数学建模公选课第六讲.ppt

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1、数学建模公选课第六讲数学建模公选课第六讲现在学习的是第1页，共44页一、数学模型一、数学模型如：如：测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.散点图第一节。回归分析第一节。回归分析现在学习的是第2页，共44页 一般地，称由一般地，称由 确定的模型为一元线性回确定的模型为一元线性回归模型。其中，未知参数归模型。其中，未知参数a、b称为回归系数，自变量称称为回归系数，自变量称为回归变量。为回归变量。称为称为y对对x的回归直线方程。的回归直线方程。一元线性回归分析的一元线性回归分析的主要任务主要任务是：是：1.用试验

2、值（样本值）对用试验值（样本值）对a、b和方差作矩估计；和方差作矩估计；2.对回归系数对回归系数a、b作假设检验；作假设检验；3.对对y作预测和区间估计。作预测和区间估计。现在学习的是第3页，共44页二、模型参数估计二、模型参数估计1、回归系数的最小二乘估计、回归系数的最小二乘估计有有n组独立观测值：组独立观测值：记最小二乘法就是选择最小二乘法就是选择a、b的估计值，使得的估计值，使得Q最小。根据极值存在最小。根据极值存在第二必要条件，得知此时第二必要条件，得知此时Q对对a和和b的二阶偏导数同时为零。的二阶偏导数同时为零。现在学习的是第4页，共44页得：检验检验（1）相关系数的检验；）相关系数

3、的检验；（2）判定系数；）判定系数；（3）线性回归方程的显著性检验；）线性回归方程的显著性检验；现在学习的是第5页，共44页现在学习的是第6页，共44页三、检验、预测与控制三、检验、预测与控制1、回归方程的显著性检验、回归方程的显著性检验现在学习的是第7页，共44页（1）相关系数的显著性检验（）相关系数的显著性检验（t检验法）检验法）提出假设：现在学习的是第8页，共44页（2）判定系数）判定系数用来衡量是否存在依存关系的指标，究竟有多大的随机影响可能性。现在学习的是第9页，共44页（3）线性回归方程的显著性检验）线性回归方程的显著性检验假设：选回归系数b的检验统计量：是回归系数b的标准差。现在

4、学习的是第10页，共44页选显著性水平，结合自由度查表得t临界值确定拒绝域现在学习的是第11页，共44页2、预测与控制、预测与控制（1）预测）预测现在学习的是第12页，共44页例：一位心理学家获得了例：一位心理学家获得了10个工人的智商值和劳个工人的智商值和劳动生产率的数据，其结果如下表所示。试拟合一动生产率的数据，其结果如下表所示。试拟合一条曲线，建立一个数学模型，并根据模型和某一条曲线，建立一个数学模型，并根据模型和某一个人的智商值个人的智商值120，预测其劳动生产率。，预测其劳动生产率。现在学习的是第13页，共44页序号序号智商智商x生生产率率yx2y2xy11105.21210027.

5、04572.0021206.01440036.00720.0031306.31690039.69819.0041265.71587632.49718.251224.81488423.04585.661214.21464117.64508.271033.0106099.00309.008982.996048.41284.209802.764007.29216.0010973.2940910.24310.40合合计110744.0124823210.845042.60现在学习的是第14页，共44页r=0.867现在学习的是第15页，共44页四、逐步回归分析四、逐步回归分析（4）“有进有出”的逐步回

6、归分析。（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；选择“最优”的回归方程有以下几种方法：“最最优优”的的回回归归方方程程就是包含所有对Y有影响的变量,而不包含对Y影响不显著的变量回归方程。以第四种方法，即逐步回归分析法逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.现在学习的是第16页，共44页 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。逐步回归分析法逐步回归分析法的思想：从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程。当

7、引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。返回返回现在学习的是第17页，共44页第二节。统计工具箱中的回归分析命令第二节。统计工具箱中的回归分析命令1、多元线性回归、多元线性回归2、多项式回归、多项式回归3、非线性回归、非线性回归4、逐步回归、逐步回归返回返回现在学习的是第18页，共44页多元线性回归多元线性回归 b=regress(Y,X)1、确定回归系数的点估计值：确定回归系数的点估计值：现在学习的是第19页，共44页

8、3、画出残差及其置信区间：画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p置信区间 显著性水平（缺省时为0.05）现在学习的是第20页，共44页1、输入数据：输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1)x;

9、Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;解：解：例例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：现在学习的是第21页，共44页2、回归分析及检验：回归分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,statsTo MATLAB(liti11)题目现在学习的是第22页，共44页3、残差分析，作残差图：、残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint)从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零

10、点，这说明回归模型均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常数据可视为异常点点.4、预测及作图：、预测及作图：z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,k+,x,z,r)To MATLAB(liti12)现在学习的是第23页，共44页多多项项式式回回归归（一）一元多项式回归（一）一元多项式回归（1）确定多项式系数的命令：p，S=polyfit（x，y，m）（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）1、回归：、回归：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、

11、预测和预测误差估计：、预测和预测误差估计：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预 测值Y；（2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得 的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5.现在学习的是第24页，共44页法一法一 直接作二次多项式回归：直接作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 1

12、29.54 146.48;p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21）得回归模型为：现在学习的是第25页，共44页法二法二化为多元线性回归：化为多元线性回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1)t(t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,statsTo MATLAB(liti22)得回归模型为：Y=polyconf(p,t,S)p

13、lot(t,s,k+,t,Y,r)预测及作图预测及作图To MATLAB(liti23)现在学习的是第26页，共44页（二）多元二项式回归（二）多元二项式回归命令：rstool（x，y，model,alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量现在学习的是第27页，共44页例例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.法一法一 直接用多元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=

14、100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2;rstool(x,y,purequadratic)现在学习的是第28页，共44页在画面左下方的下拉式菜单中选在画面左下方的下拉式菜单中选”all”,则则beta、rmse和和residuals都传都传送到送到Matlab工作区中工作区中.在左边图形下方的方框中输入在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入，右边图形下方的方框中输入6。则画面左边的则画面左边的“PredictedY”下方的数据变为下方的数据变为88.47981，即预测出平均收入为，即预测出平均收入为1000、价格为、价格为6时的商

15、品需求量为时的商品需求量为88.4791.现在学习的是第29页，共44页在Matlab工作区中输入命令：beta,rmseTo MATLAB(liti31)现在学习的是第30页，共44页结果为:b=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats=0.9702 40.6656 0.0005法二法二To MATLAB(liti32)返回返回将 化为多元线性回归：现在学习的是第31页，共44页非线性回非线性回归归（1）确定回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x，y，model,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，mod

16、el,beta0，alpha）1、回归：、回归：残差Jacobian矩阵回归系数的初值是事先用m-文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据x、y分别为 矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。2、预测和预测误差估计：、预测和预测误差估计：Y，DELTA=nlpredci（model,x，beta，r，J）求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA.现在学习的是第32页，共44页例例4 对第一节例2，求解如下：2、输入数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93

17、 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;3、求回归系数：beta,r,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)；beta得结果：beta=11.6036 -1.0641即得回归模型为：To MATLAB(liti41)现在学习的是第33页，共44页4、预测及作图：YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r)To MATLAB(liti42)现在学习的是第34页，共44页例例5财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口

18、、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。解解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为y，设变量之间的关系为：y=ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非线性回归方法求解。现在学习的是第35页，共44页1对回归模型建立对回归模型建立M文件文件model.m如下如下:function yy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=

19、X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;现在学习的是第36页，共44页2.主程序主程序liti6.m如下如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 .2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00.271.00 230.00

20、 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00.564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00.890.00 826.00 810.0;beta0=0.50-0.03-0.60 0.01-0.02 0.35;betafit=nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6）现在学习的是第37页，共44页 betafit=0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y=0.5243x1-0.0

21、294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6结果为结果为:现在学习的是第38页，共44页逐逐步步回回归归逐步回归的命令是：stepwise（x，y，inmodel，alpha）运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.矩阵的

22、列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）显著性水平（缺省时为0.5）自变量数据,阶矩阵因变量数据，阶矩阵现在学习的是第39页，共44页例例6 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、x4 有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模 型.1、数据输入：、数据输入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 2

23、6 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;现在学习的是第40页，共44页2、逐步回归：、逐步回归：（1）先在初始模型中取全部自变量：）先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table图图StepwisePlot中四条直线都是虚线，说中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好明模型的显著性不好从表从表StepwiseTable中看出变量中看出变量x3和和x4的显著性最差的显著性

24、最差.现在学习的是第41页，共44页（2）在图）在图StepwisePlot中点击直线中点击直线3和直线和直线4，移去变量，移去变量x3和和x4移去变量移去变量x3和和x4后模型具有显著性后模型具有显著性.虽然剩余标准差（虽然剩余标准差（RMSE）没有）没有太大的变化，但是统计量太大的变化，但是统计量F的的值明显增大，因此新的回归模型更好值明显增大，因此新的回归模型更好.To MATLAB(liti51）现在学习的是第42页，共44页（3）对变量）对变量y和和x1、x2作线性回归：作线性回归：X=ones(13,1)x1 x2;b=regress(y,X)得结果：b=52.5773 1.4683 0.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2To MATLAB(liti52）现在学习的是第43页，共44页谢谢 谢！谢！现在学习的是第44页，共44页