数学能力与数学思想幻灯片.ppt

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1、数学能力与数学思数学能力与数学思想想第1页，共57页，编辑于2022年，星期六计算能力 理解能力 空间想象能力抽象概括能力推证能力解决问题的能力数据处理能力创新能力逻辑思维能力选择判断能力第2页，共57页，编辑于2022年，星期六A运用计算的基本法则和性质化简的能力B运用数学基本公式和计算方法的能力C掌握用组合优化的正确次序解题的能力D.能根据要求对数据进行估计和近似计算的能力.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中

2、的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.第3页，共57页，编辑于2022年，星期六A知道所给数学专业用语，记号，式子，图像，表格的含义，并可以运用相应的性质B.掌握并会运用与所给问题相关的数学概念及性质C.掌握教科书中的例题并会解与此类题 D.可以把文字叙述转换为用数学用语，数学公式，记号，式子，图像，表格表述的数学语言E.可以把用数学用语，数学公式，记号，式子，图像，表格表述的数学语言转化成文字叙述的方式。第4页，共57页，编辑于2022年，星期六A.能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；B.能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；C.能对图形进行分解、组合

3、；D.会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志.第5页，共57页，编辑于2022年，星期六抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.抽

4、象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.第6页，共57页，编辑于2022年，星期六会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.第7页，共57页，编辑于2022年，星期六A.发现式的推证能力a.通过举，算术，观察等方法发现解决问题核心原理的能力。b.通过类推发现解决问题核心原理的能力。B.演绎式的推证能力a.利用数学的概念，原理，法则推出相关的性质并会判别命题的真

5、假。b.理解给出的定义，推出相关的性质的能力c.举出反例判断命题真假的能力d.证明能力第8页，共57页，编辑于2022年，星期六A.解决数学问题的能力a.掌握相关连的两个以上的数学概念，原理，法则，会解综合问题b.会解需思考两步以上的问题B.解决非完全数学问题的能力a.能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；b.能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；c.应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系

6、，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.第9页，共57页，编辑于2022年，星期六数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础上发展起来的制造性思维能力，探索的过程实质上是一个不断提出设想，验证设想，修正和发展设想的过程，在数学中，它表现在提出数学问题，探求数学结论，探索解题途径，寻找解题规律等一系列有意义的发现活动之中，而数学探索能力就集中地表现为提出设想和进行转换的本领。数学探索能力是数学思维能力中最富有创造性的要素，也是最难培养和发展的要素。探索能力强的学生，能迅速地轻易地从一种心理运算转到另一种心理运算，表现出较强的灵活性，在对思维活动的定向、调节和控制上，有

7、较强的监控能力，对思维过程有较强的自我意识，善于提出问题，敢于大胆猜想。第10页，共57页，编辑于2022年，星期六是指正确、合理思考的能力。即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力,采用科学的逻辑方法,准确而有条理地表达自己思维过程的能力。逻辑思维能力不仅是学好数学必须具备的能力，也是学好其他学科，处理日常生活问题所必须的能力。数学是用数量关系（包括空间形式）反映客观世界的一门学科，逻辑性很强、很严密.第11页，共57页，编辑于2022年，星期六选择、判断能力是数学创造能力的重要组成部分。选择、判断不仅表现为对数学推理的基础过程及结论正误的判定，还表现为对数学命题、事

8、实、数学解题思路、方法合理性的估计以及在这个估计的基础上作出的选择，判断能力实际上是思维者对思维过程的自我反馈能力。具有选择判断能力的学生，在判断选择中较少受表面非本质的因素的干扰，判断的准确率较高，判断迅速，对作出的判断具有清晰的认识，能区分逻辑判断和直觉猜测，他们具有明显的追求最合理的解法，探究最清晰，最简单同时也是最优美的解法的心理倾向。第12页，共57页，编辑于2022年，星期六这是我们现在数学能力的框架，可能随着工作的进展还需要一些补充，实施方法如下先把这些能力和韩国高考题对号入座对号分成两种形式第一种，是各个数学题用到了哪几种数学能力第二种是，在这个能力中寻找具有代表性的题，连接起

9、来如果还有的韩国高考题不能用现有的文件表示出来，就需要对刚才的文件补充，即，补充后可以描述韩国各个高考题最终使我们的“数学能力”的文件与韩国高考真题与韩国高考模拟题，建立对应的关系之后在加入我们自己制作的题这样，以后涉及程序，按照相应的分类，从分好的部分在选题提供的用户以上是框架比如 计算能力我们在计算能力下，归类了许多题然后再把计算能力下的题，按难度分组然后根据用户的要求，从各个分组里面选题提供给顾客第13页，共57页，编辑于2022年，星期六第14页，共57页，编辑于2022年，星期六 1 1学生答题正确率学生答题正确率2 2完成每道题目时间完成每道题目时间3 3每道题自身的难易度每道题自

10、身的难易度第15页，共57页，编辑于2022年，星期六【时间：30分钟】【题数：6道题】【总分：100分】第16页，共57页，编辑于2022年，星期六答案答案【分分值值：2 20 0分分；时时间间：6 6分分钟钟】第17页，共57页，编辑于2022年，星期六答案答案【分分值值：2 20 0分分；时时间间：6 6分分钟钟】第18页，共57页，编辑于2022年，星期六答案答案【分分值值：2 20 0分分；时时间间：6 6分分钟钟】第19页，共57页，编辑于2022年，星期六答案答案【分分值值：2 20 0分分；时时间间：6 6分分钟钟】第20页，共57页，编辑于2022年，星期六返回返回第21页，

11、共57页，编辑于2022年，星期六返回返回第22页，共57页，编辑于2022年，星期六返回返回第23页，共57页，编辑于2022年，星期六返回返回第24页，共57页，编辑于2022年，星期六 能能力力A AB BC C总分总分 1 1 2 2 3 3总分总分测试结果第25页，共57页，编辑于2022年，星期六第26页，共57页，编辑于2022年，星期六 例1、如图，图形（一）可以折叠出下面的哪些图形。（）A、甲 B、乙 C、甲、乙 D、乙、丙 E、甲、乙、丙第27页，共57页，编辑于2022年，星期六解析：根据图（一）可以看出 与 相对，与 相对，与 相对，所以显然甲不适合。乙可以展开成 满足

12、图形（1），丙可以展开成 也满足图形（1），所以选D第28页，共57页，编辑于2022年，星期六例2、如图有甲、乙两只蚂蚁分别位于一个圆柱形井底部的B、C两点，在井的上底面点A处有食物。已知井的底面半径长4m，高8m，点A、B、C所在平面正好平分圆柱，蚂蚁甲的速度为40m/h，蚂蚁乙的速度为30m/h。蚂蚁甲能否比蚂蚁乙更快拿到食物？第29页，共57页，编辑于2022年，星期六解析：易知蚂蚁乙从点C到点A所需时间为 蚂蚁甲想要尽快拿到食物就必须找出从点B到点A的最短路线。圆柱的侧面展开图为长方形，如图 从点B到点A的最短路线长就是图中矩形的线段AB的长度 易知AC=8m，BC就是圆柱底面周长的

13、一半26m AB=10m 蚂蚁甲从点B到点A所需最短时间为：，所以蚂蚁甲能比蚂蚁乙更快拿到食物。第30页，共57页，编辑于2022年，星期六1.对一批编号为1100，全部开关朝上（开）的灯依次进行以下操作：凡是1的倍数的灯反方向拨一次开关。凡是2的倍数的灯反方向拨一次开关。凡是3的倍数的灯反方向拨一次开关。以此类推。则最后开关朝下（关）的灯有多少只？8 9 10 11 12 解析：对编号为1的灯，共进行过1次操作，该灯开关朝下；对编号为2的灯，共进行过2次操作，该灯开关朝上；第31页，共57页，编辑于2022年，星期六对编号为3的灯，共进行过2次操作，该灯开关朝上；对编号为4的灯，共进行过3次

14、操作，该灯开关朝下；以此类推，可知，编号为 的灯，其开关是朝下的，其余的灯开关是朝上的。又当 时，最后开关朝下（关）的灯有10个。选。第32页，共57页，编辑于2022年，星期六 2.某天一艘海盗船被天上砸下来的一块石头给击中了，4个倒霉的家伙只好逃难到一个孤岛，发现岛上孤零零的，幸好有棵椰子树，还有一只猴子。大家把椰子全部采摘下来放在一起，但是天已经很晚了，所以大家就决定先去睡觉。晚上有个家伙悄悄地起床，悄悄地将椰子分成4份，结果发现多一个椰子，顺手就给了幸运的猴子，然后又悄悄地藏了一份，然后把剩下的椰子混在一起放回原处，最后还是悄悄地回去睡觉了。过了一会，另一个家伙也悄悄地起床，悄悄地将剩

15、下的椰子分成4份，结果发现多了一个，顺手又给了幸运的猴子，然后又悄悄地藏了一份，把剩下的椰子混在一起放回原处，最后还是悄悄地回去睡觉了。又过了一会 又过了一会 总之，4个家伙都起床过，都做了一样的事情。早上大家都起床，各自心怀鬼胎地分椰子了，这个猴子还不是一般的幸运，因为这次把椰子分成4份后居然还是多一个椰子，只好又给它了。当这堆椰子的数量最少的时候，4个人中分得的椰子最少的那个人得到了多少个椰子？186 187 188 189 190第33页，共57页，编辑于2022年，星期六解析：设椰子的总数为n-3个，天亮后每人分到的个数为a，则1/43/43/43/43/4n=a，81/1024n=a

16、，因为a为整数，所以n的最小值为1024，即这堆椰子最少有1024-3=1021个。所以整个分椰子的过程如下：1021=2554+1，2553=765=1914+1，1913=573=1434+1，1433=429=1074+1，1073=321=804+1，所以，分得的椰子最少的那个人得到了椰子总数为107+80=187个。选。第34页，共57页，编辑于2022年，星期六3.有6个不同国籍的人，他们的名字分别为A、B、C、D、E、F，他们的国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄罗斯、意大利（名字顺序和国籍顺序不一定一致）。现已知：（1）A和美国人是医生；（2）E和俄罗斯人是教师；（3）C和德国

17、人是工程师；（4）B和F曾经当过兵，但德国人从来没有当过兵；（5）法国人比A年龄大，意大利人比C年龄大；（6）B和美国人下周要到英国去旅行，C和法国人下周要到瑞士去度假。D的国籍是哪一个？美国 德国 法国 俄罗斯 意大利第35页，共57页，编辑于2022年，星期六解析：由（3）知道C不是德国人，由（5）知道C不是意大利人，由（6）知道C不是美国人也不是法国人。又因为C是工程师，而根据（2）知道C不是俄国人，所以C是英国人。根据（1）知道A不是美国人，根据（2）和（3）知道A不是俄罗斯人也不是德国人。根据（5）知道A不是法国人，所以就A应该是意大利人。根据（6）知道B不是美国人也不是法国人，根据

18、（4）知道B不是德国人，所以B应该是俄罗斯人。根据（2）、（1）、（3）知道E不是美国人也不是德国人，那么E就应该是法国人。根据（4）知道F不是德国人，所以F应该是美国人。最后，D就是德国人。选。第36页，共57页，编辑于2022年，星期六4.甲、乙、丙是某教授的3个学生，三人都足够聪明。教授发给他们3个数字（自然数，没有0），每人1个数字，并告诉他们这3个数字之和是14。甲马上说：“我知道乙和丙的数字是不相等的！”乙接着说：“我早就知道我们3个人的数字都不相等了！”丙听到这里马上说：“哈哈，我知道我们每个人呢的数字都是几了！”那么这3个数字中最大的数是多少？4 5 6 7 8第37页，共57

19、页，编辑于2022年，星期六解析：甲说：“我知道乙和丙的数字是不相等的！”所以，甲的数字是单数。只有这样才能确定乙和丙的数字和是个单数，所以肯定不相等。乙说：“我早就知道我们3个人的数字都不相等了！”说明乙是大于6的单数。因为只有他的数字式大于6的单数，才能确定甲的单数和他的不相等。而且一定比自己的小，否则和会超过14。这样，丙的数字就只能是双数了。又丙说他知道每个人手中的数字了，那他根据自己手上的数字知道甲乙的数字和，又知道其中一个大于6的单数，且另一个也是单数，可知这个和是唯一的，那就是7+1=8。如果甲乙的数字之和大于8，比如是10，那么甲乙的数字就有两种情况，9+1或7+3。这样的话，

20、丙就不可能知道甲乙手中的数字了。所以甲乙丙手上的数字分为是1，7，6，即这3个数字中最大的数字为7。选。第38页，共57页，编辑于2022年，星期六函数思想方程思想数形结合思想分类讨论思想整体思想转化思想隐含条件思想类比思想建模思想化归思想归纳推理思想参数思想符号思想演绎思想第39页，共57页，编辑于2022年，星期六用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想。第40页，共57页，编辑于2022年，星期六从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相

21、转化、接轨，达到解决问题的目的。第41页，共57页，编辑于2022年，星期六“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求 的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成求一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离和的最小值，就可以求出它的最小值。第42页，共57页，编辑于2022年，星期六当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式 的时候，就要讨论 的取值

22、情况。第43页，共57页，编辑于2022年，星期六从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。第44页，共57页，编辑于2022年，星期六将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学

23、的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。第45页，共57页，编辑于2022年，星期六没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。第46页，共57页，编辑于2022年，星期六把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。第47页，共57页，编辑于2022年，星期六为了使一个实际现象描述得更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，采用一种普遍认为比较严格的语

24、言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。第48页，共57页，编辑于2022年，星期六化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等。实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等转化思想。第49页，共57页，编辑于2022年，星期六由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。第50页，共57页，编辑于20

25、22年，星期六参数思想是一种重要的数学思想。尤其是在运动变化型问题中，如果能认真分析事物运动变化的机理及相互制约因素，适时进行变量扩张，引入相关变量作为参数，以参变量为桥梁，沟通变量之间的联系，明确相关两个变量之间的函数关系，既有利地揭示运动变化的本质规律，而且还能把变化中的多个状态统一体现于一个字母化的参变量上，借用统一的表达式进行研究.第51页，共57页，编辑于2022年，星期六有意识地、普遍地运用符号去概括、表述、研究数学。第52页，共57页，编辑于2022年，星期六从普遍性结论或一般性事理推导出个别性结论的思想第53页，共57页，编辑于2022年，星期六逻辑学中的方法逻辑学中的方法 数

26、学中的一般方法数学中的一般方法 数学中的特殊方法数学中的特殊方法 第54页，共57页，编辑于2022年，星期六分析法(包括逆证法)综合法 反证法同一法归纳法穷举法递推法倒推法假设法演绎法类比法第55页，共57页，编辑于2022年，星期六建模法消元法降次法代入法图像法比较法放缩法向量法数学归纳法罗列法数数法特殊值法（含特殊值、特殊位置、特殊图形）定义法估算法推演法排除法验证法直接法构造法转化法单调性法最值法参数方程法试验法 第56页，共57页，编辑于2022年，星期六配方法待定系数法分离系数法加减（消元）法公式法换元法拆项补项法裂项相消法错位相减法差分法并项法 倒序相加法 因式分解法平行移动法翻折法割补法判别式法迭加法极限法对称法迭乘法反解法逆代法平方法反函数法面积法 几何变换法 有理化第57页，共57页，编辑于2022年，星期六