数值分析样条插值幻灯片.ppt

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1、数值分析样条插值第1页，共18页，编辑于2022年，星期六引例引例.sin x 在区间在区间0，上的插值逼近上的插值逼近 1.1.二次插值二次插值 2.两点埃尔米特插值两点埃尔米特插值 3.分段埃尔米特插值分段埃尔米特插值x 0 /2 Sin x 010Cos x 101x 0 Sin x 00Cos x 11 2/18第2页，共18页，编辑于2022年，星期六x=-5:5;y=1./(1+x.2);plot(x,y,x,y,o)x=-5:5;y=1./(1+x.2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,b,x,y,ro)被插值函数被插值函数:-5

2、 x 53/18第3页，共18页，编辑于2022年，星期六x=0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0;y=0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0;n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,o)4/18第4页，共18页，编辑于2022年，星期六定义定义 5.4 给定区间给定区间a,b上的一个分划上的一个分划:a=x0 x1 xn=b已知已知 f(xj)=yj (j=0,1,n),如果如果满足满

3、足:(1)S(x)在在 xj，xj+1上为三次多项式上为三次多项式;(2)S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续;(3)S(xj)=yj (j=0,1,n).则称则称 S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.5/18第5页，共18页，编辑于2022年，星期六当当xxj,xj+1 (j=0,1,n-1)时时 Sj(x)=aj+bj x+cj x2+dj x3插值条件插值条件:S(xj)=yj (j=0,1,n)连续性条件连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)(j=1,n-1)由样条定义

4、由样条定义,可建立方程可建立方程(4n-2)个！个！n个三次多项式个三次多项式,待定系数共待定系数共4n个个！方程数少于未知数个数方程数少于未知数个数？6/18第6页，共18页，编辑于2022年，星期六(1)自然边界条件自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例例 5.7 已知已知f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求求1，1 上的三次自然样条上的三次自然样条(满足自然边界条件满足自然边界条件).解解 设设 则有则有:a1+b1c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1 d1=d2,c1=c2,b1=b2 (2)周期边界条件周期边界条件:S(x0)=S(xn),S”(x

5、0)=S”(xn)(3)固定边界条件固定边界条件:S(x0)=f(x0),S(xn)=f(xn)7/18第7页，共18页，编辑于2022年，星期六由自然边界条件由自然边界条件:6a1+2b1=0,6a2+2b2=0 解方程组解方程组,得得 a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0问题的解问题的解 x=-1,0,1;y=1,0,1;f1=inline(0.5*x.3+1.5*x.2);f2=inline(-0.5*x.3+1.5*x.2);t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,o,t1,t2,p1,p2,r

6、)Hold on,plot(t1,t2,t1,t2.2)y=x28/18第8页，共18页，编辑于2022年，星期六用分段用分段Hermite两点插值推导样条两点插值推导样条已知函数表已知函数表x x0 x1 xnf(x)y0 y1 yn设设 f(x)在各插值节点在各插值节点 xj 处的一阶导数为处的一阶导数为 mj取取 xj+1 xj=h，(j=0,1,2,n).当当 xxj,xj+1时时,分段分段Hermite插值插值9/18第9页，共18页，编辑于2022年，星期六由由S”(x)连续连续,有等式有等式:S”(xj+0)=S”(xj 0)考虑考虑 S”(x)在区间在区间xj,xj+1和和xj

7、-1,xj上表达式上表达式.当当 xxj,xj+1时时,S(x)由基函数组合而成由基函数组合而成10/18第10页，共18页，编辑于2022年，星期六11/18第11页，共18页，编辑于2022年，星期六同理同理,有有联立两式联立两式,得得(J=1,2,n-1)自然边界条件自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=012/18第12页，共18页，编辑于2022年，星期六例例 5.7 已知函数表已知函数表x 1 0 1f(x)1 0 1 m0=-3/2 m1=0 m2=3/2 x 1 0 1H(x)1 0 1H(x)-3/2 0 3/2求求 1，1上的上的三次自然样条三次自然样条(满足自然边

8、界条件满足自然边界条件).13/18第13页，共18页，编辑于2022年，星期六x-1,0 x0,1第第1个小区间个小区间曲率计算公式曲率计算公式第第2个小区间个小区间14/18第14页，共18页，编辑于2022年，星期六样条插值函数的极性样条插值函数的极性设设f(x)C2a,b,对于对于a=x0 x1 xn=b,有有f(xj)=yj(j=0,1,n).S(x)是满足是满足S(xj)=yj(j=0,1,n)的三次自然样条的三次自然样条.则有则有|S”(x)|f”(x)|证明证明:15/18第15页，共18页，编辑于2022年，星期六所以所以即即样条函数样条函数S(x)在在a,b上的总曲率最小上

9、的总曲率最小.16/18第16页，共18页，编辑于2022年，星期六一维插值一维插值:yi=interp1(x,y,xi,method)methodnearest 最近点插值最近点插值 linear 线性插值线性插值 spline 样条插值样条插值 cubic 立方插值立方插值 x=0:10;y=sin(x);xi=0:.25:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,o,xi,yi)二维插值二维插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)三维插值三维插值vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)17/18第17页，共18页，编辑于2022年，星期六例例1.正弦曲线数据插值试验正弦曲线数据插值试验第18页，共18页，编辑于2022年，星期六