专题04函数C辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2021).docx

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1、备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2021）专题专题 04 函数函数 C 辑辑历年联赛历年联赛真题真题汇编汇编1【2020 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】对正整数?及实数?th?耸?,定义?t?t?t?,其中?表示不超过实数?的最大整数,?.若整数?满足?t?t?t?,求?t?t?t?的值.【答案】74【解析】对?h?,有?t?t?.所以,?t?t?t?h?t?h?h?t?.同理得?t?t?t?t?.由条件知t?,即t?,故t?.又?,所以?t?,仅当?时,?为 124 的约数,进而有?.进而?t?t?t?t?.2【2019 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】

2、设 a、b、c 均大于 1，满足lg?log?lg?log?，求 lg?lg?的最大值.【答案】?【解析】设 lga=x，lgb=y，lgc=z，由 a，b，1 可知 x，y，z0.由条件及换底公式知?，即?.由此，令 x=3t，y=4t(t0)，则?.其中由 z0 可知 t(0，1).因此，结合三元平均值不等式得lg?lg?t?t?t?.当 t=22t，即?(相应的 a、b、c 分别为?hh?h?h?)时，lg?lg?取到最大值?.3【2018 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】已知定义在 R*上的函数?t?log?h 耸?t?，设 a，b，c是三个互不相同的实数，满足 f(a)=f(b

3、)=f(c)，求 abc 的取值范围.【答案】(81，144)【解析】不妨假设 abc.由于 f(x)在(0，3上严格递减，在3，9上严格递增，在9，+)上严格递减，且 f(3)=0，f(9)=1，故结合图象可知?th?t?t?，并且 f(a)=f(b)=f(c)(0，1).由 f(a)=f(b)得?log?log?，取log?log?，因此 ab=32=9.于是 abc=9c.又 h 耸?t?耸?，故 c(9，16).进而 abc=9c(81，144).所以，abc 的取值范围是(81，144).4【2018 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】已知定义在 R*上的函数 f(x)为?t?l

4、og?h 耸?t?，设 a，b，c 是三个互不相同的实数，满足 f(a)=f(b)=f(c)，求 abc 的取值范围.【答案】(81，144).【解析】不妨设 abc.由于 f(x)在(0，3严格递减，在3，9上严格递增，在9，+)上严格递减，且 f(3)=0，f(9)=1，故结合图象可知?th?t?t?，并且 f(a)=f(b)=f(c)(0，1).由 f(a)=f(b)得?log?log?，即log?log?，因此 ab=32=9.于是 abc=9c.又 h 耸?t?耸?，故 c(9，16).进而 abc=9c(81，144).所以，abc 的取值范围是(81，144).5【2016 高中

5、数学联赛（第 01 试）】已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)=1，且对任意 x0，故 ax2可取到任意大的正值，因此必有 1b0，即 00 可知 a=1，此时 g(x)=2bx2+(2bb2)，其中 b0，故 g(x)可取到负值，矛盾)，于是?t?t?t?h 对一切实数 x 成立，从而必有?t h，即 h 耸?耸?.进一步，考虑到此时?t h，再根据?t?t?h 可得?，至此，求得 a，b 满足的必要条件如下 h 耸?h 耸?耸?下面证明，对满足式的任意实数对(a，b)以及任意实数 x，y，总有式成立，即?t?t?，对任意 x，y 取非负值.事实上，在式成立时，有?t?h，?t h，?

6、t?h，再结合?可得?t?t?t?t?h.综上所述，所求的正实数对(a，b)全体为tt?h 耸?h 耸?耸?.7【2011 高中数学联赛（第 01 试）】设函数?t?llgt?，实数 a，b(ab)满足?t?，?t?h?lg?，求 a，b 的值.【答案】?【解析】因为?t?，所以 llgt?lg?，lg?lgt?.所以?或t?t?，又因为 ab，所以?，所以t?t?.又由?t?lgt?有意义知 h 耸?，从而 h 耸?耸?耸?，于是 h 耸?耸?耸?.所以t?h?ht?t?t?h?t?.从而?t?h?lg t?h?lg t?h?.又?t?h?lg?，所以 lg t?h?lg?，故 t?h?，解

7、得?或 b=1(舍去).把?代入t?t?，解得?.所以?.8【2010 高中数学联赛（第 01 试）】已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，当 0 x1 时，?，试求 a 的最大值.【答案】?【解析】解法一由题意知?t?，由?th?t?得?th?t?，所以?th?t?th?t?，所以?，又易知?t?(m 为常数)满足题设条件，所以 a 的最大值为?.解法二由题意知?t?，设?t?t?，则当 h?时 h?t?，设?，则?t?，?t?，容易知道当?时 h?t?h?t?，从而，当?时，h?t?t?，即 h?，从而?h，?，由 h?知?，又易知?t?(m 为常数)满足题设条件，所以 a

8、 的最大值为?.9【2006 高中数学联赛（第 01 试）】设 f(x)=x2+a.记?t?t?，?t?t?，?对所有的正整数对所有的正整数?h?.证明：?.【答案】证明见解析【解析】证明(1)如果?耸?，则?th?t?t?.(2)如果?，由题意?th?，?th?th?t?，那么有：(i)当 h?时，?th?t?，事实上，当 n=1 时，?th?，设 n=k1 时成立(k2 为某整数)，则对 n=k，有?th?th?.(ii)当?耸 h 时，?th?t?，事实上，当 n=1 时?th?，设 n=k1 时成立(k2 为某整数)，则对 n=k，有?th?th?，注意到当2a1)，使得存在 tR，只

9、要 x1，m，就有 f(x+t)x.【答案】9【解析】因为?t?t?，所以函数的图像关于 x=1 对称，所以?，?，由条件(3)，当 x=1 时，y=0，即?h，由条件(1)得?t?，由条件(2)得?t?，所以?t?，即?，又?h，所以?，所以?t?，假设存在 tR，只要 x1，m，就有?t?，取 x=1 有?t?，即?t?t?，解得?h，对固定的 t4，0，取 x=m，有?t?，即?t?t?，化简有?t?h，解得?，于是有?t?t t?，当 t=4 时，对任意的 x1，9，恒有?t?h?t?t?h，所以 m 的最大值为 9.12【2000 高中数学联赛（第 01 试）】若函数?t?在区间a，

10、b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求a，b.【答案】答案见解析【解析】由已知，可分 3 种情况讨论：(1)当 0ab 时，有 f(x)在a，b上单调递减，故?t?t?，所以?有解为?.(2)当 a0b 时，有 f(x)在a，0上单调递增，在0，b上单调递减，所以 f(x)在 x=0 处可取到最大值 2b，在 x=a或 x=b 处取最小值 2a，所以?，?.又因为 a0 且?t?t h，所以 f(x)在点 a 取最小值 2a，有?，?，所以?.(3)当 ab0 时，f(x)在a，b上单调递增，故?t?t?，有?，但方程?h 的根不是同号的，故在本区间没有满足条件的值.所以所求区间为1，3，?

11、.13【1998 高中数学联赛（第 01 试）】设函数 f(x)=ax2+8x+3(a0)，对于给定的负数 a，有一个最大的正数?t?，使得在整个区间 h?上，不等式|f(x)|5 都成立.问：a 为何值时，?t?最大?求出这个最大的?t?，证明你的结论.【答案】答案见解析【解析】由?t?，所以 max?t?.分两种情况讨论：(i)?t?，即8a0 时，?t?t?由于 0t1，故函数单调递减，所以 y1+2+3=6当 u0，则?th?t?耸 h；若 c0，则?t?t?耸 h.故 f(x)在区间(0,1)上必有零点.8记?表示不超过实数?的最大整数证明：（1）方程?的解为整数；（2）方程?有非整

12、数解【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）用反证法若方程有非整数解?，记?，t?则?，?th?于是，原方程化为?t?h则?h解得?故?h 或 1当?时，有?，矛盾；当?h 时，有?h 或 1，亦矛盾因此，方程没有非整数解而对于任意的?，方程均成立，故该方程的解为整数（2）设?t?则?t?t?，?th?，?t?耸 h因此，函数?t?的零点唯一，记为?h利用?t?在t?单调递增，可证：?耸 耸?h耸 耸注意到，?t?耸 h，?t?t h于是，?h?t从而，?h?t，?h?t?故?h?h?h?h?，即?h（非整数）为方程的解9设?t?是?h?上的不减函数，且满足：（1）?th?h；（2）?

13、t?t?；（3）?t?t?，求?t?h?h的值【答案】?【解析】由（3）有?t?th?，?t?t?，?t?t?故?t?t?h?h?h?h?h?h注意到?h?h?h?h?则?t?h?h?t?h?h?t?h?h?t?h?h?t?t?h?h?t?t?h?h?t?10设函数?，常数?，且对任意?h，?恒成立.求实数 a 的取值范围.【答案】当 h?时，a 的取值范围是 h?；当?h 时，a 的取值范围是 h?h?【解析】?，当?时，a取任意实数，不等式恒成立.考虑?h 时，将原不等式等价变形为?，即?对?h，有?max，且?min.对式，?，?在?h 上为增函数，?max?h?h?对式，当 h?时，?

14、h，?，当且仅当?时，?min?.由式、，要使 a 存在，必须h?h?即 h?此时，有 h?当?h 时，?在?h 上是减函数，?min?h?h?当?h 时，h?h?综上所述，当 h?时，a 的取值范围是 h?；当?h 时，a 的取值范围是 h?h?11是否存在?上的周期函数?t?、?t?，使得对任何?，有?t?t?？【答案】见解析【解析】存在.将实数集划分为若干个类，两个数?、?属于同一个类，当且仅当存在?、?t，使?.在每一个类中取定一个元素，这些元素构成一个集合?.对任何?，设?h?，?h?，?、?t，则?、?是唯一的.实际上，若存在?、?、?、?t使?h?，则t?.若?，矛盾.所以，?.

15、进而，?.于是令?t?h?，?t?h?.则?t?、?t?是?上的函数，且?t?t?t?h?t?h?.下面证明：?t?、?t?是周期函数.设?h?t?h?.则?h?t?，?h?t?.由定义知?t?h?t?，?t?h?t?.所以，?t?、?t?都是周期函数.12 试求出所有满足下述条件的函数?t?：（1）?t?是定义在?上的单调函数；（2）对任意实数x、y都有?t?t?t?；（3）?t?th 耸?【答案】?t?【解析】引理设 A、B 为常数如果对于任意的?，都有?，则?引理的证明：假定?，则据题意知?令?t?取?则?t?，与题设矛盾所以，?下面解答原题根据题意，当 n 为整数时，归纳易得到?t?t

16、?t?由?t?th?t?h?t?及?t?不恒为零知?th?，且?t?t?t?t?t h当?t?时，因为?t?t?th，所以，?t?在?上是增函数对任一?，设?t?则?t?t?t?由?t?t?t?，?t?，得?t?取对数得?log?t?故log?t?以?t?代 x 得log?t?log?t?，即log?t?由引理得log?t?，即?t?当 h 耸?耸?时，同理可证?t?故所有满足条件的函数为?t?13试求出所有的函数?：?，使得对于任何的?、?.都有?t?t?t?t?.【答案】?t?t?【解析】在式中取?h 得?t?t?t?.在式中取?,得?t?t?t?t?.4得?t?t?.经检验，知?t?t?

17、满足式.注，本题还可分别取?及?，也能求出?t?（先求出?th及?t?的值）.14已知lim?h?t?th?，?t?t?对任意实数?成立求?t?的解析式【答案】?t?【解析】当?h 时，?t?t?t?将这?个等式相加得?t?t?t?令?，知?t?th?上式右边?故?t?t?h又?th?也满足条件，因此，?t?15求?t?h?h?的最小值.【答案】?【解析】显然，当?耸?或?t?h?时，?t?无最小值.以下设?h?.当?t?h?h 时，?t?t?h?t?t?h?hh?h?h?h?t?t?是一次函数，其最小值在区间?的端点取到.故数列t?t?t?h?h 的最小项为所求.注意到，?t?t?t?h?h

18、h t h?.故?t?min?t?t?h?hh?h?h?h?.故答案为：?16 已知?t?是定义在实数集?上的函数，?th?，对任意?，有?t?t?，?t?t?，求?t?h?的值.【答案】2【解析】在式中取?t?，得?t?t?.在式中取?t?，得?t?t?，于是，?t?t?，即?t?是一个周期为 2 的函数，故?t?h?t?hh?h?th?.17定义在?h?上的函数?t?满足：?th?t?，且对任意?、?h?t?，有?t?t?耸?.求最小的实数?，使得对任意?、?h?，都有?t?t?耸?.【答案】?【解析】（1）证明：对一切的?、?h?，有?t?t?耸?.若?，则?t?t?耸?；若?t?，不妨

19、设 h?耸?.则?t?t?t?th?t?t?t?th?t?t?耸?耸?.（2）对于函数?t?t?h?t?耸?th 耸?耸?.若 h?耸?或?耸?耸?，则?t?t?耸?.若 h?耸?耸?，则?t?t?.当?时，?耸?；当?耸?时，?耸?.故?t?t?耸?.综上，?t?满足要求，且?t?th?耸?th 耸?耸?.因此，?.由（1）、（2）知?.18已知函数?t?与与?t?，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为 6,求实数 a 的值.【答案】?【解析】设函数 f(x)与 g(x)的一条公切线分别过切点t?t?t?t?.则公切线方程为?t?t?t?t?t?t?.故?t?t?，且?t?

20、t?t?t?.注意到，?t?t?.两于是，?、?是方程?h 的两实根.由 f(x)与 g(x)有两条公切线，知 f(x)与 g(x)不相交.因此，?.由?t h?耸?.设四个切点坐标为?t?t?t?t?t?t?t?t?.则?t?t?t?t?t?t?t?t?，?t?t?.同理，?t?t?.故四边形 MNPQ 为平行四边形，且?t?t?.解得?即为所求.19当?h 时，求函数?t?t?的最小值?t?的表达式.【答案】?t?t?h?耸?耸?耸 h?【解析】注意到，?t?t?.（1）?t?.（i）当?时，?t?在?上递减，在?上递增，于是，?t?min?.（ii）当 h?时，?t?在?h?上递增，于是

21、，?t?min?.而?t?，故当?耸?时，?t?；当?t 时，?t?.（2）h?.（i）当?时，?t?在?上递增，于是，?t?min?.（ii）当 h?时，?t?在?h?上递增，于是，?t?min?.而?t?耸 h，故?t?.（3）?耸?耸 h.（i）当?时，?t?在?上递增，于是，?t?min?.（ii）当 h?时，?t?在?h?上递增，于是，?t?min?.而?t?h，故?t?.（4）?.（i）当?时，?t?在?上递增，于是，?t?min?.（ii）当 h?时，?t?在?h?上递增，于是，?t?min?.故?t?.综上，?t?t?h?耸?耸?耸 h?20已知函数?t?，其中，a 为正常数。若恰有两组解(m,n)，使得 f(x)在定义域m,n上的值域也为m,n，求 a 的取值范围。【答案】耸?耸?【解析】因为?t?h，所以，?t?h.1 易得?与与?t?的交点横坐标为?.显然，区间?h?满足要求.2 因为 f(0)=a，若m,n=0,a，所以，由?.由题意只需?耸?.但当 a=2 时，时，?，只有一组解，故?.3 若 m0，则?耸?.故?t?在区间m,n上为減函数.由题意得t?两式相减得?.于是，?，即，即?t?在区间th?上有两个不相等的实根.从而，t?th?t h?t?t h?t?t h?解得耸?耸?.综上，a 的取值范围是耸?耸?.