最最完整版--三角函数公式大全.pdf

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1、三角函数与反三角函数第一部分三角函数公式 两角和与差的三角函数cos( +)=cos cos -sinsin cos( - )=cos cos +sin sin sin( )=sin cos cos sin tan(+ )=(tan +tan )/(1-tantan ) tan( - )=(tan-tan )/(1+tan tan ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 半角公式： sin( /2)= (1-cos )/2) cos( /2)= (1+cos )/2) tan( /2)= (1-

2、cos )/(1+cos )=sin/(1+cos )=(1-cos )/sin cot( /2)= (1+cos )/(1-cos )=(1+cos)/sin=sin /(1-cos) sec( /2)= (2sec /(sec +1) csc(/2)= (2sec /(sec -1) ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 辅助角公式：Asin +Bcos=(A2+B2)sin(+ ）（ tan =B/A ）Asin +Bcos=(A2+B2)cos(- ）（ tan =A/B ）万能公式 sin(a)= (2tan(a

3、/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 降幂公式sin2 =(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2 cos2 =(1+cos(2 )/2=covers(2 )/2 tan2 =(1-cos(2 )/(1+cos(2 ) 三角和的三角函数： sin( + +)=sin cos cos +cos sin cos +cos cos sin -sin sin sin cos( + +)=cos cos cos -cos sin sin -sincos sin -si

4、n sin cos tan( + +)=(tan+tan +tan -tan tan tan )/(1-tan tan -tantan -tan tan ) 和差化积公式：sin +sin =2sin(+ )/2cos( - )/2 sin -sin=2cos( + )/2sin(- )/2 cos +cos =2cos(+ )/2cos( - )/2 cos-cos =-2sin(+ )/2sin( - )/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+c

5、tgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差公式：sin cos =(1/2)sin( + )+sin(- ) cos sin =(1/2)sin(+ )-sin( - ) cos cos =(1/2)cos( +)+cos(- ) sin sin =-(1/2)cos(+)-cos( - ) 倍角公式：sin(2)=2sin cos =2/(tan+cot ) cos(2 )=(cos)2-(sin)2=2(cos )2-1=1-2(sin )2 tan(2 )=2tan/(1-tan2 ) cot(2 )=(cot2 -1)/(2cot) sec(2 )=sec2 /(1-tan2

6、) csc(2)=1/2*sec csc 三倍角公式：sin(3 ) = 3sin -4sin3 = 4sin sin(60+ )sin(60- ) cos(3 ) = 4cos3 -3cos = 4cos cos(60 + )cos(60- ) tan(3 ) = (3tan-tan3 )/(1-3tan2 ) = tantan( /3+ )tan(/3- ) cot(3 )=(cot3 -3cot )/(3cot2 -1) n 倍角公式：sin(n)=ncos(n-1) sin -C(n,3)cos(n-3) sin3 +C(n,5)cos(n-5) sin5 - cos(n )=cosn

7、 -C(n,2)cos(n-2) sin2 +C(n,4)cos(n-4)sin4 - 三角和的三角函数：sin( + + )=sin cos cos +cos sin cos +cos cos sin -sin sin sin cos( + + )=cos cos cos -cos sin sin -sincos sin -sin sin cos tan( + + )=(tan +tan +tan -tan tan tan )/(1-tan tan -tantan -tan tan ) 其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-c

8、os(a/2) csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot21+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 。诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2-a) = cosa cos(2-a) = sina sin(2+a) = cosa cos(2+a) = -sina sin(-

9、a) = sina cos(-a) = -cosa sin( +a) = -sina cos(+a) = -cosa tgA=tanA =aacossin其他非重点三角函数csc(a) =asin1 sec(a) =acos1双曲函数sinh(a)=2e-e-aacosh(a)=2ee-aatg h(a)=)cosh()sinh(aa公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k）= sin cos （2k）= cos tan （2k）= tan cot （2k）= cot 公式二：设为任意角， +的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin （）= -sin cos

10、（ ）= -cos tan（）= tan cot（）= cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin （- ）= -sin cos（- ）= cos tan（- ）= -tan cot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与 的三角函数值之间的关系：sin （- ）= sin cos（- ） = -cos tan（- ）= -tan cot（- ）= -cot公式五：利用公式 - 和公式三可以得到2- 与的三角函数值之间的关系：sin （2- ）= -sin cos（2- ）= cos tan（2- ）= -tan cot（2- ）= -cot公式六：2及2

11、3与的三角函数值之间的关系：sin （2+）= cos cos（2+）= -sin tan（2+）= -cot cot（2+）= -tan sin （2- ）= cos cos（2- ）= sin tan（2- ）= cot cot（2- ）= tan sin （23+）= -cos cos（23+）= sin tan（23+）= -cotcot （23+）= -tan sin（23- ）= -cos cos（23- ）= -sintan （23- ）= cot cot（23- ）= tan ( 以上 kZ) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来, 希望对大家有用A?sin( t+ )+ B

12、 ?sin( t+ ) =)cos(222ABBAsin)cos(2)Bsininarcsin(Ast22ABBA同角关系sec2 =1/cos2 =tan2 +1csc2 =1/sin2 =cot2 +1tan cot =1sin csc =1cos sec =1三角形中的一些结论：( 不要求记忆 ) (1)tanA+tanB+tanC=tanAtanB tanC (2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sin

13、AsinB sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1三角形中三角函数基本定理【正弦定理】式中 R为ABC的外接圆半径【余弦定理】【勾股定理】在直角三角形 (C 为直角 ) 中，勾方加股方等于弦方(图 1.4) ，即勾股定理也称商高定理，外国书刊中称毕达哥拉斯定理. 【正切定理】或【半角与边长的关系公式】式中，r 为ABC的内切圆半径，且式中 S为ABC的面积 . 三角函数的图形各三角函数值在各象限的符号sin csc cos sec tan cot 三角函数的性质函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R xxR 且x

14、k+2,kZxxR 且x k ,kZ值域-1， 1 x=2k+2时ymax=1 x=2k -2时 ymin=-1 -1,1x=2k 时ymax=1 x=2k + 时ymin=-1 R 无最大值无最小值R 无最大值无最小值周期性周期为 2周期为 2周期为 周期为 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2k -2,2k +2上都是增函数；在2k+2,2k +32 上都是减函数 (kZ) 在2k - ，2k 上都是增函数；在 2k ，2k + 上都是减函数 (kZ) 在(k -2，k+2)内都是增函数 (kZ) 在(k ，k+)内都是减函数(kZ) 反三角函数图像与反三角函数特征反正弦曲线反余弦曲线

15、拐点( 同曲线对称中心 ) ：，该点切线斜率为1 拐点反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点( 同曲线对称中心 )：，该点切线斜率为1 拐点( 同曲线对称中心 )：， 该点切线斜率为 1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点( 同曲线对称中心 )：，该点切线斜率为 1 拐点：，该点切线斜率为1 渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x -2,2的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x 0, )的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy y=tanx(x (-2, 2

16、)的反函数，叫做反正切函数，记作 x=arctany y=cotx(x (0, )的反函数， 叫做反余切函数，记作x=arccoty 理解arcsinx 表示属于-2,2且正弦值等于 x的角arccosx 表示属于 0， ，且余弦值等于x 的角arctanx 表示属于(-2,2)，且正切值等于 x 的角arccotx 表示属于(0， ) 且余切值等于 x 的角性质定义域-1，1-1，1(- ，+)(- ，+)值域-2，20， (-2，2) (0，)单调性在-1，1上是增函数在-1，1上是减函数在(- ， +) 上是增数在(- ，+) 上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinx ar

17、ccos(-x)= -arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(- x)= -arccotx 周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1，1)arcsin(sinx)=x(x-2,2) cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(cosx)=x(x0, ) tan(arctanx)=x(xR)arctan(tanx)=x（x(-2,2)）cot(arccotx)=x(xR) arccot(cotx)=x(x(0, )互余恒等式arcsinx+arccosx=2(x-1,1) arctanx+arccotx=2(XR) arc sin x + arc sin y = arc sin x arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) =