数学建模决策分析幻灯片.ppt

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1、数学建模决策分析第1页，共68页，编辑于2022年，星期六决策分析模型决策分析模型 一、一、概述概述 在决策问题中，每个可供选择的方案称之为行在决策问题中，每个可供选择的方案称之为行动，记为动，记为a，而所有可能行动，而所有可能行动a a的集合称为行动空间，的集合称为行动空间，的集合称为行动空间，的集合称为行动空间，记为记为记为记为A A。行动是决策系统的自变量，它可以是连续的，。行动是决策系统的自变量，它可以是连续的，。行动是决策系统的自变量，它可以是连续的，。行动是决策系统的自变量，它可以是连续的，也可以是离散的。也可以是离散的。也可以是离散的。也可以是离散的。例如，某地要创建出租车公司，

2、制定了三种购车例如，某地要创建出租车公司，制定了三种购车方案：方案：100辆、辆、150辆、辆、200辆，这里的行动就是一个辆，这里的行动就是一个离散变量。离散变量。又如，某食又如，某食 品销售公司考虑购进一批食用油，要品销售公司考虑购进一批食用油，要制定一个利润大、库存积压少的购入量方案，这时的制定一个利润大、库存积压少的购入量方案，这时的行动就是一个连续变量。行动就是一个连续变量。2第2页，共68页，编辑于2022年，星期六 方案确定以后，所产生的后果是否唯一确定，有时还取决方案确定以后，所产生的后果是否唯一确定，有时还取决方案确定以后，所产生的后果是否唯一确定，有时还取决方案确定以后，所

3、产生的后果是否唯一确定，有时还取决于一些决策者无法控制的因素。于一些决策者无法控制的因素。于一些决策者无法控制的因素。于一些决策者无法控制的因素。在决策中，把行动确定以后，目标值所含的参数在决策中，把行动确定以后，目标值所含的参数s称称为状态，为状态，s s的集合称的集合称的集合称的集合称 作状态空间，记为作状态空间，记为作状态空间，记为作状态空间，记为。状态取值可以是连续的，也可以是离散的。例如，某企状态取值可以是连续的，也可以是离散的。例如，某企状态取值可以是连续的，也可以是离散的。例如，某企状态取值可以是连续的，也可以是离散的。例如，某企业经营是否盈利可以分为盈利、盈亏平衡、亏损三种离散

4、业经营是否盈利可以分为盈利、盈亏平衡、亏损三种离散业经营是否盈利可以分为盈利、盈亏平衡、亏损三种离散业经营是否盈利可以分为盈利、盈亏平衡、亏损三种离散状态。企业经营状况也可以使用量化指标表示成连续值。状态。企业经营状况也可以使用量化指标表示成连续值。状态。企业经营状况也可以使用量化指标表示成连续值。状态。企业经营状况也可以使用量化指标表示成连续值。行动在状态下产生的后果，可以用收益或损失表示，在行动在状态下产生的后果，可以用收益或损失表示，在行动在状态下产生的后果，可以用收益或损失表示，在行动在状态下产生的后果，可以用收益或损失表示，在决策中，收益函数、损失函数均称为决策函数，记为决策中，收益

5、函数、损失函数均称为决策函数，记为决策中，收益函数、损失函数均称为决策函数，记为决策中，收益函数、损失函数均称为决策函数，记为F F（s s，a）。）。决策函数是决策的依据，它与行动空间、状态空间一直构决策函数是决策的依据，它与行动空间、状态空间一直构决策函数是决策的依据，它与行动空间、状态空间一直构决策函数是决策的依据，它与行动空间、状态空间一直构成了决策系统，记为（成了决策系统，记为（成了决策系统，记为（成了决策系统，记为（，A A，F F）。）。）。）。3第3页，共68页，编辑于2022年，星期六决策分类确定性决策确定性决策非确定性决策非确定性决策不确定性决策不确定性决策风险决策风险决策

6、决策环境（状态空间）决策环境（状态空间）确定（唯一的）确定（唯一的）大致概率大致概率完全不确定完全不确定4第4页，共68页，编辑于2022年，星期六例例1、某石油公司计划开发海底石油，有四、某石油公司计划开发海底石油，有四种勘探方案种勘探方案 A1,A2,A3,A4可供选择。勘可供选择。勘探尚未进行，只知可能有以下三种结果：探尚未进行，只知可能有以下三种结果：S1:干井，干井，S2：油量中等，：油量中等，S3:油量丰富，油量丰富，对应于各种结果各方案的损益情况已知，对应于各种结果各方案的损益情况已知，应如何决策？应如何决策？例例2、某洗衣机厂，根据市场信息，认为全自动洗衣、某洗衣机厂，根据市场

7、信息，认为全自动洗衣机应发展滚筒式，有两种方案。机应发展滚筒式，有两种方案。A1:改造原生产线，改造原生产线，A2：新建生产线。市场调查知，滚筒式销路好的概率：新建生产线。市场调查知，滚筒式销路好的概率为为0.7，销路不好为，销路不好为0.3。两种方案下各种情况的损益。两种方案下各种情况的损益情况已知，应如何决策？情况已知，应如何决策？5第5页，共68页，编辑于2022年，星期六确定性决策方法确定性决策方法 根据行动的性质，确定性决策问题可以划分为离散型根据行动的性质，确定性决策问题可以划分为离散型和连续型两种，由于同一问题往往有多种处理方法，因和连续型两种，由于同一问题往往有多种处理方法，因

8、此，这里只能简单介绍几种常用方法。此，这里只能简单介绍几种常用方法。1、加权评分法、加权评分法 在在行动方案有限且离散的行动方案有限且离散的情况下，加权评分法是确定情况下，加权评分法是确定性问题的一种简便决策方法，该方法把方案涉及到的因性问题的一种简便决策方法，该方法把方案涉及到的因素用指标表示，同时考虑不同指标在不同方案下的不同素用指标表示，同时考虑不同指标在不同方案下的不同作用（指标值）及各指标重要性（指标权重）的差异，作用（指标值）及各指标重要性（指标权重）的差异，指标权重和指标值经算术和，综合成一个可比量值，来实指标权重和指标值经算术和，综合成一个可比量值，来实现方案选现方案选 优优。

9、这种方法能从主观和客观两方面反映问。这种方法能从主观和客观两方面反映问题，所产生的结果一般比较符合实际。题，所产生的结果一般比较符合实际。6第6页，共68页，编辑于2022年，星期六2、微分法、微分法 当行动是连续变量，或者行动虽是离散变量，当行动是连续变量，或者行动虽是离散变量，但其取值个数很多，甚至是无穷多，行动的取什但其取值个数很多，甚至是无穷多，行动的取什多一个或少一个数量间接对行动结局基本没有影多一个或少一个数量间接对行动结局基本没有影响，可用微分法求最响，可用微分法求最 佳行动。佳行动。微分法的理论依据是微分法的理论依据是极值理论极值理论，其决策准，其决策准则是；使收益函数达到最大

10、或使损失函数达到最则是；使收益函数达到最大或使损失函数达到最小的行动就是最佳行动，因此，求最佳行动就是小的行动就是最佳行动，因此，求最佳行动就是求函数的最大值（或最小值）。求函数的最大值（或最小值）。7第7页，共68页，编辑于2022年，星期六3、数学规划法、数学规划法 上面介绍的加权评分法和微分法是确定性决策方上面介绍的加权评分法和微分法是确定性决策方法中的两种古典方法，其出发点在于求收益函数的最法中的两种古典方法，其出发点在于求收益函数的最大值和损失函数的最小值。这两种方法通常适用于变大值和损失函数的最小值。这两种方法通常适用于变量不多的决策问题，随着量不多的决策问题，随着变量增加变量增加

11、其适用性越来越差。其适用性越来越差。近几十年来，随着运筹学等数学理论的发展，近几十年来，随着运筹学等数学理论的发展，以数学规划理论为基础的一整套最优化方法在决策以数学规划理论为基础的一整套最优化方法在决策方面起着越来越重要的作用。例如，处理多变量决方面起着越来越重要的作用。例如，处理多变量决策问题的线性规划法，处理离散变量决策问题的整策问题的线性规划法，处理离散变量决策问题的整数规划法等。数规划法等。8第8页，共68页，编辑于2022年，星期六第一节：不确定性决策第一节：不确定性决策例例1、电视机厂，、电视机厂，99年产品更新方案：年产品更新方案：A1：彻底改型：彻底改型 A2：只改机芯，不改

12、外壳：只改机芯，不改外壳A3：只改外壳，不改机芯：只改外壳，不改机芯问：如何决策？问：如何决策？9第9页，共68页，编辑于2022年，星期六收益矩阵：收益矩阵：高高 中中 低低 S1 S2 S3(万元万元)A1 20 1 -6A2 9 8 0 A3 6 5 4事件事件方案方案10第10页，共68页，编辑于2022年，星期六(一一)、乐观准则、乐观准则(最大最大法则最大最大法则)maxmaxVij i ij j选选A1 S1 S2 S3 Vi=maxVij A1 20 1 -6 20 A2 9 8 0 9A3 6 5 4 6maxVi=20i i 乐观原则是一种冒险的决策模式，它反映了决策者的乐

13、乐观原则是一种冒险的决策模式，它反映了决策者的乐观情绪和风险意识。这种模式适用于最好状态发生的可能观情绪和风险意识。这种模式适用于最好状态发生的可能性很大，或研究对象承受风险能力强的情况性很大，或研究对象承受风险能力强的情况。11第11页，共68页，编辑于2022年，星期六 悲观原则反映了决策者的悲观情绪，是一种悲观原则反映了决策者的悲观情绪，是一种保守的决策方法。例如，企业承受风险的能力较保守的决策方法。例如，企业承受风险的能力较差，或最坏的状态很可能发生时，常采用这种决差，或最坏的状态很可能发生时，常采用这种决策原则。策原则。(二二)、悲观准则、悲观准则(最大最小法则最大最小法则)maxm

14、inVij i ij j12第12页，共68页，编辑于2022年，星期六选选A3 S1 S2 S3 Vi=minVij A1 20 1 -6 -6 A2 9 8 0 0A3 6 5 4 4maxVi=4i ij j13第13页，共68页，编辑于2022年，星期六 悲观原则显得过于悲观保守，而乐观原则又显悲观原则显得过于悲观保守，而乐观原则又显得太冒险，这种情况下可采用乐观系数法。这种方得太冒险，这种情况下可采用乐观系数法。这种方法要求决策者首先提出一个系数法要求决策者首先提出一个系数 （用（用 表示，表示，0 1）来表示其乐观程度。决策者越乐观，）来表示其乐观程度。决策者越乐观，值越接值越接近

15、于近于1；越悲观，；越悲观，值越接近于值越接近于0。因此，这种方法。因此，这种方法叫乐观系数法。这种方法尽管避免了两种极端情况，叫乐观系数法。这种方法尽管避免了两种极端情况，但也没有利用全部可用信息，而且，乐观系数但也没有利用全部可用信息，而且，乐观系数 的的恰当确定也是一个难点。恰当确定也是一个难点。(三三)、折衷准则、折衷准则(乐观系数准则乐观系数准则)加权系数加权系数(0 1 1)max(maxVij)+(1-)(minVij)=0.6ijj14第14页，共68页，编辑于2022年，星期六选选A1 S1 S2 S3 Vi1=max Vi2=min 加权平均加权平均 A1 20 1 -6

16、20 -6 9.6A2 9 8 0 9 0 5.4A3 6 5 4 6 4 5.2max=9.6i15第15页，共68页，编辑于2022年，星期六max Vij 1 1n nn nj=1j=1i i(四四)、等可能准则、等可能准则 在缺乏准确信息的情况下，各行动状态是在缺乏准确信息的情况下，各行动状态是未知的。因此，有理由认为每一状态出现的概未知的。因此，有理由认为每一状态出现的概率是相同的。率是相同的。16第16页，共68页，编辑于2022年，星期六选选 A2 S1 S2 S3 Vi=Vij A1 20 1 -6 5 A2 9 8 0 5A3 6 5 4 5max=52 23 32 23 3

17、1 13 317第17页，共68页，编辑于2022年，星期六(五五)、后悔值准则、后悔值准则(最小机会损失最小机会损失)minmax maxVij -Vij 该原则与悲观原则相似，也带有保守该原则与悲观原则相似，也带有保守性质，反映了决策者的悲观情绪。但后悔性质，反映了决策者的悲观情绪。但后悔值原则与悲观原则又有所不同，其一是它值原则与悲观原则又有所不同，其一是它从损失的角度考虑问题，其二它又不是过从损失的角度考虑问题，其二它又不是过分保守。分保守。i ij jj j18第18页，共68页，编辑于2022年，星期六选选 A1 S1 S2 S3 S1 S2 S3 maxA1 20 1 -6 0

18、7 10 10A2 9 8 0 11 0 4 11A3 6 5 4 14 3 0 14min=1019第19页，共68页，编辑于2022年，星期六20第20页，共68页，编辑于2022年，星期六第二节：风险决策第二节：风险决策(一一)、期望值准则、期望值准则(1)、矩阵法、矩阵法例例1 S1 S2 S3 0.3 0.5 0.2 A1 20 1 -6 5.3 A2 9 8 0 6.7 A3 6 5 4 5.1SiPjAj PjVij选选 A222第22页，共68页，编辑于2022年，星期六例例2 S1 S2 P(S1)=0.7 0.3A1 500 -200 290A2 -150 1000 195

19、 PjVij分析当分析当P(S1)为何值时，方案会从为何值时，方案会从A1 A2 23第23页，共68页，编辑于2022年，星期六当当P(S1)=0.8 P(S2)=0.2时时，E(A1)=0.8500+(-200)0.2=360E(A2)=0.8(-150)+0.2(1000)=80,仍仍A1P(S1)=0.6 P(S2)=0.4时时 E(A1)=220E(A2)=310,选选A224第24页，共68页，编辑于2022年，星期六一般：一般：E(A1)=500+(1-)(-200)=700-200E(A2)=(-150)+(1-)(1000)=-1150+1000令令E1=E2 得得=0.65

20、称称=0.65为转折概率为转折概率 0.65 选选A1 100=E(A1)E(B2)=(1/2)2+(1/22)22+(1/23)23+=1+1+=10000=E(A2)因此根据期望收益最大的原则，应该选择方案因此根据期望收益最大的原则，应该选择方案B1和和B2。这会令实际的决策者难以接受。这会令实际的决策者难以接受。例例1 说明，完全根据期望收益作为评价方案的准则有时是说明，完全根据期望收益作为评价方案的准则有时是不合理的。不合理的。例例2、有甲、乙二人，甲提出请乙掷硬币，并约定：若出正、有甲、乙二人，甲提出请乙掷硬币，并约定：若出正面，乙获利面，乙获利40元；若出反面，乙向甲支付元；若出反

21、面，乙向甲支付10元。现在，乙元。现在，乙有两个选择，接受甲的建议有两个选择，接受甲的建议(方案方案A)或者不接受甲的建议或者不接受甲的建议(记为记为B)，计算可得乙的期望收益为：，计算可得乙的期望收益为：E(B)=0；E(A)=0.540-0.510=1550第50页，共68页，编辑于2022年，星期六 根据期望最大化原则，乙应该接受甲的建议。如果根据期望最大化原则，乙应该接受甲的建议。如果设乙是个穷人，手中仅有的设乙是个穷人，手中仅有的10元钱是他一家三天的口粮钱。元钱是他一家三天的口粮钱。这时，乙对甲的建议的态度会发生变化，很可能宁愿用这这时，乙对甲的建议的态度会发生变化，很可能宁愿用这

22、10元钱来买全家三天的口粮，不致挨饿，而不去冒投机的元钱来买全家三天的口粮，不致挨饿，而不去冒投机的风险。这个例子说明即使对同一个决策者来说，当其所处风险。这个例子说明即使对同一个决策者来说，当其所处的地位、环境不同时，对风险的态度一般也是不同的。的地位、环境不同时，对风险的态度一般也是不同的。上述例子说明：现实中，决策方案的确定不仅仅依据期上述例子说明：现实中，决策方案的确定不仅仅依据期望收益最大原则，常要考虑到问题发生的环境、时期及决策望收益最大原则，常要考虑到问题发生的环境、时期及决策者对问题的认知等方面因素。为此经济学家提出了效用的概者对问题的认知等方面因素。为此经济学家提出了效用的概

23、念，并在此基础上建立了效用理论。念，并在此基础上建立了效用理论。51第51页，共68页，编辑于2022年，星期六 一般来说，效用是一个属于主观范畴的概念，是衡一般来说，效用是一个属于主观范畴的概念，是衡量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各因素量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各因素的总体看法的总体看法.(1)同一货币量，在不同风险情况下，对同一决策者来说具同一货币量，在不同风险情况下，对同一决策者来说具有不同的效用值；有不同的效用值；(2)在同等风险程度下，不同决策者对风险的态度不在同等风险程度下，不同决策者对风险的态度不同，即相同的货币量在不同人看来具有不同的效用。同，即相同

24、的货币量在不同人看来具有不同的效用。效用值是一个相对的指标，它的大小表示决策者对效用值是一个相对的指标，它的大小表示决策者对于风险的态度，对某事物的倾向和偏差等主观因素的强于风险的态度，对某事物的倾向和偏差等主观因素的强弱程度。弱程度。52第52页，共68页，编辑于2022年，星期六 为此，在对某个问题提供决策的咨询意见时，我们可以通为此，在对某个问题提供决策的咨询意见时，我们可以通过与决策者进行对话，来建立相应的效用函数。此效用函数应过与决策者进行对话，来建立相应的效用函数。此效用函数应能在一定的程度上反映决策者在决策问题上的决策偏向和评价能在一定的程度上反映决策者在决策问题上的决策偏向和评

25、价标准。于是，利用这种效用函数作决策，依据的原则就称为效标准。于是，利用这种效用函数作决策，依据的原则就称为效用值准则。用值准则。在一个决策问题中，通常情况下，我们将可能得到的最大在一个决策问题中，通常情况下，我们将可能得到的最大收益值收益值b的效用值取为的效用值取为1；而把可能得到的最小收益值；而把可能得到的最小收益值a的效的效用值取为用值取为0。用效用值进行决策：首先把要考虑的因素折合成效用效用值进行决策：首先把要考虑的因素折合成效用值，然后在决策准则下选出效用值最大的方案，作为用值，然后在决策准则下选出效用值最大的方案，作为最优方案。最优方案。53第53页，共68页，编辑于2022年，星

26、期六 如何通过与决策者对话建立相应的效用函数呢？对于如何通过与决策者对话建立相应的效用函数呢？对于如何通过与决策者对话建立相应的效用函数呢？对于如何通过与决策者对话建立相应的效用函数呢？对于一个决策问题，如果最小收益值为一个决策问题，如果最小收益值为一个决策问题，如果最小收益值为一个决策问题，如果最小收益值为a a，最大收益值为，最大收益值为b b，我们以收益我们以收益x x 为自变量，为自变量，a,b b上的效用函数设为上的效用函数设为U U（x），并有），并有），并有），并有U U(a a)=0,U(b)=1。对于。对于x x a a,b,U （x）称）称为为x x 的效用值，的效用值，U

27、（x x）0,1。效用函数曲线效用函数曲线 用效用量化决策者对风险的态度对每个决策者，都用效用量化决策者对风险的态度对每个决策者，都可以确定反映他对风险态度的效用曲线，主要用对比提可以确定反映他对风险态度的效用曲线，主要用对比提问法确定效用曲线。问法确定效用曲线。54第54页，共68页，编辑于2022年，星期六对比提问法：对比提问法：设计两种方案设计两种方案 A1，A2A1：无风险可得一笔金额：无风险可得一笔金额 X2A2：以概率：以概率P得一笔金额得一笔金额 X3，以概率以概率(1-P)损失一损失一笔金额笔金额 X1X1X2X3，u(xi)表示金额表示金额xi 的效用值。的效用值。55第55

28、页，共68页，编辑于2022年，星期六在某种条件下，决策者认为在某种条件下，决策者认为A1，A2两方案等效。两方案等效。P U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)()P,x1,x2,x3 为为4个未知数。个未知数。已知其中已知其中3个可定第个可定第4个。个。56第56页，共68页，编辑于2022年，星期六提问的方式大体有提问的方式大体有3种：种：1)每次固定每次固定x1,x2,x3的值，改变的值，改变P，并向决策者提，并向决策者提问：问：“P取何值时，您认为取何值时，您认为A1和和A2等价？等价？”2)每次固定每次固定P，x2,x3x2,x3的值，改变的值，改变x1，并向决策者提问：，并

29、向决策者提问：“x1x1取何值时，您认为取何值时，您认为A1和和A2等价？等价？”3)每次固定每次固定P，x1,x2x1,x2的值，改变的值，改变x3x3，并向决策者提，并向决策者提问：问：“x3取何值时，您认为取何值时，您认为A1和和A2等价？等价？57第57页，共68页，编辑于2022年，星期六一般用改进的一般用改进的VM法，即固定法，即固定P=0.5,每次给每次给出出x1,x3，通过提问通过提问定定x2，用，用(*)求出求出U(x2)5点法，定点法，定5个点作图个点作图58第58页，共68页，编辑于2022年，星期六例例1、在某次交易中，决策者认为：、在某次交易中，决策者认为：可承担的最

30、大损失是可承担的最大损失是-1000万元万元 可获得的最大收益是可获得的最大收益是2000万元万元 U(2000)=1 U(-1000)=0提问提问(1)A1:无风险得？你觉得无风险得？你觉得A1，A2等效？等效？A2:以以0.5可能得可能得2000万，万，0.5可能损失可能损失1000万。万。回答回答 1200万，万，0.5U(2000)+0.5U(-1000)=U(1200)则则U(1200)=0.559第59页，共68页，编辑于2022年，星期六提问提问(2)A1:无风险得？你觉得无风险得？你觉得A1，A2等效？等效？A2:以以0.5可能得可能得1200万，万，0.5可能损失可能损失-1

31、000万。万。回答回答 800万，万，0.5U(1200)+0.5U(-1000)=U(800)0.50.5=U(800)=0.25提问提问(3)A1:无风险得？你觉得无风险得？你觉得A1，A2等效？等效？A2:以以0.5可能得可能得800万，万，0.5可能损失可能损失-1000万。万。回答回答 200万，万，U(200)=0.50.25=0.125 60第60页，共68页，编辑于2022年，星期六1 101000200012002002008000.50.250.250.1250.125冒险型冒险型61第61页，共68页，编辑于2022年，星期六L1L1:保守型保守型L2L2:中间型中间型L

32、3L3:冒险型冒险型62第62页，共68页，编辑于2022年，星期六(3)效用值准则决策效用值准则决策例例 A1：建大厂：建大厂 需要投资需要投资300万元万元 使用期使用期10年年 A2：建小厂：建小厂 需要投资需要投资160万元万元 使用期使用期10年年 销路销路 S1(好好)S2(差差)0.7 0.3 A1 100万元万元/年年 -20万元万元/年年 A2 40万元万元/年年 10万元万元/年年63第63页，共68页，编辑于2022年，星期六(1)期望值准则（决策树法）期望值准则（决策树法）134023建小厂建小厂建小厂建小厂A A2建大厂建大厂A1 11503400.70.30.70.

33、34010-1604010-1602402401010-1601010-160-60-6010010-30010010-300700700-2010-300-2010-300-500-50064第64页，共68页，编辑于2022年，星期六结论：应建立大厂结论：应建立大厂134023建小厂建小厂A2建大厂建大厂A13106400.70.30.70.34010100-2010年年-160-160-300-30065第65页，共68页，编辑于2022年，星期六(2)效用值准则（决策树法）效用值准则（决策树法）1)求决策者最大可能损益值求决策者最大可能损益值 建大厂销路好：建大厂销路好：700 u(700)=1 建大厂销路差：建大厂销路差：-500 u(-500)=066第66页，共68页，编辑于2022年，星期六2)效用曲线效用曲线0-5007001u(240)0.82u(-60)0.5867第67页，共68页，编辑于2022年，星期六结论：应建立小厂结论：应建立小厂10.7523建小厂建小厂A2建大厂建大厂A10.750.70.70.30.70.3u(240)=0.82u(-60)=0.58u(700)=1u(-500)=068第68页，共68页，编辑于2022年，星期六