第三节全微分及其应用精选文档.ppt

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1、第三节全微分及其应用本讲稿第一页，共二十五页一、全微分的定义本讲稿第二页，共二十五页全微分的定义全微分的定义本讲稿第三页，共二十五页本讲稿第四页，共二十五页 对照一元函数的微分对照一元函数的微分,z=f(x,y),若若 z=A x+0(x)则则dz=A x=f (x0)x.自然会提出以下问题自然会提出以下问题.(1)若若z=f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微,微分式微分式 dz=A x+B y中系数中系数 A,B 如何求如何求,是否与是否与z的偏导有关的偏导有关?(2)在一元函数中在一元函数中,可微与可导是等价的可微与可导是等价的.在二元在二元函数中函数中,可微与存在两个偏导是否也等价

2、可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中在一元函数中,可微可微连续连续,对二元函数是否对二元函数是否也对也对?本讲稿第五页，共二十五页证证二、可微的条件根据全微分的定义根据全微分的定义本讲稿第六页，共二十五页本讲稿第七页，共二十五页证证总成立总成立,同理可得同理可得本讲稿第八页，共二十五页一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，本讲稿第九页，共二十五页则则当当 时，时，本讲稿第十页，共二十五页说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，

3、微分存在，证证本讲稿第十一页，共二十五页（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）本讲稿第十二页，共二十五页同理同理本讲稿第十三页，共二十五页习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数本讲稿第十四页，共二十五页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在本讲稿第十五页，共二十五页解解所求全微分所求全微分本讲稿第十六页，共二十五页解解本讲稿第十七页，共二十五页解解所求全微分所求全微分本讲稿第十八页，共二十五页本讲稿第十九页，共二十五页证证令令则则同理同理本讲稿第二十页，共二十五页不存在不存在.本讲稿第二十一页，共二十五页本讲稿第二十二页，共二十五页本讲稿第二十三页，共二十五页、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结本讲稿第二十四页，共二十五页思考题思考题本讲稿第二十五页，共二十五页