数学基础矢量分析幻灯片.ppt

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1、数学基础矢量分析1第1页，共46页，编辑于2022年，星期六例例电电压压、温温度度、时时间间、质质量量、电电荷荷等等都都是是标标量量。实实际际上上，所所有有实实数数都都是标量。是标量。你能列举多少标量、矢量？你能列举多少标量、矢量？1-1标量和矢量标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量）和矢量(Vector)。标量标量一个仅用大小就能够完整描述的物理量一个仅用大小就能够完整描述的物理量矢量矢量一个有大小和方向的物理量一个有大小和方向的物理量力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。力、位移

2、、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。2第2页，共46页，编辑于2022年，星期六矢量矢量A在空间可用一有向线段表示在空间可用一有向线段表示几何表示几何表示ABAyxzAxBxAyByAzBzA(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)A=B3第3页，共46页，编辑于2022年，星期六1-2矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量加法矢量加法也可用平行四边形法则得到也可用平行四边形法则得到矢量加法、减法的平行四边形法则矢量加法、减法的平行四边形法则矢量加法按平行四边形法则进行矢量加法按平行四边形法则进行 矢量减法矢量减法 的始端（尾的始端（尾tail）和）和的末端（尖的末端（尖tip）重合）重

3、合两矢量相加两矢量相加两矢量相减两矢量相减B4第4页，共46页，编辑于2022年，星期六两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减直角坐标系直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)(AxBx,AyBy,BzAz)A A 1A A0 0；若处处相反，则；若处处相反，则 0。可见，环量可以用来描述矢量场的。可见，环量可以用来描述矢量场的旋旋涡涡特性。特性。24第24页，共46页，编辑于2022年，星期六由物理学得知，真空中磁感应强度由物理学得知，真空中磁感应强度B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线l 的环量等于的环量等于该闭合曲线

4、包围的传导电流强度该闭合曲线包围的传导电流强度I 与真空磁导率与真空磁导率 0的乘积。即的乘积。即式中电流式中电流I 的正方向与的正方向与dl 的方向构成的方向构成右旋右旋关系。由此可见，环量可以表示产关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的它不能显示源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。25第25页，共46页，编辑于2022年，星期六旋度：旋度：旋度是一个矢量。若以符号旋度是一个矢量。若以符号rot A 表示矢量表

5、示矢量A 的旋度，则其的旋度，则其方向是使矢量方向是使矢量A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即该矢量方向的最大环量强度，即式中式中 rot 是英文字母是英文字母rotation 的缩写，的缩写，en为为最大环量强度的方向上的单位最大环量强度的方向上的单位矢量，矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。26第26页，共46页，编辑于2022年，星期六直角坐标系中旋度可用矩

6、阵表示为直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符或用算符 表示为表示为 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示场在，它们表示场在某点某点附附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度梯度、散度及旋度描述的是场的及旋度描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。函数的连续性是可微的必要条件。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。27第27

7、页，共46页，编辑于2022年，星期六斯托克斯定理斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理建立了面积分和线定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中的场和包围中的场和包围区域区域S的闭合曲线的闭合曲线l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域S 中的场，根据斯中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界托克斯定理即可求出边界l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。或者写为或者写为28第28页，共46页，编辑于202

8、2年，星期六旋度运算规则旋度运算规则例例已知一矢量场已知一矢量场F =exxy-ey2x,试求该矢量场的旋度试求该矢量场的旋度.梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性29第29页，共46页，编辑于2022年，星期六散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零的矢量场称的矢量场称为为无旋场无旋场。1-7 1-7 无散场和无旋场无散场和无旋场两个重要公式：两个重要公式：左式表明，左式表明，任一矢量场任一矢量场A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。因此，。因此，任一无散场可以表示为另一矢

9、量场的旋度，或者说，任何旋度场一定任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。是无散场。右式表明，右式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场梯度场一定是无旋场。30第30页，共46页，编辑于2022年，星期六若矢量场若矢量场F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的，且其且其导数连续有界导数连续有界，源分布在源分布在有限有限区域区域V 中，则当矢量场的中，则当矢量场的散度散度及及

10、旋度旋度给定后，该矢量给定后，该矢量场场F(r)可以表示为可以表示为 1-8 1-8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 式中式中可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与一个与一个无散场无散场之和之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要首要问题问题。31第31页，共46页，编辑于2022年，星期六1-9正交曲面坐标系正交曲面坐标系 已知矢量已知矢量 A 在在圆柱坐标系和球坐标系中可圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示分别表示为为式中式中a,b,c 均为常数，均为常数，A 是常矢量吗？是常矢量吗？圆柱圆柱(r,z)

11、yzxP0 0=0r=r0z=z 0Oxzy=0 0 0球球(r,)r=r 0=0P0O直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O32第32页，共46页，编辑于2022年，星期六直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系单位矢量的标量积单位矢量的标量积单位矢量的矢量积单位矢量的矢量积直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O33第33页，共46页，编辑于2022年，星期六 在直角坐标系中，梯度、散度、旋度可表示为在直角坐标系中，梯度、散度、旋度可表示为34第34页，共46页，编辑于2022年，星期六圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱圆柱(

12、r,z)yzxP0 0=0r=r0z=z 0O单位矢量的点积和叉积单位矢量的点积和叉积35第35页，共46页，编辑于2022年，星期六 矢量函数矢量函数A在圆柱坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为在圆柱坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为36第36页，共46页，编辑于2022年，星期六圆柱坐标系单位矢量的变换圆柱坐标系单位矢量的变换单位矢量单位矢量和和在单位矢量在单位矢量和和上的投影上的投影 x=cos y=sin z=z 圆柱坐标与直角坐标的关系圆柱坐标与直角坐标的关系37第37页，共46页，编辑于2022年，星期六从直角到圆柱坐标系单位矢量的变换矩阵形式从直角到圆柱坐标系单位矢量的变换

13、矩阵形式将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系38第38页，共46页，编辑于2022年，星期六微分体积元微分体积元dl=d,dl=d,dlz=dz三个边长三个边长微分长度元微分长度元三个坐标面的面元三个坐标面的面元微分体积元微分体积元39第39页，共46页，编辑于2022年，星期六球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系xzy=0 0 0球球(r,)r=r 0=0P0O单位矢量的点积和叉积单位矢量的点积和叉积40第40页，共46页，编辑于2022年，星期六 矢量函数矢量函数A在球坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为在球坐标系中的梯度、

14、散度、旋度表达式分别为41第41页，共46页，编辑于2022年，星期六球坐标与直角坐标之间的关系球坐标与直角坐标之间的关系x=rsincos y=rsinsin z=rcos球坐标的三个单位矢量在球坐标的三个单位矢量在ax、ay和和az上的投影上的投影42第42页，共46页，编辑于2022年，星期六直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为将上式求逆即可得到球坐标中的单位矢量变换到直角坐标的表达式为将上式求逆即可得到球坐标中的单位矢量变换到直角坐标的表达式为43第43页，共46页，编辑于2022年，星期六微分体积元微分体积元三个边长三个边长微分长度

15、元微分长度元三个坐标面的面元三个坐标面的面元微分体积元微分体积元dlr=dr,dl=rd,dl=rsind44第44页，共46页，编辑于2022年，星期六矢量运算的几个恒等关系矢量运算的几个恒等关系从恒等关系可知，从恒等关系可知，旋度的散度等于零，而旋度的散度等于零，而梯度的旋度等于零梯度的旋度等于零45第45页，共46页，编辑于2022年，星期六小小 结结矢量的运算：矢量的运算：标量积、矢量积标量积、矢量积算符算符 既是矢量，又有微分运算功能。既是矢量，又有微分运算功能。作用于一矢量场作用于一矢量场A，如进行点积运算得，如进行点积运算得到一标量场到一标量场 A，如果进行一矢积运算可得到一矢量

16、，如果进行一矢积运算可得到一矢量A。作用于一标量场作用于一标量场u可得到一矢量场可得到一矢量场 u。矢量场矢量场A的散度的散度divA反映矢量场的通量体密度，是一标量。反映矢量场的通量体密度，是一标量。divA=A矢量场矢量场A的旋度的旋度CurlA反映矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面反映矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA=A。标量场标量场u的梯度的梯度gradu是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向gradu=u散度定理和斯托克斯定理散度定理和斯托克斯定理无散场和无旋场无散场和无旋场亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理矢量运算恒等关系矢量运算恒等关系三种坐标系中矢量的坐标分量之间的转换关系三种坐标系中矢量的坐标分量之间的转换关系46第46页，共46页，编辑于2022年，星期六