数学物理方程第四章调和幻灯片.ppt

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1、数学物理方程第四章调和第1页，共33页，编辑于2022年，星期六二、拉普拉斯方程边值问题的提法1 第一边值问题（狄氏问题）2 第二边值问题（牛曼问题）3、狄氏外问题4、牛曼外问题1 方程的建立和定解条件调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。一、方程的建立第2页，共33页，编辑于2022年，星期六三、泊松方程边值问题泊松方程边界条件定义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题第3页，共33页，编辑于2022年，星期六 1

2、奥高公式 设 及 和 是在 上连续，在 内有连续偏导数的任意函数,则有如下的奥-高公式 1奥高公式 设 及 和 是在 上连续，在 内有连续偏导数的任意函数,则有如下的奥-高公式 2 格林公式、调和函数及其基本性质一、格林公式第4页，共33页，编辑于2022年，星期六 2格林第一公式 在上述的奥-高公式中令 ，注意到显然的恒等式：我们就有如下的格林第一公式或第5页，共33页，编辑于2022年，星期六 3格林第二公式格林第二公式 在上述格林第一公式中，交换 的位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。然后两式消减，我们就得到格林第二公式：原有第6页，共33页，编辑于2

3、022年，星期六由物理学家狄拉克首先引进用以讨论物理学中的一切点量质点点电荷瞬时力脉冲等定义 d d 函数是指具有以下性质的函数：4 4、d d 函数第7页，共33页，编辑于2022年，星期六如对一维问题:设在无穷直线上 区间内有均匀的电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图，则电荷密度函数为物理意义：集中的量的密度函数若 f(x)在 内连续，由中值定理有对于 有第8页，共33页，编辑于2022年，星期六对于 在 连续，有或者表示的是任意阶可微函数的极限，通常意义下没有意义，只在积分运算中才有意义。当 时，得到点电荷的密度函数此积分应理解为第9页，共33页，编辑于2022年，星期六 有关

4、d d 函数的等式应该在积分意义下理解。第10页，共33页，编辑于2022年，星期六令两边微商，得因为由傅里叶逆变换，得拉普拉斯变换对二、三维同样有 函数 二维：处有一个单位点电荷，密度分布函数为 三维：处有一个单位点电荷，密度分布函数为 第11页，共33页，编辑于2022年，星期六求证：，其中 证明:要证明 ，就是要证明积分意义下例例第12页，共33页，编辑于2022年，星期六 当 时，有三式相加，可得第13页，共33页，编辑于2022年，星期六 当 时，不可导，将 V 取为整个三维空间第14页，共33页，编辑于2022年，星期六令 ，上式积分与 a 无关从而有因此即第15页，共33页，编辑

5、于2022年，星期六二、泊松方程的基本积分公式建立点源泊松方程奇异，不能化为面积分。在 V 中 点挖掉半径 的小球 。小球边界 。第16页，共33页，编辑于2022年，星期六在 ，。和连续。第17页，共33页，编辑于2022年，星期六这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。基本积分公式。令f=0,即得调和方程的基本积分公式：基本积分公式：调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。第18页，共33页，编辑于2022年，星期六1、调和方程的基本解三、调和函数的基本性质2、调和方程的基本积分表达式第19页，共33页，编辑于2

6、022年，星期六3、牛曼内问题有解的必要条件4、平均值公式（定理）5、极值原理取 狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。6、拉普拉斯方程解的唯一性问题调和函数的最大、最小值只能在边界上达到第20页，共33页，编辑于2022年，星期六 3 格林函数若u，v均为调和函数若v不仅为调和函数，且满足由格林公式两式相加令则第21页，共33页，编辑于2022年，星期六对泊松问题对拉普拉斯问题因此求解狄氏问题就转化为求此区域的格林函数，即第22页，共33页，编辑于2022年，星期六4 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身用格

7、林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数，对一些具体问题一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数，对一些具体问题可以给出构建格林函数的方法可以给出构建格林函数的方法 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。电象法求格林函数第23页，共33页，

8、编辑于2022年，星期六物理模型：若在物理模型：若在 处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的负则虚设的负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy 的上半平面的的上半平面的电位分布也就是本问题的格林函数，即为电位分布也就是本问题的格林函数，即为 1、上半平面区域拉普拉斯方程的第一边值问题求解第24页，共33页，编辑于2022年，星期六据此可求解上半平面区域的定解问题据此可求解上半平面区域的定解问题例例1 定解问题：定解问题：【解解】根据第一边值问题，构建的格林函数满足根据第一边值问题，构建的格林函数满足 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源

9、）处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构构建格林函数为建格林函数为 第25页，共33页，编辑于2022年，星期六边界外法线方向为负轴，故有轴，故有 代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，则由则由得 或由互易性得到上式称为上半平面的拉普拉斯积分公式上式称为上半平面的拉普拉斯积分公式第26页，共33页，编辑于2022年，星期六例例2 在上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题内求解拉普拉斯方程的第一边值问题【解解】构建格林函数构建格林函数满足满足2、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题根据物理模型和无界区域的格林函

10、数可以构建为根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为第27页，共33页，编辑于2022年，星期六为了把为了把代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一边值问题的解的公式第一边值问题的解的公式需要先计算需要先计算即为即为 即有 第28页，共33页，编辑于2022年，星期六代入代入 即得到即得到 这公式叫作这公式叫作半空间的拉普拉斯积分半空间的拉普拉斯积分第29页，共33页，编辑于2022年，星期六例3 求解下列定解问题解：第30页，共33页，编辑于2022年，星期六3、球内的格林函数 M0点处点电荷电量 ，M1点处点电荷电量 第31页，共33页，编辑于2022年，星期六例4球内第一边值问题在球面上第32页，共33页，编辑于2022年，星期六第33页，共33页，编辑于2022年，星期六