点C落在点P处，连接AP，设APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值【答案】（1）x=1；（2）S=（x）2+（0x1），当x=时，S的值最大，最大值为，【解析】试题分析：（1）过O作OMAB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到结果；（2）过P作PGAB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到ECB=PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=

35、（1x）x，根据二次函数的性质即可得到结论试题解析：（1）过O作OMAB交CE于点M，如图1，OA=OC，CM=ME，AE=2OM=2OF，OM=OF，BF=BE=x，OF=OM=，AB=1，OB=，x=1；（2）过P作PGAB交AB的延长线于G，如图2，CEP=EBC=90，ECB=PEG，PE=EC，EGP=CBE=90，在EPG与CEB中，EPGCEB，EB=PG=x，AE=1x，S=（1x）x=x2+x=（x）2+，（0x1），0，当x=时，S的值最大，最大值为，考点：四边形综合题14倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案

36、例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC=B=90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=90-45=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120，EAF=60时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在

37、BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120，则点F、D、E不共线，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），根据旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180，知F、D、E共线，因此有

38、EF=DE+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论试题解析：（1）当BAD=120，EAF=60时，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由如下：在菱形ABCD中，BAD=120，EAF=60，AB=AD，1+2=60，B=ADC=60，把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，EAE=120，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B=60，2+3=60，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，ADE+ADC=120，即点F、D、E不共线，DE+DFEFBE+DFEF；（2）当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF

39、=BE+DF成立理由如下：如图（3），AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），EAE=BAD，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B，B+D=180，ADE+D=180，点F、D、E共线，EAF=BAD，1+2=BAD，2+3=BAD，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，EF=DE+DF=BE+DF；归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF考点：四边形综合题15如图1，在菱形ABCD中，ABC=60，若点E在AB的延长线上，EFAD，EF=BE，点

40、P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G（1）过D作DHAB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；（2）连接CP，求证：CPFP；（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由【答案】（1）1；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据菱形得出DABC，CD=CB，CDG=CBA=60，则DAH=ABC=60，根据DHAB得出DHA=90，根据RtADH的正弦值得出AD的长度，然后得出BE的长度，然后证明PDGPEF，得出DG=EF，根据EFAD，ADBC得出EFBC，则说明BEF为正三角形，从而得出DG的长度；（2）连接CG、CF，根据PDGPEF得出PG=PF，然后证明CDGCBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；（3）过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证PEFPDG，然后证明CDGCBF，从而得出GCE=120，根据RtCPF求出比值试题解析：（1）解：四边形ABCD为菱形 DABC CD=CB CDG=CBA=60 DAH=ABC=60DHAB DH