等差数列前项和的公式.ppt

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1、关于等差数列前项和的公式现在学习的是第1页，共52页复习回顾(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式:已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有:an=a1+(n-1)d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质等差数列的性质:在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么:an+am=ap+aq现在学习的是第2页，共52页 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她

2、她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案案之之细细致致令令人人叫叫绝。绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见见左左图），奢靡之程度，可见一斑。图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1现在学习的是第3页，共52页 问题问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯：对于这个问题，德

3、国著名数学家高斯10岁岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+100=x,(1)那么100+99+98+1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101所以x=5050.高斯高斯现在学习的是第4页，共52页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有多层一共有多少颗宝石？少颗宝石？这这是是求求奇奇数数个个项项和和的的问问题题，不不能能简简单单模模仿仿偶偶数数个

4、个项项求求和和的的办办法法，需需要要把把中中间间项项1111看看成成首首、尾尾两两项项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对首尾配对”的算法还得分奇、的算法还得分奇、偶个项的情况求和。偶个项的情况求和。有无简单的方法？有无简单的方法？现在学习的是第5页，共52页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有多层一共有多少颗宝石？少颗宝石？借助几何图形之直借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何观性，使用熟悉的几何方法：把方法：把“全等三角形全等三角形”倒置，与原图补成平倒置，与原图补成平行四边形。行四边

5、形。现在学习的是第6页，共52页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有多层一共有多少颗宝石？少颗宝石？123212120191获得算法：获得算法：现在学习的是第7页，共52页问题问题3:求求:1+2+3+4+n=?记记:S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+3 +2 +1现在学习的是第8页，共52页设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=

6、a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导现在学习的是第9页，共52页由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用

7、哪个公式。知三求二现在学习的是第10页，共52页（2）1+3+5+（2n-1）=（1）1+2+3+n=（3）2+4+6+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn=SnSn现在学习的是第11页，共52页 1.1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数则则 Sn=An2+Bn令令现在学习的是第12页，共52页【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方项和公式的方法叫法叫

8、；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；an为等差数列为等差数列 ，这是，这是一个关于一个关于 的没有的没有 的的“”倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（注意注意 a 还还可以是可以是 0）现在学习的是第13页，共52页例例1 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的 V形架的形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面层都比它下面一层多一支，最上面一层放一层放120支。这个支。这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔？解解：由题意可知，这个由题意可

9、知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅笔，层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为an,其中其中 a1=1,a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项和的公式，得项和的公式，得答：答：V形架上共放着形架上共放着 7 260支铅笔。支铅笔。现在学习的是第14页，共52页例例2：在等差数列在等差数列an中，中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)0.7=32 n=2 6（1）a3=-2，a8=12，求，求S10解解：（1）a1+a10=a3+a8=

10、10现在学习的是第15页，共52页 由以上例题可以得出:在求等差数列的前在求等差数列的前n项的和时项的和时,当知道当知道首项和公差首项和公差,或者是知道首项和末项或者是知道首项和末项,均可以得出均可以得出.已知等差数列已知等差数列a an n中中,已知已知a a6 6=20,=20,求求S S1111=?=?例例3:已知等差数列已知等差数列an中中a2+a5+a12+a15=36.求前求前16项的和项的和?解解:由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 18=144 答答:前前16项的和为项的和为144。分析：可以由等差

11、数列性质，直接代入前分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式项和公式现在学习的是第16页，共52页例例4 等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一个本题实质是反用公式，解一个关于关于n 的一元二次函数，注意得的一元二次函数，注意得到的项数到的项数n 必须是正整数必须是正整数.现在学习的是第17页，共52页解解：将题中的等差数列记为：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列代表该数列 的的前前n项和，则有项和，则有a1=10,d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：项和公式：解得解得n1=9,n=3(舍去舍去)

12、因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和是项的和是54.设该数列前设该数列前n 项和为项和为54得得现在学习的是第18页，共52页巩固练习巩固练习1、已知、已知 a6+a9+a12+a15=192,求求 S202、凸、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为边形各内角成等差数列，公差为 10，最小内角为，最小内角为 100，则，则n等于等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或或 9 a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20 a1+a20=96由题意，得由题意，得:解得解得 n=8 或或 n=9（舍）（舍）B现在学习的是第20页，共52页3.一个

13、项数为一个项数为36的数列的前四项和是的数列的前四项和是21，后四，后四 项和是项和是67，求这个数列的和，求这个数列的和。现在学习的是第21页，共52页4 求集合求集合M=m|m=7n,n是正整数是正整数,且且m100的的元素个数元素个数,并求这些元素的和并求这些元素的和.解解:由由7n100得得 n1007,由于满足它的正整数由于满足它的正整数n共有共有14个个,集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个.即即7,14,21,91,98.这是一个等差数列这是一个等差数列,各项的和是各项的和是答答:集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个,它们的和为它们的和为735.=735现在学习的是第

14、22页，共52页等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题用解决相关问题 小小 结结现在学习的是第23页，共52页2.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公公差为差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间为中间两项两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,n2dnd现在

15、学习的是第24页，共52页性质性质2:(2)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S奇奇S偶偶=,两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质4:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则性质性质3:为等差数列为等差数列.an现在学习的是第25页，共52页例例1.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27B3.等差数列等差数列an前前n项和的性质

16、的应用项和的性质的应用现在学习的是第26页，共52页现在学习的是第27页，共52页现在学习的是第28页，共52页2.在等差数列在等差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=()A.85 B.145 C.110 D.90A3.一个等差数列的前一个等差数列的前12项的和为项的和为354,其中项其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为之比为32:27,则公差为则公差为 .5现在学习的是第29页，共52页例例4.两等差数列两等差数列an、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且求求

17、 和和 .等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用现在学习的是第30页，共52页例例5.(09宁夏宁夏)等差数列等差数列an的前的前n项的和为项的和为Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则则m=.例例6.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|=.10153等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用现在学习的是第31页，共52页练习：已知在等差数列练习：已知在等差数列 an n 中中,a10=23,a25=-22,Sn为其前为其前n项和项和.（1 1）问该数列从第几项开始为

18、负？）问该数列从第几项开始为负？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn1n 1时：时：当当n=1n=1时：时：也满足也满足式式.现在学习的是第34页，共52页变变 式式 训训 练练当当n 1n 1时：时：当当n=1n=1时：时：不满足不满足式式.点评：点评：分分类类讨讨论论思思想想现在学习的是第35页，共52页例例:若数列若数列an的前项和的前项和Sn满足满足Sn=an2+bn,试判断试判断an是否是等差数列。是否是等差数列。巩固练习巩固练习现在学习的是第36页，共52页 观察上面的式子观察上面的式子,我们可以看出它是我们可以看出它是关于关于n 的二次函数的二次函数,从而等差数列的前

19、从而等差数列的前n项和可以写成形如项和可以写成形如:将等差数列的前将等差数列的前n项和公式写成上项和公式写成上述形式述形式,有利于求其前有利于求其前n项和的极值项和的极值:a10 a10,d0最大值 无 有最小值 有 无nsnnsna10,最小值最小值 a10,d0,最大值最大值现在学习的是第37页，共52页例例6：已知数列：已知数列an是等差数列，且是等差数列，且a1=21，公差，公差d=2，求这个数列的前，求这个数列的前n项和项和Sn的最大值。的最大值。等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题现在学习的是第38页，共52页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例7.

20、已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得 d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.现在学习的是第39页，共52页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例7.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为7n113Sn现在学习的是第40页，共52页等差

21、数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例7.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.an=13+(n-1)(-2)=2n+15由由得得现在学习的是第41页，共52页a7+a8=0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例7.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=0

22、而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a8，S3=S11，问：这个数列的前，问：这个数列的前几项的和最大？几项的和最大？例例7的的变式题二变式题二：等差数列：等差数列an的首项的首项a1 0,前前n项和为项和为Sn，Sm=Sl,问问:n为何为何值时，值时，Sn最大？最大？现在学习的是第43页，共52页 的前的前n项和为项和为 当当n n为何值时，为何值时，最大，最大，数列数列 的通项公式的通项公式 已知已知 求：求：变式变式3设等差数列设等差数列现在学习的是第44页，共52页例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知 a3=12,S1

23、20,S13013a1+136d0现在学习的是第45页，共52页法法2 Sn图象的对称轴为图象的对称轴为由由(1)知知由上得由上得即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.现在学习的是第46页，共52页例例9 9：已知在等差数列：已知在等差数列 an n 中中,a10=23,a25=-22,Sn为其前为其前n项和项和.（1 1）问该数列从第几项开始为负？）问该数列从第几项开始为负？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0,d0时时,数列前数列前面有若干项为正面有若干项为正,此时所有正项的和为此时所有正项的和为Sn的的最大值最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求得求得.当当a10时时,数列前面有若干项为负数列前面有若干项为负,此时所此时所有负项的和为有负项的和为Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求得求得.现在学习的是第51页，共52页感谢大家观看现在学习的是第52页，共52页