数理统计参数估计.ppt

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1、数理统计参数估计现在学习的是第1页，共95页 数理统计的一类基本问题就是依据样本提供的信息，对总体的分布或数理统计的一类基本问题就是依据样本提供的信息，对总体的分布或总体分布的数字特征作出统计推断。统计推断涉及两类基本问题，一是总体分布的数字特征作出统计推断。统计推断涉及两类基本问题，一是估计问题，二是假设检验问题，本章介绍估计问题中参数估计的理论与估计问题，二是假设检验问题，本章介绍估计问题中参数估计的理论与方法。方法。设总体的分布函数为设总体的分布函数为 ，为未知参数，为未知参数，为为总体的样本，总体的样本，为样本的一次实现。参数估计就是不论总体为样本的一次实现。参数估计就是不论总体 的分

2、布函数的分布函数 已知还是未知，由样本对总体参数已知还是未知，由样本对总体参数 或总体的某些或总体的某些数字特征作出估计的方法和过程。参数估计依据做结论的方式不同分为数字特征作出估计的方法和过程。参数估计依据做结论的方式不同分为点估计和区间估计。点估计和区间估计。参数估计的基本理论可归纳为三个问题：参数估计的基本理论可归纳为三个问题：一是如何由样本为总体参数制定估计量，即估计量的制定；二是一是如何由样本为总体参数制定估计量，即估计量的制定；二是判定制定的估计量是否良好，即估计量优良性判定；判定制定的估计量是否良好，即估计量优良性判定；三是研究三是研究估计方法，寻找出估计的误差限和可靠性。估计方

3、法，寻找出估计的误差限和可靠性。现在学习的是第2页，共95页6.1 6.1 点估计点估计（Point EstimationPoint Estimation）样本样本 出发对总体参数出发对总体参数 或总或总体体 的某些数字特征作出估计，首先要将样本中有关总体的信息的某些数字特征作出估计，首先要将样本中有关总体的信息加工提取出来，建立用于估计的统计量，把用于估计加工提取出来，建立用于估计的统计量，把用于估计总体参数总体参数 的统计量的统计量 称为称为 的估计量，简的估计量，简记为记为 ，制定合适的统计量后，制定合适的统计量后,若得到样本的一个实现若得到样本的一个实现 ，则可用，则可用 的实现的实现

4、 作为总体参数作为总体参数 的估计值。由于这种估计只获得的估计值。由于这种估计只获得 的一个近似值，称之为点估计或的一个近似值，称之为点估计或定值估计。因此点估计的关键是为总体参数定值估计。因此点估计的关键是为总体参数 制定一个合适的估制定一个合适的估计量计量 。制定估计量的方法很多，仅介绍矩估计法和极大似然估计法制定估计量的方法很多，仅介绍矩估计法和极大似然估计法。现在学习的是第3页，共95页一、矩估计法（一、矩估计法（MEME）1.1.矩估计法的思想矩估计法的思想 由样本矩或样本矩的连续函数作为相应总由样本矩或样本矩的连续函数作为相应总体矩或总体矩的连续函数的估计量。体矩或总体矩的连续函数

5、的估计量。矩估计的思想得益于独立同分布矩估计的思想得益于独立同分布R.V.R.V.序列的大数定律。设总体序列的大数定律。设总体 的的 阶矩阶矩 存在，存在，是抽自总体的是抽自总体的 ，则由，则由大数定律知大数定律知现在学习的是第4页，共95页 Def 以样本矩作为相应总体矩的估计量，以样本矩的连续以样本矩作为相应总体矩的估计量，以样本矩的连续函数作为相应总体矩的连续函数的估计量。这种估计量称为矩函数作为相应总体矩的连续函数的估计量。这种估计量称为矩估计量，也称矩估计，矩估计量的样本实现称为矩估计值估计量，也称矩估计，矩估计量的样本实现称为矩估计值 2.2.矩估计的一般步骤矩估计的一般步骤 （1

6、 1）建立待估参数与总体矩的关系式；）建立待估参数与总体矩的关系式；（2 2）用矩估计法建立矩估计方程，解矩估计方程；）用矩估计法建立矩估计方程，解矩估计方程；（3 3）写出参数的矩估计量及矩估计值。）写出参数的矩估计量及矩估计值。例例6.16.1 设设 是抽自正态总体是抽自正态总体 的的 ，求参数，求参数 的矩估计量。的矩估计量。解：解：总体总体 ，则，则现在学习的是第5页，共95页所以所以 的矩估计量为的矩估计量为 不论总体服从什么分布，只要不论总体服从什么分布，只要 存在，存在，则它们的矩估计量分别为则它们的矩估计量分别为 现在学习的是第6页，共95页 例例6.2 设总体设总体 的密度函

7、数为的密度函数为求求 的矩估计量。的矩估计量。解：解：因为因为所以所以 ,故故 的矩估计量为的矩估计量为现在学习的是第7页，共95页 例例6.3 设总体设总体X在在a,b上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中a,b未知，未知，是来自是来自X的样本的样本,试求试求a,b的矩估计量。的矩估计量。解：解：由题设条件由题设条件现在学习的是第8页，共95页于是于是a,b的矩估计量为的矩估计量为 例例6.46.4 总体总体 ，则，则 的矩估计量的矩估计量为为 ，。矩估计的优点：矩估计的优点：简单易行，不需事先知道总体的分布。简单易行，不需事先知道总体的分布。矩估计的缺点矩估计的缺点：若总体分布已知，没有

8、充分利用信息，浪费许：若总体分布已知，没有充分利用信息，浪费许多信息；一般场合下，矩估计量不具有唯一性。其主要原因是建多信息；一般场合下，矩估计量不具有唯一性。其主要原因是建立矩估计方程时，选用哪些总体矩用相应的样本矩去估计具有一立矩估计方程时，选用哪些总体矩用相应的样本矩去估计具有一定的随机性。定的随机性。现在学习的是第9页，共95页二、极大似然估计法（二、极大似然估计法（MLEMLE）极大似然估计法的思想来源于极大似然原理。极大似然估计法的思想来源于极大似然原理。什么是极大似然原理呢？通过例子给出：某同学和一位猎人一起外什么是极大似然原理呢？通过例子给出：某同学和一位猎人一起外出打猎，只听

9、一声枪响，野兔应声倒下。要你推测，你觉得是谁打中的出打猎，只听一声枪响，野兔应声倒下。要你推测，你觉得是谁打中的？我们会想，？我们会想，只用了一发子弹便只用了一发子弹便 打中，猎人命中的概率一般大于该同学打中，猎人命中的概率一般大于该同学命中的概率，看来这一枪应该是猎人打中的。命中的概率，看来这一枪应该是猎人打中的。极大似然原理：极大似然原理：如果一个随机试验如果一个随机试验 的所有可能结果的所有可能结果为为 ，在一次试验中，结果，在一次试验中，结果 出现，则出现，则 随机试随机试验验 的条件对的条件对 结果结果 出现更为有利，即认为出现更为有利，即认为 出现的概率最大。出现的概率最大。现在学

10、习的是第10页，共95页 MLEMLE的基本思想：的基本思想：选取选取 作为作为 的估计值，使当的估计值，使当 时，样本实现时，样本实现出现可能性最大，这种估计值称为极大似然估计值，相应的估计量称为出现可能性最大，这种估计值称为极大似然估计值，相应的估计量称为极大似然估计量。极大似然估计量。MLE要求总体的分布已知，其应用范围相对矩估计窄要求总体的分布已知，其应用范围相对矩估计窄。下面分别介绍离散型总体和连续型总体参数的极大似然估计法的概下面分别介绍离散型总体和连续型总体参数的极大似然估计法的概念和步骤。念和步骤。1.1.离散型的似然函数：离散型的似然函数：若总体若总体 的概率函数的概率函数

11、形式已知，形式已知，为待估参数，为待估参数，是是 的的取值范围，取值范围，为来自总体的为来自总体的 ，为样本的一个实现，则样本的联合概率函数为为样本的一个实现，则样本的联合概率函数为现在学习的是第11页，共95页 为样本取到样本实现为样本取到样本实现 的概的概率其为率其为 的函数，称函数的函数，称函数 为样本似然函数。为样本似然函数。2.2.连续型的似然函数：连续型的似然函数：若总体若总体 的密度函数为的密度函数为 ，形式已知，形式已知，为待估参数，为待估参数，是是 的取值范围的取值范围,为来自为来自总体总体 的样本，的样本，为样本的一个实现，则样本为样本的一个实现，则样本的联合概率密度函数为

12、的联合概率密度函数为现在学习的是第12页，共95页 为样本取到样本实现为样本取到样本实现 的概率的概率其为其为 的函数，称函数的函数，称函数 为样本似然函数。为样本似然函数。3.极大似然估计法：极大似然估计法：对样本的一个实现对样本的一个实现 在在 的取值范围内选一个的取值范围内选一个 ，使似然函数在，使似然函数在 点处达到最点处达到最大值，即大值，即 满足满足 现在学习的是第13页，共95页这样的这样的 与样本实现与样本实现 有关，记为有关，记为 称为参数称为参数 的极大似然估计值，相应的的极大似然估计值，相应的统计量统计量 为为 的极大似然估计量。的极大似然估计量。极大似然估计法求解的一般

13、步骤：极大似然估计法求解的一般步骤：（1 1）求似然函数）求似然函数 ；（2 2）对似然函数取对数，求导确定其最大值点）对似然函数取对数，求导确定其最大值点 ；（3 3）写出）写出 的极大似然估计值和极大似然估计量。的极大似然估计值和极大似然估计量。现在学习的是第14页，共95页 例例6.56.5 总体总体 ，为来自总体为来自总体的的 ，为样本的一个实现，求为样本的一个实现，求 的极大似然估的极大似然估计量。计量。解：解：因为因为 ，所以有，所以有从而似然函数为从而似然函数为对其取对数有对其取对数有对上式关于对上式关于 求导，并令其为求导，并令其为0 0，则有，则有现在学习的是第15页，共95

14、页解得解得 的极大似然估计值为的极大似然估计值为 的极大似然估计量为的极大似然估计量为现在学习的是第16页，共95页 例例6.66.6 设总体设总体 ，为来自总体的为来自总体的 ，为样本的一个实现，求为样本的一个实现，求 的极大似然的极大似然估计量。估计量。解：解：因为因为 ，所以有，所以有所以所以 的似然函数为的似然函数为取对数得取对数得现在学习的是第17页，共95页对上式关于对上式关于 求导，并令其为求导，并令其为0 0，整理得，整理得解得解得 的极大似然估计值和极大似然估计量分别为的极大似然估计值和极大似然估计量分别为现在学习的是第18页，共95页 例例6.76.7 设总体设总体 ，为未

15、知参数，为未知参数，为抽自总体的为抽自总体的 ，为样本的为样本的一个实现，求一个实现，求 的极大似然估计量。的极大似然估计量。解：解：因为因为 所以所以 似然函数为似然函数为对其取对数得对其取对数得现在学习的是第19页，共95页对其关于对其关于 求导并令其为求导并令其为0 0，得，得解得解得 的极大似然估计值为的极大似然估计值为所以，所以，的极大似然估计量为的极大似然估计量为现在学习的是第20页，共95页 解：解：参数参数 的似然函数为的似然函数为记记 则则 例例6.8 设总体设总体X在在a,b上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中a,b未知，未知，是来自是来自 的样本的样本,是样本的是样本

16、的一个实现，一个实现，试求试求a,b的极大使然估计量。的极大使然估计量。现在学习的是第21页，共95页所以参数所以参数 的极大似然估计值为的极大似然估计值为参数参数 的极大似然估计量为的极大似然估计量为现在学习的是第22页，共95页 由前面的内容知，对同一参数，用不同的估计方法求出的估计由前面的内容知，对同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不同，原则上任何统计量都可作为未知参数的估计量。量可能不同，原则上任何统计量都可作为未知参数的估计量。问题问题：（：（1 1）对同一参数究竟采用哪种估计量好？）对同一参数究竟采用哪种估计量好？（2 2）评价估计量的标准是什么？）评价估计量的标准是什么？

17、三、估计量的优良性评价标准三、估计量的优良性评价标准 1.1.无偏估计（最基本标准）无偏估计（最基本标准）设设 为总体的待估参数，为总体的待估参数，为为 的估计量，若有的估计量，若有 ，则称，则称 为为 的一个无偏估的一个无偏估计量。计量。无偏估计的实际意义是：没有系统误差无偏估计的实际意义是：没有系统误差 如：用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生如：用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机的在的偏差，但这种偏差随机的在0附近波动。对同一统计问题大量重复使用附近波动。对同一统计问题大量重复使用不会产生系统误差。不会产生系统误差。现在学习

18、的是第23页，共95页 例例6.9 设总体设总体 的均值的均值 方差方差 均存在且未知，均存在且未知，是来自总体的是来自总体的 ，以样本均值和样本，以样本均值和样本方差分别作为方差分别作为 的估计量，证明它们满足无偏性。的估计量，证明它们满足无偏性。证明证明：因为：因为 为总体的为总体的 ，则，则现在学习的是第24页，共95页 样本均值样本均值 是总体均值是总体均值 的无偏估计量；样本方差的无偏估计量；样本方差 是总体方差是总体方差 的无偏估计量。样本二阶中心矩的无偏估计量。样本二阶中心矩 不是总体不是总体方差方差 的无偏估计量。的无偏估计量。现在学习的是第25页，共95页 2.2.有效估计有

19、效估计 设设 为待估参数为待估参数 的两个无偏估计的两个无偏估计量，若满足量，若满足 ，则称估计量，则称估计量 比比 更有效更有效 由于方差是由于方差是R.V.R.V.取值与数学期望的偏离程度，所以有效估取值与数学期望的偏离程度，所以有效估计在无偏估计的基础上，方差小者为更好。计在无偏估计的基础上，方差小者为更好。最小方差无偏估计简称为最优无偏估计最小方差无偏估计简称为最优无偏估计。对其作如下说明对其作如下说明：（1 1）不是所有总体中的未知参数都有最小方差无偏估计量）不是所有总体中的未知参数都有最小方差无偏估计量（2 2）判断一个估计量是否是最优无偏估计量较复杂；）判断一个估计量是否是最优无

20、偏估计量较复杂；（3 3）事件发生的频率是事件发生概率的最优无偏估计量；）事件发生的频率是事件发生概率的最优无偏估计量；（4 4）若总体服从正态分布）若总体服从正态分布 ，则样本均值，则样本均值 和样本和样本方差方差 分别为总体均值分别为总体均值 和总体方差和总体方差 的最优无偏估计量。的最优无偏估计量。现在学习的是第26页，共95页 例例6.106.10 设设 是来自参数为是来自参数为 的指数分布的的指数分布的 总体分布的概率密度函数为总体分布的概率密度函数为其中参数其中参数 未知，证明未知，证明 与与都是无偏估计，并比较其有效性。都是无偏估计，并比较其有效性。证明证明：有极小分布可知有极小

21、分布可知 Z Z 服从参数为服从参数为 的指数分布，则有的指数分布，则有 所以所以 都是无偏估计量。都是无偏估计量。现在学习的是第27页，共95页现在学习的是第28页，共95页 3.3.一致估计一致估计 设设 为总体的待估参数为总体的待估参数 的估计量，对任意的估计量，对任意 ，总成立，总成立则称则称 为为 的一致估计量。的一致估计量。一致估计又称为一致估计又称为相合估计相合估计，一致估计从理论上保证了样本容，一致估计从理论上保证了样本容量越大，估计值出现大误差机会越小。在实际中，若估计量满量越大，估计值出现大误差机会越小。在实际中，若估计量满足一致性，则想降低估计值与待估参数间的差距常采用增

22、大样足一致性，则想降低估计值与待估参数间的差距常采用增大样本容量的方法。本容量的方法。例例6.116.11 证明在重复抽样情况下，样本均值证明在重复抽样情况下，样本均值 是总体均值是总体均值 的一致估计。的一致估计。现在学习的是第29页，共95页 证明：证明：对重复抽样有对重复抽样有则对任意则对任意 ，由，由ChebychevChebychev大数定律知大数定律知因此，样本均值是总体均值的一致估计。因此，样本均值是总体均值的一致估计。注：注：（1 1）样本的）样本的 阶原点矩是总体阶原点矩是总体 阶原点矩的一致估计；阶原点矩的一致估计；若参数若参数 ，其中，其中 g g 为实连续函数，则为实连

23、续函数，则 的矩估计量的矩估计量 是参数是参数的一致估计。的一致估计。（2 2）由极大似然估计法得到的估计量一般具有一致性；）由极大似然估计法得到的估计量一般具有一致性；（3 3）一致性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具有一致性，则）一致性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具有一致性，则不论样本容量多大，都不能将参数估计的足够准确，这样的估计量不可不论样本容量多大，都不能将参数估计的足够准确，这样的估计量不可取。取。现在学习的是第30页，共95页四、点估计的应用四、点估计的应用 从前面的讨论不难看出，从统计理论上讲点估计法只给出了待估从前面的讨论不难看出，从统计理论上讲点估计法只给出了待

24、估参数的估计值，并没有给出参数估计值与真实值之间的误差，也没有参数的估计值，并没有给出参数估计值与真实值之间的误差，也没有作出估计结论的可靠性，而这些是实际工作中最关心的。因此，为了作出估计结论的可靠性，而这些是实际工作中最关心的。因此，为了满足实际应用的需要，从应用的角度提出对参数点估计的一般性约定：满足实际应用的需要，从应用的角度提出对参数点估计的一般性约定：DefDef 设设 是参数是参数 的无偏估计量的无偏估计量,对给定的对给定的 ,若能确定一个仅依赖于样本和若能确定一个仅依赖于样本和 的实数的实数 使得下式恒成立使得下式恒成立则称则称 的一个实现的一个实现 是参数是参数 的估计值，的

25、估计值，为估计值的误差为估计值的误差限（即最大绝对误差），限（即最大绝对误差），为估计值的可靠性（可信程度）。为估计值的可靠性（可信程度）。现在学习的是第31页，共95页 在实际应用中，估计误差限在实际应用中，估计误差限 常被转换为估计精常被转换为估计精度，简称精度。估计精度的定义为：度，简称精度。估计精度的定义为：现在学习的是第32页，共95页6.2 6.2 区间估计（区间估计（Interval EstimationInterval Estimation）参数估计除了点估计外，还有一种实际中常用的形式参数估计除了点估计外，还有一种实际中常用的形式-区间区间估计（给出参数的一个范围）。这种估计

26、的最大特点就是在结估计（给出参数的一个范围）。这种估计的最大特点就是在结论中能体现估计的误差限和可靠性，其与我们对点估计的约定论中能体现估计的误差限和可靠性，其与我们对点估计的约定异曲同工。异曲同工。一、区间估计一、区间估计 1.区间估计的思想区间估计的思想 从样本出发构造两个统计量，使得这两个统从样本出发构造两个统计量，使得这两个统计量所形成的随机区间尽可能短，涵盖待估参数的概率尽可能大。计量所形成的随机区间尽可能短，涵盖待估参数的概率尽可能大。现在学习的是第33页，共95页 2.区间估计定义区间估计定义 设设 为参数为参数 的估计量，对于给的估计量，对于给定的定的 如果满足如果满足则称则称

27、 为参数为参数 的置信度为的置信度为 的置信区间，的置信区间，分别称为置信下限和置信上限。若以上关系式中只分别称为置信下限和置信上限。若以上关系式中只涉及置信下限涉及置信下限 或置信上限或置信上限 ，则称为单侧置信限，则称为单侧置信限,若两者若两者均涉及则称置信区间为双侧置信区间。均涉及则称置信区间为双侧置信区间。对参数估计问题，我们希望置信区间越短越好，置信度对参数估计问题，我们希望置信区间越短越好，置信度越大越好，但从概率意义上这是矛盾的。为了解决这一矛盾，我们需要越大越好，但从概率意义上这是矛盾的。为了解决这一矛盾，我们需要折中，因此实际是折中，因此实际是在保证可靠性的前提下，尽量使估计

28、区间尽可能短。在保证可靠性的前提下，尽量使估计区间尽可能短。现在学习的是第34页，共95页二、枢轴变量法二、枢轴变量法 例例6.12 总体总体 ，其中，其中 未知未知 已知，已知，是抽自总体的是抽自总体的 ，求参数，求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间。的置信区间。解：解：对给定的置信度对给定的置信度 ，构造统计量，构造统计量 ，使得使得 成立，同时使成立，同时使 在平均意义下尽可能短。为此选在平均意义下尽可能短。为此选 的无偏估计量的无偏估计量 ，则，则 现在学习的是第35页，共95页对给定的对给定的 ，由，由 的双侧分位数定义有的双侧分位数定义有 使得使得即即因此参数因此参数 的置信度

29、为的置信度为 的置信区间为的置信区间为现在学习的是第36页，共95页 由此例可看出为未知参数由此例可看出为未知参数 制定置信度制定置信度 的置信区间的步的置信区间的步骤为：骤为：（1）由参数）由参数 的一个无偏估计量的一个无偏估计量 出发，寻找一个仅出发，寻找一个仅依赖样本和未知参数依赖样本和未知参数 的函数的函数 ，称，称 为为枢枢轴变量轴变量。（2）对任意）对任意 ，确定两数，确定两数 ，使得，使得 （3）若由）若由 能确定两个统计量能确定两个统计量 ，使得，使得则区间则区间 为参数为参数 的置信度为的置信度为 的置信区间。的置信区间。现在学习的是第37页，共95页这种制定参数这种制定参数

30、 置信度为置信度为 的置信区间的关键是找到恰当的的置信区间的关键是找到恰当的枢轴变量枢轴变量 ，因此称为，因此称为枢轴变量法枢轴变量法。找枢轴变量一般由参数的找枢轴变量一般由参数的优良估计出发。优良估计出发。三、点估计的约定与区间估计三、点估计的约定与区间估计 为了弥补统计理论中点估计的不足，从应用角度提出对参数为了弥补统计理论中点估计的不足，从应用角度提出对参数 点点估计的一般约定，这一约定表明，为描述点估计的误差和可靠性，必须估计的一般约定，这一约定表明，为描述点估计的误差和可靠性，必须研究参数研究参数 估计量估计量 的概率分布，并在给定可靠性条件下寻找仅依赖的概率分布，并在给定可靠性条件

31、下寻找仅依赖样本和可靠性样本和可靠性 有关的量有关的量 ,使得使得即即 由置信区由置信区间的定义和上式知，参数间的定义和上式知，参数 置信度为置信度为 的置信的置信区间为区间为 ，这表明从应用角度对点估计提，这表明从应用角度对点估计提出的约定从某种意义上体现了区间估计的概念。出的约定从某种意义上体现了区间估计的概念。现在学习的是第38页，共95页6.3 6.3 一个总体均值的估计一个总体均值的估计 总体均值总体均值 是常用的总体参数之一，实际中往往由于总体很是常用的总体参数之一，实际中往往由于总体很大或对总体指标的观测需要费大量的人力、物力、和财力，有大或对总体指标的观测需要费大量的人力、物力

32、、和财力，有时甚至无法得到时甚至无法得到 的真值，因此需从总体中合理抽样的真值，因此需从总体中合理抽样,由样本由样本 信息对总体均值信息对总体均值 作出估计（点估计或区间估计）。作出估计（点估计或区间估计）。一、总体服从正态分布的情况一、总体服从正态分布的情况(小样本方法小样本方法)设总体设总体 ，是来自总体是来自总体的的 ，是样本的一个实现，下面分情况是样本的一个实现，下面分情况讨论总体均值讨论总体均值 的点估计和区间估计的方法及原理。的点估计和区间估计的方法及原理。现在学习的是第39页，共95页 1.总体方差总体方差 已知已知 总体总体 ，为总体的为总体的 ，则则即即由由 分布的双侧分位数

33、知，对任意分布的双侧分位数知，对任意 ，存在，存在 使得使得将将 进行变量代换，则有进行变量代换，则有现在学习的是第40页，共95页即即 结论结论 由由知总体均值知总体均值 的的点估计点估计为为：（1）的估计值为样本均值的估计值为样本均值 的一个实现的一个实现 ；（2）估计的误差限为）估计的误差限为 ；（3）估计的可靠性为）估计的可靠性为 。现在学习的是第41页，共95页 由由知总体均值的知总体均值的区间估计区间估计为：为：（1）的置信区间为的置信区间为 的一个样本实现；的一个样本实现；（2）估计的置信度为）估计的置信度为 。例例6.13 某车间生产滚珠，从长期生产的统计资料知，滚珠某车间生产

34、滚珠，从长期生产的统计资料知，滚珠直径直径 可认为服从正态分布，若已知方差为可认为服从正态分布，若已知方差为0.06，现从某天，现从某天的产品中随机抽的产品中随机抽6件，测得直径（件，测得直径（mm）为）为:14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1。求该天生产的滚珠平均直径的点估计求该天生产的滚珠平均直径的点估计()及区间估计及区间估计()。解：解：由题意知由题意知 现在学习的是第42页，共95页由总体方差已知时总体均值点估计知由总体方差已知时总体均值点估计知 （1）直径的平均值）直径的平均值 的估计值为的估计值为14.95；（2）估计的误差限为）估计的误差限为 （3）估计的

35、可靠性为）估计的可靠性为0.95.区间估计为区间估计为：（1）的置信区间为的置信区间为 ；（2）置信度为）置信度为0.99.现在学习的是第43页，共95页 2.总体方差总体方差 未知未知 总体总体 ，为总体的为总体的 ，则，则 ，且且 相互独立，于是相互独立，于是由由 分布的双侧分位数知，对给定的分布的双侧分位数知，对给定的 ，存在，存在 使得使得将将 进行变量代换得进行变量代换得现在学习的是第44页，共95页 即即 结论结论 由由知总体均值知总体均值 的的点估计点估计为：为：（1）的估计值为样本均值的估计值为样本均值 的一个实现的一个实现 ；（2）估计的误差限为）估计的误差限为 ；（3）估计

36、的可靠性为）估计的可靠性为 。现在学习的是第45页，共95页 由由知总体均值知总体均值 的的区间估计区间估计为：为：（1）的置信区间为的置信区间为 的一个样本实现的一个样本实现 （2）置信度为）置信度为 。例例6.14 有一大批糖果，现从中随机取有一大批糖果，现从中随机取16袋，称得重量袋，称得重量(单位单位:克克)506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496，假设糖包重量，假设糖包重量 服从正态分布，试求总体服从正态分布，试求总体均值均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区间。的置信区间。解：解：由题意知由题

37、意知 ，未知，未知，查表得查表得 ,计算计算得得 所以所以 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间为为现在学习的是第46页，共95页二、非正态总体的情况二、非正态总体的情况(大样本方法大样本方法)1.总体方差总体方差 已知已知 设总体在某个指标上的均值为设总体在某个指标上的均值为 ,方差为方差为 ，是总体的是总体的 ，则由抽样分布知，则由抽样分布知 ，从，从而有而有当当 时，由时，由 的双侧分位数知，对任意的双侧分位数知，对任意 存在数存在数 使得使得现在学习的是第47页，共95页对对 做变量代换得做变量代换得即即 现在学习的是第48页，共95页 结论结论 由由知总体均值知总体均值

38、的的点估计点估计为：为：（1）的估计值为样本均值的估计值为样本均值 的一次实现的一次实现 ；（2）估计的误差限为）估计的误差限为 ；（3）可靠性为）可靠性为 。由由知总体均值知总体均值 的的区间估计区间估计为：为：（1）的置信区间为的置信区间为 的一次样本实现；的一次样本实现；（2）置信度为）置信度为 现在学习的是第49页，共95页 2.总体方差总体方差 未知未知 在实际应用中，在实际应用中，一般未知，由于一般未知，由于 是是 的无偏估的无偏估计量，因此，样本容量计量，因此，样本容量 充分大时，可用充分大时，可用 的实现的实现 近近似代替似代替 ，这样就得到总体均值，这样就得到总体均值 的一种

39、近似估计。的一种近似估计。总体均值总体均值 的的点估计点估计为：为：（1）的估计值为样本均值的估计值为样本均值 的一次实现的一次实现 ；（2）估计的误差限为）估计的误差限为 ；（3）估计的可靠性为）估计的可靠性为 。现在学习的是第50页，共95页 总体均值总体均值 的的区间估计区间估计为：为：（1）的置信区间为的置信区间为 的一个样本实现的一个样本实现,（2）估计的置信度为）估计的置信度为 。例例6.15 预估计育苗大棚内油松预估计育苗大棚内油松2年生苗木高度，采用重复抽样的方年生苗木高度，采用重复抽样的方式从大棚内抽取式从大棚内抽取65株苗木，苗高株苗木，苗高(cm)数据如下数据如下:12.

40、3 16.6 12.0 17.1 12.6 10.8 11.0 11.7 12.2 14.8 11.5 12.6 12.3 11.9 12.9 13.9 12.8 15.0 13.6 12.4 16.6 13.2 16.6 13.5 14.0 12.7 11.3 13.9 11.4 13.9 13.9 13.5 13.6 15.4 14.8 16.8 14.8 15.3 12.6 14.5 12.6 14.5 12.9 16.4 18.3 17.8 13.5 11.8 13.6 17.2 13.5 13.6 14.5 12.9 15.8 13.6 15.4 16.1 15.6 12.9 12.

41、9 14.6 15.1 15.0 13.6 试以试以95%的可靠性对大棚内苗木的平均高度进行估计。的可靠性对大棚内苗木的平均高度进行估计。解：解：由题意知总体方差与分布均未知，由样本的实现整理得由题意知总体方差与分布均未知，由样本的实现整理得 现在学习的是第51页，共95页所以，该大棚内苗木的平均高度的点估计为：所以，该大棚内苗木的平均高度的点估计为：（1）苗木平均高度的估计值为）苗木平均高度的估计值为13.94cm；（2）估计的误差限为）估计的误差限为 ,（3）可靠性为）可靠性为95%。该大棚内苗木平均高度的区间估计为该大棚内苗木平均高度的区间估计为:（1）置信区间为）置信区间为 ；（2）置

42、信度为）置信度为95%。估计的估计精度为估计的估计精度为现在学习的是第52页，共95页三、总体均值的单侧置信限估计三、总体均值的单侧置信限估计 对总体未知参数的区间估计中，我们同时关注未知参数的置信对总体未知参数的区间估计中，我们同时关注未知参数的置信上限和置信下限，但在实际中，有时只关注未知参数的置信上限或置上限和置信下限，但在实际中，有时只关注未知参数的置信上限或置信下限，如产品的平均寿命问题，我们关注的是下限。信下限，如产品的平均寿命问题，我们关注的是下限。一般，设一般，设 为总体的未知参数，对任意为总体的未知参数，对任意 ，若若由由 确定了未知参数的估计量确定了未知参数的估计量 使得使

43、得 则称则称 为为 的置信度为的置信度为 的单侧置信下限；若使得的单侧置信下限；若使得 则称则称 为为 的置信度为的置信度为 的单侧置信上限。的单侧置信上限。现在学习的是第53页，共95页 下面介绍几种常见情况下的总体均值的单侧区间估计下面介绍几种常见情况下的总体均值的单侧区间估计 1.正态总体方差正态总体方差 已知时，总体均值已知时，总体均值 的单侧区间估计的单侧区间估计 （1）的置信度为的置信度为 的单侧置信下限的单侧置信下限由由 的上侧分位数知，对任意的上侧分位数知，对任意 ，存在，存在 使得使得因此，因此，的置信度为的置信度为 的置信下限为的置信下限为 现在学习的是第54页，共95页

44、（2）的置信度为的置信度为 的置信上限的置信上限即即则则 的置信度为的置信度为 的置信上限为的置信上限为现在学习的是第55页，共95页2.正态总体方差正态总体方差 未知时，总体均值未知时，总体均值 的单侧区间估计的单侧区间估计 （1）的置信度为的置信度为 的单侧置信下限的单侧置信下限由由 分布的上侧分位数知，对任意分布的上侧分位数知，对任意 ,存在存在 使得使得即即则则 的置信度为的置信度为 的置信下限为的置信下限为现在学习的是第56页，共95页 (2）的置信度为的置信度为 的单侧置信上限的单侧置信上限 由由 分布的下侧分位数知分布的下侧分位数知即即则则 的置信度为的置信度为 的置信上限为的置

45、信上限为 现在学习的是第57页，共95页3.非正态总体总体均值非正态总体总体均值 的单侧区间估计的单侧区间估计 在总体不服从正态分布或总体分布未知时，由在总体不服从正态分布或总体分布未知时，由从而类似正态总体的情况讨论，即可得总体均值从而类似正态总体的情况讨论，即可得总体均值 的单侧置信区的单侧置信区间。间。（1）的置信度为的置信度为 的单侧置信下限的单侧置信下限现在学习的是第58页，共95页（2）的置信度为的置信度为 的单侧置信上限的单侧置信上限现在学习的是第59页，共95页6.4 一个总体方差与频率的估计一个总体方差与频率的估计一、正态总体方差一、正态总体方差 的估计的估计 设总体设总体

46、，是来自总体的是来自总体的 是样本的一个实现，由样本对总体方差是样本的一个实现，由样本对总体方差 进行估计。进行估计。1.总体均值总体均值 已知时，估计总体方差已知时，估计总体方差 则由则由 分布定义有分布定义有现在学习的是第60页，共95页由由 分布分位数定义分布分位数定义,对任意对任意 ,存在存在 使得使得即即所以总体方差所以总体方差 的置信度为的置信度为 置信区间为置信区间为现在学习的是第61页，共95页 2.总体均值总体均值 未知时，估计总体方差未知时，估计总体方差 对正态总体，对正态总体，未知，由于未知，由于 为为 的一致无偏估计的一致无偏估计量，且量，且 ，则由，则由 分布分位分布

47、分位数定义，对数定义，对 ,存在存在 使得使得即即现在学习的是第62页，共95页所以总体方差所以总体方差 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为总体标准差总体标准差 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间 例例6.17 已知某种果树产量服从已知某种果树产量服从 ，随机抽取，随机抽取6棵计棵计算其产量算其产量(公斤公斤)，获得数据为，获得数据为221,191,202,205,256,236，试以，试以95%的置信度估计产量的方差。的置信度估计产量的方差。现在学习的是第63页，共95页 解：解：由题意知产量由题意知产量 ,总体均值已知，由样本得总体均值已知，由样本得所以果树产量方差所以

48、果树产量方差 的置信度为的置信度为95%的置信区间为的置信区间为现在学习的是第64页，共95页 例例6.18 某地区林业局茶叶厂生产富硒茶，预估计今年新茶微量某地区林业局茶叶厂生产富硒茶，预估计今年新茶微量元素硒含量的均值与标准差，从今年新茶中任取元素硒含量的均值与标准差，从今年新茶中任取16个样品分析，个样品分析，结果为结果为(mg/100g)：60.6,60.8,59.9,60.3,60.4,61.0,59.7,61.2,61.4,60.5,59.3,59.6,60.6,60.2,60.9,59.6，设茶叶，设茶叶中硒元素含量近似服从正态分布，以此资料求今年新茶每百克中中硒元素含量近似服从

49、正态分布，以此资料求今年新茶每百克中硒元素含量的均值与标准差的置信度为硒元素含量的均值与标准差的置信度为95%的置信区间。的置信区间。解：解：由题意知硒元素含量均值方差均未知，由样本知由题意知硒元素含量均值方差均未知，由样本知所以今年新茶每百克中硒元素含量的均值的置信度为所以今年新茶每百克中硒元素含量的均值的置信度为95%的置信区间为的置信区间为60.0446,60.7054，标准差的置信度为，标准差的置信度为95%的置信区间为的置信区间为0.4589,0.9599。现在学习的是第65页，共95页二、正态总体方差二、正态总体方差 的单侧置信限的单侧置信限 1.总体均值总体均值 已知时已知时由由

50、 分布分位数定义分布分位数定义,对任意对任意 ,存在存在使得使得 现在学习的是第66页，共95页所以总体方差所以总体方差 的置信度为的置信度为 单侧置信限为单侧置信限为 （1）总体方差）总体方差 的置信度为的置信度为 单侧置信下限为单侧置信下限为 （2）总体方差）总体方差 的置信度为的置信度为 单侧置信上限为单侧置信上限为现在学习的是第67页，共95页 2.总体均值总体均值 未知时，未知时，对正态总体，对正态总体，未知，由于未知，由于 为为 的一致无偏估计的一致无偏估计量，且量，且 ，则由，则由 分布分位分布分位数定义，对数定义，对 ，存在，存在 使得使得现在学习的是第68页，共95页所以总体