数值分析二分法迭代法及收敛性.ppt
《数值分析二分法迭代法及收敛性.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值分析二分法迭代法及收敛性.ppt(32页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、数值分析二分法迭代法及收敛性数值分析二分法迭代法及收敛性现在学习的是第1页,共32页3.1.1 3.1.1 引言引言本章主要讨论本章主要讨论单变量非线性方程单变量非线性方程f(x)=0 (1.1)的求根问题,这里的求根问题,这里xR,f(x)Ca,b.在科学与工程计算在科学与工程计算中有大量方程求根问题,其中一类特殊的问题是多项中有大量方程求根问题,其中一类特殊的问题是多项式方程式方程其中系数其中系数ai(i=0,1,n)为实数为实数.3.1 方程求根与二分法方程求根与二分法现在学习的是第2页,共32页n=1,2时方程的根是大家熟悉的,时方程的根是大家熟悉的,n=3,4时虽有求根公时虽有求根公
2、式但比较复杂,可在数学手册中查到,但已不适合数值计式但比较复杂,可在数学手册中查到,但已不适合数值计算,而算,而n5时就不能用公式表示方程的根时就不能用公式表示方程的根.因此,通常对因此,通常对n3的多项式方程求根与一般连续函数方程的多项式方程求根与一般连续函数方程(1.1)一样都可采用一样都可采用迭代法求根迭代法求根.现在学习的是第3页,共32页方程方程f(x)=0的的根根 x*,又称为函数又称为函数f(x)的的零点零点,它使得,它使得f(x*)=0,若,若f(x)可分解为可分解为f(x)=(x-x*)mg(x),其中其中m为正整数,且为正整数,且g(x*)0.当当m=1时,则称时,则称x*
3、为为单根单根,若,若m1称称x*为为(1.1)的的m重根重根,或,或x*为函数为函数f(x)的的m重零点重零点.若若x*是是f(x)的的m重零点重零点,则,则注:注:现在学习的是第4页,共32页3.1.2 3.1.2 二分法二分法如果如果 f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,f(a)f(b)0,则在则在a,b 内有方程的根内有方程的根.(Bisection Method)二分法原理二分法原理现在学习的是第5页,共32页二分法的实施过程二分法的实施过程取取a,b的中点的中点 将区间一分为二将区间一分为二.若若 f(x0)=0,则则x0就是方程的根就是方程的根,否则否则判别根判别根 x*在在
4、x0 的的左侧左侧还是还是右侧右侧.若若f(a)f(x0)0,则则x*(a,x0),令令 a1=a,b1=x0;若若f(x0)f(b)0,则则x*(x0,b),令令 a1=x0,b1=b.不论出现哪种情况不论出现哪种情况,(a1,b1)均为新的有根区间均为新的有根区间,它的它的长度长度只有原有根区间长度的一半只有原有根区间长度的一半,达到了达到了压缩有根区间的目的压缩有根区间的目的.现在学习的是第6页,共32页如此反复进行如此反复进行,即可的一系列即可的一系列有根区间套有根区间套 由于每一区间都是前一区间的一半,因此区间由于每一区间都是前一区间的一半,因此区间an,bn的长度为的长度为若每次二
5、分时所取区间中点都不是根,则上述过程将无限进行若每次二分时所取区间中点都不是根,则上述过程将无限进行下去下去.当当 n 时,区间必将最终收缩为一点时,区间必将最终收缩为一点x*,显然,显然 x*就是所求的就是所求的根根.现在学习的是第7页,共32页 若取区间若取区间an,bn的中点的中点作为作为x*的近似值,则有下述的近似值,则有下述误差估计式误差估计式误差估计式误差估计式只要只要 n 足够大足够大,(即区间二分次数足够多即区间二分次数足够多),误差就可足,误差就可足够小够小.二分法的误差估计二分法的误差估计现在学习的是第8页,共32页例例1 用二分法求方程用二分法求方程 f(x)=x3-x-
6、1=0在在(1,1.5)的实根的实根,要求误要求误差不超过差不超过0.005.解解 由题设条件,即:由题设条件,即:则要则要|x*-xn|0.005由此解得由此解得 取取 n=6,按二分法计算过程见下表按二分法计算过程见下表,x6=1.3242 为所求之近似根为所求之近似根.现在学习的是第9页,共32页n an bn xn f(xn)说明01234561.01.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242-+-+-(1)f(a)0(2
7、)根据精 度要求,取到小数点后四位 即可.二分法的二分法的优点优点是算法简单,且总是收敛的,是算法简单,且总是收敛的,缺点缺点是是收敛的太慢,故一般不单独将其用于求根,只是用其收敛的太慢,故一般不单独将其用于求根,只是用其为根求得一个较好的近似值为根求得一个较好的近似值.现在学习的是第10页,共32页二分法的计算步骤二分法的计算步骤:步骤步骤1 准备准备 计算函数计算函数f(x)在区间在区间a,b端点处的值端点处的值f(a),f(b).若若f(a)f(a+b)/2)0,则以则以(a+b)/2代替代替b,否则以,否则以(a+b)/2代替代替a.步骤步骤2 二分二分 计算函数计算函数f(x)在区间
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 分析 二分法 迭代法 收敛性
限制150内