高等数学数列的极限课件.ppt

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1、关于高等数学数列的极限第1页，此课件共65页哦一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、三、数列极限的性质数列极限的性质第2页，此课件共65页哦“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入第3页，此课件共65页哦正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积第4页，此课件共65页哦2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”第5页，此课

2、件共65页哦二、数列的定义二、数列的定义称为一个数列,记为 xn.1.定义 数列中的每一个数称为数列的一项 xn=f f(n)称为数列的通项或一般项称为数列的通项或一般项 数列也称为序列第6页，此课件共65页哦介绍几个数列介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例例1第7页，此课件共65页哦xnx2x1x0 x3 第8页，此课件共65页哦011x所有的奇数项所有的奇数项所有的偶数项所有的偶数项第9页，此课件共65页哦x1M3x1xx4x2 0所有奇数项所有奇数项第10页，此课件共65页哦1xnx3x2x1x0 第11页，此课件共65页哦注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一

3、个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数第12页，此课件共65页哦001二、数列的极限第13页，此课件共65页哦播放播放第14页，此课件共65页哦问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:第15页，此课件共65页哦第16页，此课件共65页哦预先任意给定一个正数预先任意给定一个正数 0,不论它的值多么小不论它的值多么小,当

4、当 n 无限增大时无限增大时,数列数列 xn 总会从某一项开始总会从某一项开始,以后的所有项以后的所有项都落在都落在 U(1,)中中.（在（在 U(1,)外面只有外面只有有限项）有限项）第17页，此课件共65页哦其中,是描述点 xn 与点 0 无限接近的度量标准,它是预先任意给定的,与xn的极限存在与否无关.不存在.1n)1(N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0,N=N().不等式称为目标不等式.第19页，此课件共65页哦一般地一般地,如果数列如果数列xn 当当 n 时时,列列xn 当当 n 时以时以 a 为极限为极限,记为记为xn 可以无限地趋近某个常数可以无限地趋近某个常数 a,则

5、称数则称数此时此时,也称数列也称数列是收敛的是收敛的.第20页，此课件共65页哦若若 xn 当当 n 时没有极限时没有极限,则称则称 xn 发散发散.若若时时,使当使当 记为记为或或此时此时,也称数列也称数列 xn 是收敛的是收敛的.极限描述的是变量的变化趋势极限描述的是变量的变化趋势 数列的项不一定取到它数列的项不一定取到它数列的项不一定取到它数列的项不一定取到它的极限值的极限值的极限值的极限值.数列极限的定义：数列极限的定义：第21页，此课件共65页哦注意：注意：第22页，此课件共65页哦几何解释几何解释:其中其中因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关，改变数列的前有限项，不改变其

6、收敛性和极限第23页，此课件共65页哦数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.证证所以所以,注意：注意：例例2第24页，此课件共65页哦证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3第25页，此课件共65页哦证证作为公式用作为公式用例例4第26页，此课件共65页哦(P36-6)证证例例5第27页，此课件共65页哦1.-N语言证明语言证明(关键关键:技巧是适当地放大不等式技巧是适当地放大不等式)说明说明:

7、-N语言的应用有以下两个方面语言的应用有以下两个方面:练习练习P36-3及作业的及作业的填空题（练填空题（练的选的选取）取）第28页，此课件共65页哦2.2.用用“-N”-N”语言语言,由一个已知极限存由一个已知极限存在的数列在的数列,证明另一个数列的极限证明另一个数列的极限.方法方法:对已知极限存在的数列应用对已知极限存在的数列应用“-N”-N”语言语言,再从中再从中变形变形成所要证明的数列极限的成所要证明的数列极限的“-N”-N”语语言形式言形式.(.(如例如例4)4)练习练习P36-5P36-5，6 6，7 7，8 8第29页，此课件共65页哦三、数列极限的性质三、数列极限的性质1.有界

8、性有界性例如例如,有界有界无界无界第30页，此课件共65页哦定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,但但不是充分条件不是充分条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,(1)n.第31页，此课件共65页哦2.唯一性唯一性定理定理2 2想想,如何证明它？若数列若数列 xn 收敛收敛,则其极限值必唯一则其极限值必唯一.第32页，此课件共65页哦设数列设数列 xn 收敛收敛,但其极限不唯一但其极限不唯一,不妨设有：不妨设有：证证运用运用反证法反证法反

9、证法反证法任任意意性性常常数数由由 的任意性的任意性,上式矛盾上式矛盾,故故 a=b.第33页，此课件共65页哦 3.唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以 a 为极限.充分必要条件何何谓谓子子数数列列？第34页，此课件共65页哦 子数列的概念 在数列 xn:x1,x2,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为 唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在不存在第35页，此课件共65页哦例例6解解取子数列：取子数列：第36页，此课件共65页哦例例7解解利用函数的周期性利用函

10、数的周期性,在在 xn 中取两个子数列中取两个子数列:第37页，此课件共65页哦四四.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性有界性、唯一性.重点重点：-N语言应用语言应用第38页，此课件共65页哦思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立第39页，此课件共65页哦思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值第40页，此课件共65页哦从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为第41页，此课件共65页哦n由均值不等式 或用后面讲的夹逼准则证明 第42页，此课件共65页哦练练 习习 题题第43页，此课件共65页哦感感谢谢大大家家观观看看第65页，此课件共65页哦