第5讲第二章 向量组的线性相关性精选文档.ppt

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1、第5讲第二章 向量组的线性相关性本讲稿第一页，共二十五页第一节 n维向量一、n维向量的定义本讲稿第二页，共二十五页二、向量的线性运算二、向量的线性运算向量与向量之间的加法运算：向量与向量之间的加法运算：向量与数的乘法运算：向量与数的乘法运算：彼此之间的彼此之间的8 8条运算性质：条运算性质：本讲稿第三页，共二十五页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组组成的集合叫做向量组例如例如三、向量、向量组与矩阵三、向量、向量组与矩阵本讲稿第四页，共二十五页向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组本讲稿第五页，共二十五页

2、反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵矩阵.本讲稿第六页，共二十五页第二节第二节 线性相关与线性无关线性相关与线性无关一、向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关 注注1 1：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量具有线性相关性，：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量具有线性相关性，一类是组内的向量具有线性无关性；所谓讨论向量组的线性相关性指的是一类是组内的向量具有线性无关性；所谓讨论向量组的线性相关性指的是要你判断它属于哪一类要你判断它属于哪一类注注2

3、2：所有含零向量的向量组一定是线性相关的所有含零向量的向量组一定是线性相关的本讲稿第七页，共二十五页例例本讲稿第八页，共二十五页线性无关的等价定义反之亦然:本讲稿第九页，共二十五页例例本讲稿第十页，共二十五页二、向量的线性表示二、向量的线性表示 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示本讲稿第十一页，共二十五页例例本讲稿第十二页，共二十五页线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应本讲稿第十三页，共二十五页三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系1 1、线性齐次方程

4、组、线性齐次方程组矩阵形式：矩阵形式：线性组合形式线性组合形式结论结论1 1：线性齐次方程组有非零解当且仅当：线性齐次方程组有非零解当且仅当：线性相关线性相关结论结论2 2：线性齐次方程组有只有零解当且仅当：线性齐次方程组有只有零解当且仅当：线性无关线性无关本讲稿第十四页，共二十五页三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系2 2、线性非齐次方程组、线性非齐次方程组矩阵形式：矩阵形式：线性组合形式线性组合形式结论结论3 3：线性齐次方程组有解当且仅当：向量：线性齐次方程组有解当且仅当：向量b b可以由向量可以由向量组组 线性表示线性表示本讲稿第十五

5、页，共二十五页四、向量组中成员的增减对相关性的影响四、向量组中成员的增减对相关性的影响1 1、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。2 2、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。3 3、（定理、（定理3 3）线性无关的向量组增加向量）线性无关的向量组增加向量b b后的向量组线性相关：后的向量组线性相关：则向量则向量b b可以向量组的成员线性表示，且表示法唯一。可以向量组的成员线性表示，且表示法唯一。本讲稿第十六页，共二十五页四、向量组中成员增减分量对相关性的影响四、向

6、量组中成员增减分量对相关性的影响1 1、线性相关的向量组：减少分量后的向量组仍然线性相关。、线性相关的向量组：减少分量后的向量组仍然线性相关。2 2、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。3 3、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。本讲稿第十七页，共二十五页一个向量组成的向量组的线性相关性：一个向量组成的向量组的线性相关性：向量组向量组 线性相关线性相关或者或者向量组向量组 线性无相关线性无相关证明：证明：本讲稿第十八页，共二十五页两个向量组成的向量组的线性相关性：两个

7、向量组成的向量组的线性相关性：向量组向量组 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 对应分量成比例对应分量成比例或者或者向量组向量组 线性无相关的充分必要条件是线性无相关的充分必要条件是 对应分量不成比例对应分量不成比例例例证明：证明：本讲稿第十九页，共二十五页六、线性相关与线性表示的关系 定理定理2 2 向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量是其它向量的线性表示。少有一个向量是其它向量的线性表示。定理定理2 2 向量组线性无相关的充分必要条件是向量组向量组线性无相关的充分必要条件是向量组中任一个向量都不能被其它向量的线性表示。中

8、任一个向量都不能被其它向量的线性表示。例例本讲稿第二十页，共二十五页七、向量组线性相关性判别七、向量组线性相关性判别第一步：将第一步：将m m维向量组的维向量组的n n个向量写成列向量得到矩阵个向量写成列向量得到矩阵A A；第二步：将第二步：将 矩阵矩阵A A作初等行变换化成行阶梯矩阵，作初等行变换化成行阶梯矩阵，得非零行的行数得非零行的行数r r；第三步：如果第三步：如果rnrn，则向量组线性相关；如果，则向量组线性相关；如果r=nr=n，则向量，则向量 组线性无关。组线性无关。例例思考：如果向量组的成员数大于它的维数，向量组线性相关性是思考：如果向量组的成员数大于它的维数，向量组线性相关性

9、是怎样的？怎样的？本讲稿第二十一页，共二十五页八、小结两个概念：两个概念：四个定理：四个定理：1、向量组增减向量对线性相关性影响定理、向量组增减向量对线性相关性影响定理2、向量组增减向量分量对线性相关性影响定理、向量组增减向量分量对线性相关性影响定理3、线性相关向量组中必有向量可以被其它向量表示、线性相关向量组中必有向量可以被其它向量表示定理定理4、线性无关相关向量组加一个向量变成线性相、线性无关相关向量组加一个向量变成线性相关的，则新加向量可以被其它向量表示定理关的，则新加向量可以被其它向量表示定理向量组的线性相关线性无关；向量组的线性相关线性无关；向量的线性表示向量的线性表示本讲稿第二十二页，共二十五页下列条件不是向量组线性无关的必要条件的是(）。都不是零向量；中任意两个都不成比例；中至少有一个向量可由其它向量线性表示；中任一部分线性无关。A.B.C.D.本讲稿第二十三页，共二十五页有向量组,（）时,是的线性组合。A.B.C.D.本讲稿第二十四页，共二十五页设,问是否线性相关？本讲稿第二十五页，共二十五页