矩阵位移法哈工大结构力学.ppt

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1、关于矩阵位移法哈工大结构力学现在学习的是第1页，共64页结点：结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中取荷载作用点。图中取荷载作用点。图中取荷载作用点。图中1 1、2 2、3 3、4 4点均为点均为结点结点结点结点。单元：单元：单元：单元：两结点间的等直杆段。图中两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-43-4为为 单元单元。编码：编码：黑的结点编号称黑的结点编号称黑的结点编号称黑的结点编号称整体码整体码。红的红的1 1、2 2局限于单元，称局限于单元，称 局部码局部码局部码局部码。坐标：坐标：坐标：坐标：兰的坐标称兰的坐标称

2、整体坐标整体坐标。红的。红的x、y局限于单元，称局限于单元，称局部坐标局部坐标局部坐标局部坐标1342xy121122yx右手系右手系右手系右手系 将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为下面称为离散化离散化的工作的工作现在学习的是第2页，共64页 对于如下所示的结构，对于如下所示的结构，离散化离散化时需先做时需先做以下的工作以下的工作现在学习的是第3页，共64页基本原理：基本原理：在弹性小变形条件下，叠加在弹性小变形条件下，叠加原理成立。原理成立。已有知识：已有知识：转角位移方程、单跨梁形常转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。数和载常数。目

3、的：目的：像位移法一样，通过像位移法一样，通过“一拆、一拆、一合一合”来解决结构分析。为此，必须来解决结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。首先掌握单元的特性。现在学习的是第4页，共64页利用叠加原理利用叠加原理单元刚度方程单元刚度方程平面拉压平面拉压-(-(桁架桁架)单元单元现在学习的是第5页，共64页E EE E连续梁单元连续梁单元利用叠加原理利用叠加原理单元刚度方程单元刚度方程刚度矩阵刚度矩阵等效结点荷载矩阵等效结点荷载矩阵现在学习的是第6页，共64页不考虑轴向变形的平面梁柱单元不考虑轴向变形的平面梁柱单元q(x)根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱

4、单元的单元刚度方程为单元的单元刚度方程为现在学习的是第7页，共64页单元刚度矩阵单元刚度矩阵(应熟记应熟记)是转角位移方程的矩阵表示是转角位移方程的矩阵表示单元杆端位移矩阵单元杆端位移矩阵现在学习的是第8页，共64页单元等效结点荷载矩阵单元等效结点荷载矩阵向上满跨均布荷载向上满跨均布荷载 q 作用作用逆时针满跨均布力偶逆时针满跨均布力偶 m 作用作用根据单跨梁的载常数，可得根据单跨梁的载常数，可得现在学习的是第9页，共64页计轴向变形的平面自由式梁柱单元计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁柱补补充充现在学习的是第10页，共64页单元刚

5、度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质 根据反力互等定理，单元刚度矩阵根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。一定是对称矩阵。除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。元刚度矩阵是奇异的。解释一：从数学上看，因为存在相关的行、解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。解释二：从物理概念上看，因为杆端相当解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法外力作用下，可以产生惯性运动，

6、所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。由平衡的外荷唯一地确定位移。刚度矩阵元素刚度矩阵元素kij的物理意义为：单元的物理意义为：单元仅发生第个仅发生第个j杆端单位位移时，在第个杆端单位位移时，在第个i杆杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力端位移对应的约束上所需施加的杆端力。现在学习的是第11页，共64页 在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件的基拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方程，这是下一节将讨论的内容。程，这是下一节将讨论

7、的内容。除连续梁外，一般结构单元不全同方位，除连续梁外，一般结构单元不全同方位，为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的转换问题。转换问题。现在学习的是第12页，共64页力的转换力的转换位移的转换位移的转换将局部量向将局部量向整体量方向整体量方向投影，可得投影，可得将整体量向将整体量向局部量方向局部量方向投影，可得投影，可得第三、六两个量不存在转换问题。第三、六两个量不存在转换问题。现在学习的是第

8、13页，共64页如果记结点位移坐标转换矩阵为如果记结点位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为因此因此位移位移力力现在学习的是第14页，共64页刚度方程的转换刚度方程的转换力转换刚度方程位移转换如果记整体坐标单元刚度矩阵为如果记整体坐标单元刚度矩阵为则整体坐标单元刚度方程为则整体坐标单元刚度方程为局部坐标局部坐标现在学习的是第15页，共64页连续梁单元需要连续梁单元需要进行坐标转换吗？进行坐标转换吗？连续梁的局部坐标与整体连续梁的局部坐标与整体坐标一致，所以不需要转坐标一致，所以不需要转换。换。现在学习的是第16页，共64页桁架单元如何桁架单元如何进行坐标转换？进

9、行坐标转换？力的转换力的转换位移的转换位移的转换第一种做法第一种做法现在学习的是第17页，共64页第二种做法第二种做法位移扩展为位移扩展为刚度矩阵改为刚度矩阵改为转换矩阵转换矩阵现在学习的是第18页，共64页局部坐标与整体局部坐标与整体坐标成坐标成900时，局部单时，局部单刚和整体单刚间刚和整体单刚间有何关系？有何关系？局部坐标单元刚度矩阵局部坐标单元刚度矩阵整体坐标单元刚度矩阵整体坐标单元刚度矩阵ToTo4747现在学习的是第19页，共64页以图示简例来说明以图示简例来说明 图中有两套编号，图中有两套编号，红红的的是单元杆端编号，是单元杆端编号，黑黑的是的是结构整体编号。结构整体编号。4-1

10、)结点示意结点示意1 12 21 12 22 21 1 图中蓝色的表示结点荷载（已知），图中蓝色的表示结点荷载（已知），红红色色的表示杆端力（未知的），的表示杆端力（未知的），、分别分别、单元杆端力子矩阵。对单元杆端力子矩阵。对1、4结点结点“荷载荷载”含含有未知反力。有未知反力。2现在学习的是第20页，共64页4-2)结点平衡结点平衡 由示意图可见，由示意图可见，结构结点的平衡方程结构结点的平衡方程为为1 12 21 12 22 21 121 134 4现在学习的是第21页，共64页若记若记21 134 4则平衡方程为则平衡方程为式中式中(I)、0 分别为单位和零矩阵。分别为单位和零矩阵。现

11、在学习的是第22页，共64页若引入矩阵记号若引入矩阵记号则结点平衡方程可改写作则结点平衡方程可改写作 这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然对一切结构都是成立的。问题在于不同结构对一切结构都是成立的。问题在于不同结构，(A)矩阵是不同的。矩阵是不同的。现在学习的是第23页，共64页4-3)杆端位移用结点位移来表示杆端位移用结点位移来表示1 12 21 12 22 21 1仍以上述简单例子来说明仍以上述简单例子来说明若记若记 由结点、杆端位移的协调条件，可得由结点、杆端位移的协调条件，可得()、()的对应关系为的对应关系为 式中式中(A)T是前面力关系是

12、前面力关系(A)的转置，因此的转置，因此(A)T称为称为位移转换矩阵位移转换矩阵。现在学习的是第24页，共64页4-4)整体刚度方程整体刚度方程结点平衡结点平衡1 12 21 12 22 21 1若记若记引入位移转换关系，则引入位移转换关系，则现在学习的是第25页，共64页 这就是整体刚度方程，它的物理实质是结这就是整体刚度方程，它的物理实质是结点平衡。点平衡。(K)称作结构刚度矩阵（或整体刚度称作结构刚度矩阵（或整体刚度矩阵），矩阵），(P)称作综合等效结点荷载矩阵，它由称作综合等效结点荷载矩阵，它由两部分组成两部分组成:Pd 直接结点荷载矩阵直接结点荷载矩阵 由结点荷载组成由结点荷载组成

13、PE 等效结点荷载矩阵等效结点荷载矩阵 由单元荷载组成由单元荷载组成综合等效结点荷载矩阵综合等效结点荷载矩阵综合等效结点荷载矩阵综合等效结点荷载矩阵整体整体整体整体(总体总体总体总体)刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵整体整体整体整体(总体总体总体总体)刚度方程刚度方程刚度方程刚度方程现在学习的是第26页，共64页单元个数单元个数4-5)整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵的建立1 12 21 12 22 21 1 若将若将(A)按单元分成图按单元分成图示三个子矩阵示三个子矩阵 则则现在学习的是第27页，共64页1 12 21 12 22 21 1 由此可见，整体刚度矩阵可由此可见，整体刚度矩阵可由各

14、单元整体刚度矩阵由各单元整体刚度矩阵装配累装配累加加得到。为说明如何装配，得到。为说明如何装配，先将单元刚度矩阵进行分割先将单元刚度矩阵进行分割整体结点码整体结点码 则由矩阵乘法可证明，则由矩阵乘法可证明，(A)I(k)I(A)iT的结果是，将的结果是，将刚度矩阵子矩阵按整体结点码刚度矩阵子矩阵按整体结点码 r、s 送整体刚度矩阵送整体刚度矩阵相应位置。这一装配规则称为相应位置。这一装配规则称为“对号入座对号入座”。现在学习的是第28页，共64页整体结点码整体结点码刚刚刚刚度度度度矩矩矩矩阵阵阵阵对对对对号号号号入入入入座座座座集集集集装装装装规规规规则则则则现在学习的是第29页，共64页4-

15、6)任意结构情况任意结构情况 上面结论是通过具体例子（全刚结点平面刚架）上面结论是通过具体例子（全刚结点平面刚架）得到的，由理论分析可证明，任意结构其得到的，由理论分析可证明，任意结构其结论同结论同此例此例。1)结点位移编号结点位移编号 如果按结点顺序，对结如果按结点顺序，对结点非零位移进行依次编号，点非零位移进行依次编号，这一序号称作这一序号称作结点位移码结点位移码。为便于计算机处理并减少结为便于计算机处理并减少结构刚度矩阵的阶次，将构刚度矩阵的阶次，将零位零位移的号码变为零移的号码变为零。对图示三铰刚架，当仅对图示三铰刚架，当仅用一种单元（梁柱自由是用一种单元（梁柱自由是单元）时结点位移编

16、号如单元）时结点位移编号如图所示。图所示。2)单元定位向量单元定位向量 按单元局部结点码顺序，将结点位移码排成的按单元局部结点码顺序，将结点位移码排成的向量，称作单元的向量，称作单元的定位向量定位向量。现在学习的是第30页，共64页 对图示刚架各单元的定对图示刚架各单元的定位向量为位向量为 (0,0,1,3,4,5)(0,0,2,10,11,12)(3,4,5,6,7,8)(6,7,9,10,11,12)如果如图所示采用各种如果如图所示采用各种不同的单元不同的单元（一端有铰），（一端有铰），则定位向量为则定位向量为 (0,0,1,2,3)(0,0,6,7,8)(1,2,3,4,5)(4,5,6

17、,7,8)如何获得如何获得带铰的单元刚带铰的单元刚度矩阵和等度矩阵和等效荷载矩阵效荷载矩阵现在学习的是第31页，共64页一端带铰的单元如下图所示一端带铰的单元如下图所示 其单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可有两种方其单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可有两种方法获得：法获得：直接用形、载常数叠加来的到；直接用形、载常数叠加来的到；由自由式单元刚度方程，以铰结端弯矩为零为由自由式单元刚度方程，以铰结端弯矩为零为约束条件，从这个方程解出铰结端的转角位移约束条件，从这个方程解出铰结端的转角位移（用其它位移表示），代回其它刚度方程，整理（用其它位移表示），代回其它刚度方程，整理后即可得到。后即可得到。这类单

18、元的单元刚度矩阵可在()P.40找到现在学习的是第32页，共64页定位向量定位向量1)刚度集装刚度集装(以以 单元为例单元为例)定位向量定位向量单元局部位移码单元局部位移码4-7)按单元定位向量集装刚度矩阵和综合荷载按单元定位向量集装刚度矩阵和综合荷载 前面说明的是分块子矩阵集装前面说明的是分块子矩阵集装,下面说明如何按定位向量来集下面说明如何按定位向量来集装装.根据单元局部根据单元局部位移码和定位位移码和定位向量的对应关向量的对应关系用定位向量系用定位向量位移码送元素。位移码送元素。现在学习的是第33页，共64页位移码位移码位位移移码码总总荷荷111112121313141415152222

19、232324242525333334344444353545455555对称对称“总荷总荷”第第单元集装后的单元集装后的“总刚总刚”小结小结小结小结现在学习的是第34页，共64页2)荷载集装荷载集装 以以 单元为例来说明单元为例来说明定位向量定位向量局局部部位位移移码码此结论同样适用于刚度集装根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。现在学习的是第35页，共64页整体分析小结整体分析小结1)对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要

20、对刚 度、荷载进行坐标转换。度、荷载进行坐标转换。2)需对需对“结构结构”进行结点、位移的局部和整体编进行结点、位移的局部和整体编 号。号。4)整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条 件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。3)根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用 定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时 不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。现在学习的是第36页，共64页 5)综合荷载由两部分组成，因此

21、首先要将直接作综合荷载由两部分组成，因此首先要将直接作 用结点的荷载按结点位移码送入，如果还有单用结点的荷载按结点位移码送入，如果还有单 元等效荷载，再按定位向量集装、累加。元等效荷载，再按定位向量集装、累加。8)如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧 刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。9)9)如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将 “边界条件处理边界条件处理”。具体做法以后介绍。具体做

22、法以后介绍。7)整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。6)6)刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移 编码。编码。最大半带宽最大半带宽=定位向量中最大元素差定位向量中最大元素差定位向量中最大元素差定位向量中最大元素差+1。整体分析小结整体分析小结现在学习的是第37页，共64页4-8）边界条件的处理边界条件的处理1)乘大数法乘大数法2)置换法置换法(划零置划零置1)设第设第 i 个位移为已知值个位移为已知值 a。设第设第 i 个位移为已知

23、值个位移为已知值 a，N=108 或更大的数。或更大的数。乘大数法是乘大数法是将刚度矩阵将刚度矩阵Kii改为改为 N Kii，将，将Pi改为改为 N a。当按子矩阵当按子矩阵(后处理法后处理法)集装形成整体刚度方集装形成整体刚度方程时，整体刚度矩阵是奇异的。此外，当需分程时，整体刚度矩阵是奇异的。此外，当需分析的结构有已知支座位移时，上述两情况均需析的结构有已知支座位移时，上述两情况均需进行边界条件处理。进行边界条件处理。请考虑为什麽这样做能使边界条件得到满足？现在学习的是第38页，共64页刚度方程为：刚度方程为：上述置换工作量大一些，显然可看出边界条件得到上述置换工作量大一些，显然可看出边界

24、条件得到精确满足。精确满足。现在学习的是第39页，共64页 3)关于斜边界的处理关于斜边界的处理 如图示意的斜支座情况，有多种处理方案。如图示意的斜支座情况，有多种处理方案。3-1)通过单元的坐标转换来处理通过单元的坐标转换来处理xyr3-2)通过增加一个单元来处理通过增加一个单元来处理3-3)对整体刚度矩阵进行处理对整体刚度矩阵进行处理(参见有关教材参见有关教材)图示有斜支座单元，图示有斜支座单元，r 结点处以结点处以倾角倾角 -来进行坐标转换，也即在来进行坐标转换，也即在r 结点处整体坐标为图示结点处整体坐标为图示 xy。图示有斜支座单元，图示有斜支座单元，r 结点处沿结点处沿 y 方向增

25、加一个刚方向增加一个刚结的单元，此单元有结的单元，此单元有“无穷大无穷大”的抗拉刚度、但的抗拉刚度、但没有抗弯刚度。单元长度可任意。没有抗弯刚度。单元长度可任意。现在学习的是第40页，共64页目的：目的：为调试程序准备测为调试程序准备测试数据。试数据。元素元素Kij的物理意义：的物理意义：仅仅j位位移码处单位位移，移码处单位位移，i位移码位移码处所需施加的力处所需施加的力。举例举例 试求图示结构的整体刚度矩阵元素试求图示结构的整体刚度矩阵元素K11。根据元素物理意义，求根据元素物理意义，求K11的计算简图如有所示。的计算简图如有所示。因为仅因为仅j位移码处单位位移位移码处单位位移，故可改为，故

26、可改为5-1）“总刚总刚”元素元素现在学习的是第41页，共64页根据形常数，取隔离体如根据形常数，取隔离体如图，由此可得图，由此可得K K1111根据元素物理意义，由图根据元素物理意义，由图示计算简图还可求得示计算简图还可求得K K4141K K3131结论：结论：根据整体刚度矩阵元素的物理意义，在根据整体刚度矩阵元素的物理意义，在熟记形常数的前提下，取相关部分为对象，即熟记形常数的前提下，取相关部分为对象，即可方便地求得刚度元素。可方便地求得刚度元素。现在学习的是第42页，共64页求求K22、K23、K25、K26应取什么样的应取什么样的隔离体做计算简图？隔离体做计算简图？求求K33、K35

27、、K36应取什么样的应取什么样的隔离体做计算简图？隔离体做计算简图？现在学习的是第43页，共64页5-2）“总荷总荷”元素元素 综合结点荷载包含两综合结点荷载包含两部分：直接结点荷载和部分：直接结点荷载和单元荷载等效的结点荷单元荷载等效的结点荷载。载。因为在固端力正向因为在固端力正向和杆端力正向规定相和杆端力正向规定相同时，有同时，有 所以如图所示，将实际的固端力反向等效作所以如图所示，将实际的固端力反向等效作用于结点，由集装规则可得用于结点，由集装规则可得现在学习的是第44页，共64页 试求图示结构在所示编码下的综合结试求图示结构在所示编码下的综合结点荷载矩阵点荷载矩阵现在学习的是第45页，

28、共64页5-3）任一截面的内力计算）任一截面的内力计算 在求解整体刚度方程，获得结构位移矩阵后，根在求解整体刚度方程，获得结构位移矩阵后，根据定位向量，可得到各单元的杆端位移矩阵，由单据定位向量，可得到各单元的杆端位移矩阵，由单元刚度方程可得到单元杆端力。元刚度方程可得到单元杆端力。需注意：如图所示，单元杆端力和前几章单需注意：如图所示，单元杆端力和前几章单元杆端内力的正向规定是不同的。元杆端内力的正向规定是不同的。求得单元杆端力后，如图取隔离体，由平衡求得单元杆端力后，如图取隔离体，由平衡条件可得条件可得现在学习的是第46页，共64页现在学习的是第47页，共64页现在学习的是第48页，共64

29、页程序编制题程序编制题试参考随书光盘所给的平面与试参考随书光盘所给的平面与空间桁架计算程序（空间桁架计算程序（F90）自行编制平面刚架静力计算程序自行编制平面刚架静力计算程序返返首首现在学习的是第49页，共64页看课程教材现在学习的是第50页，共64页单元杆端位移示意单元杆端位移示意图示量均是正的图示量均是正的现在学习的是第51页，共64页单元杆端力示意单元杆端力示意图示量均是正的图示量均是正的现在学习的是第52页，共64页单一位移时的单元杆端力单一位移时的单元杆端力现在学习的是第53页，共64页单一位移时的单元杆端力单一位移时的单元杆端力现在学习的是第54页，共64页单一位移时的单元杆端力单

30、一位移时的单元杆端力现在学习的是第55页，共64页单一位移时的单元杆端力单一位移时的单元杆端力现在学习的是第56页，共64页有单元荷载时的固端力有单元荷载时的固端力图示量均是正的图示量均是正的当单元既有杆端位移，又有单元荷当单元既有杆端位移，又有单元荷载时，根据叠加原理可得载时，根据叠加原理可得现在学习的是第57页，共64页称为称为局部坐标单元杆端力矩阵局部坐标单元杆端力矩阵。式中式中称为称为局部坐标单元固端力矩阵局部坐标单元固端力矩阵。但必须注意：但必须注意：这里固端力正方向规定和前面所定义的固端这里固端力正方向规定和前面所定义的固端内力正向规定不全相同。内力正向规定不全相同。现在学习的是第

31、58页，共64页式中将杆端位移和杆端力联系起来的矩阵，式中将杆端位移和杆端力联系起来的矩阵，称为称为局部坐标单元刚度矩阵局部坐标单元刚度矩阵，记为，记为(k)e。该。该方程称为方程称为局部坐标单元刚度方程局部坐标单元刚度方程，他是单，他是单元分析的结果。元分析的结果。局部坐标局部坐标单元杆端位移矩阵。单元杆端位移矩阵。局部坐标单元刚度方程局部坐标单元刚度方程也可如下改写也可如下改写称称单元等效结点荷载矩阵单元等效结点荷载矩阵现在学习的是第59页，共64页单元刚度矩阵单元刚度矩阵具体形式和元素为具体形式和元素为现在学习的是第60页，共64页当为桁架单元时当为桁架单元时单元刚度方程改为单元刚度方程改为现在学习的是第61页，共64页当单元有零位移约束时当单元有零位移约束时单元刚度方程仍为单元刚度方程仍为但是单元刚度据阵中应该划去零位但是单元刚度据阵中应该划去零位移约束所对应的行和列。移约束所对应的行和列。位移和力的矩阵中只包含未知位位移和力的矩阵中只包含未知位移及对应的项。移及对应的项。现在学习的是第62页，共64页如不考虑轴向变形的单元如不考虑轴向变形的单元由由66刚度矩阵划去刚度矩阵划去1、4行和列后可得行和列后可得现在学习的是第63页，共64页感谢大家观看现在学习的是第64页，共64页