数理逻辑与二元关系幻灯片.ppt

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1、数理逻辑与二元关系数理逻辑与二元关系第1页，共17页，编辑于2022年，星期六1.3 1.3 无限集无限集质质 变变 无限集合无法用确切的元素个数来描述，无限集合无法用确切的元素个数来描述，因此，因此，无限集合有许多有限集合所没有的一些特征，而有限集合无限集合有许多有限集合所没有的一些特征，而有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改。推广，也要做某些意义上的修改。有限集有限集无限集无限集量量 变变2022/9/232022/9/23第2页，共17页，编辑于2022年，星期六1.3.1 1.3.1 可

2、数集合和不可数集合可数集合和不可数集合 二二十十世世纪纪初初，集集合合成成为为数数学学的的基基本本概概念念之之后后，由由冯冯 诺诺依依曼曼（Von Von NeumannNeumann，J J）用用集集合合的的方方式式来来定义自然数取得了成功，提出了用序列定义自然数取得了成功，提出了用序列 ，,，,，来定义自然数。来定义自然数。2022/9/232022/9/23第3页，共17页，编辑于2022年，星期六自然数集合自然数集合N N的定义的定义 N N，若若n n N N，则，则n n:n n nn N N。也即：也即：0:0:，1:1:00，2:2:,0,10,1 .n:n:0,1,2,3,.

3、n-10,1,2,3,.n-1 .故故 N N0,1,2,3,.,n,.0,1,2,3,.,n,.2022/9/232022/9/23第4页，共17页，编辑于2022年，星期六等势的概念等势的概念 定定义义1.3.11.3.1 设设A A，B B是是两两个个集集合合，若若在在A A，B B之之间间存在存在1-11-1对应对应的关系：的关系：ABAB则称则称A A与与B B是是等势的等势的(equipotential)(equipotential)，记为：，记为：A A B B。也称集合也称集合A A与与B B等势等势(equipotent)(equipotent)。注意：注意：若若A AB B

4、，则，则 A A B B。若若A A B B，则，则 A AB B （）（）2022/9/232022/9/23第5页，共17页，编辑于2022年，星期六可数集合可数集合(可列集）可列集）义义定定1.3.21.3.2 与与是是凡凡合合集集数数然然自自，合合集集的的势势等等为为称称统统合合集集数数可可(集集列列可可)Set Set)(Countable)(Countable 可可。数集合记为：数集合记为：0 0(读作读作阿列夫零阿列夫零)。例例1.3.11.3.1 下列集合都是可数集合：下列集合都是可数集合：1)O1)O+x|xx|x N N，x x是正奇数是正奇数;2)P 2)Px|xx|x

5、N N，x x是素数是素数;3)3)有理数集合有理数集合Q.Q.2022/9/232022/9/23第6页，共17页，编辑于2022年，星期六解：解：1 1）在在O O+与与N N之间建立之间建立1-11-1对应的关系对应的关系 f f：NONO+如下：如下：N N .O O+.2n+1.2n+1.所以，所以，O O+是可数集合。是可数集合。2022/9/232022/9/23第7页，共17页，编辑于2022年，星期六2 2）在在P P与与N N之间建立之间建立1-11-1对应的关系对应的关系f f：NPNP如下：如下：N N .P P 11.11.所以，所以，P P是可数集合。是可数集合。2

6、022/9/232022/9/23第8页，共17页，编辑于2022年，星期六3 3）-3/1-3/118 18 -2/1-2/15 5 -1/1-1/14 4 0/10/100 1/11/11 1 2/1 2/11010 -3/1 -3/11111 -3/2-3/217 17 -2/2 -1/2-2/2 -1/23 3 0/2 1/20/2 1/222 2/2 2/2 3/23/21212-3/3 -2/3-3/3 -2/36 6 -1/3-1/37 7 0/3 1/30/3 1/388 2/3 2/399 3/3 3/3 -3/4-3/41616 -2/4-2/4 -1/4-1/415 15

7、 0/40/4 1/41/414 14 2/4 3/42/4 3/41313所以，有理数集合必是可数集合。所以，有理数集合必是可数集合。2022/9/232022/9/23第9页，共17页，编辑于2022年，星期六定理定理1.3.11.3.1两两个个有有限限集集合合等等势势当当且且仅仅当当它它们们有有相相同同的的元素个数；元素个数；有限集合不和其任何真子集等势；有限集合不和其任何真子集等势；可数集合可以和其可数的真子集等势。可数集合可以和其可数的真子集等势。2022/9/232022/9/23第10页，共17页，编辑于2022年，星期六不可数集合不可数集合定义定义1.3.31.3.3开开区区间

8、间(0,1)(0,1)称称为为不不可可数数集集合合，其其基基数数设设为为(读作阿列夫读作阿列夫)；间间区区开开与与是是凡凡(0,1)(0,1)数数可可不不是是都都合合集集的的势势等等集合。集合。2022/9/232022/9/23第11页，共17页，编辑于2022年，星期六例例1.3.21.3.2 (1)(1)闭区间闭区间0,1 0,1 是不可数集合；是不可数集合；(2)(2)实数集合实数集合R R是不可数集合。是不可数集合。解解（1 1）在在闭闭区区间间0,0,11和和开开区区间间(0,(0,1)1)之之间间建立如下对应关系：建立如下对应关系：2022/9/232022/9/23第12页，共

9、17页，编辑于2022年，星期六例例1.3.2(1.3.2(续续)则则上上述述对对应应是是一一一一对对应应的的关关系系。所所以以00，11与与（0 0，1 1）一定是等势的，即）一定是等势的，即00，11是不可数集合是不可数集合。（2 2）在在实实数数集集和和开开区区间间(0,1)(0,1)之之间间建建立立如如下下对对应应关系：关系：显显然然此此对对应应关关系系是是一一一一对对应应关关系系，即即（0 0，1 1）与与R R之间是等势的，所以之间是等势的，所以R R是一个不可数集合是一个不可数集合。2022/9/232022/9/23第13页，共17页，编辑于2022年，星期六1.4 1.4 集

10、合的应用集合的应用例例1.4.11.4.1 用用H H代代表表硬硬币币正正面面，T T代代表表硬硬币币反反面面。试试写写出出当当扔扔出出三三个个硬硬币币时时可可能能出出现现的的结结果果所所组组成成的的集集合。合。解解:8 8种种可可能能：HHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，HTTHTT，THHTHH，THTTHT，TTHTTH，TTTTTT。但但这这三三个个硬硬币币没没有有顺顺序序之之分分，即即HHTHHT和和HTHHTH是同一个元素，所以是同一个元素，所以 A=HHHA=HHH，HHTHHT，HTTHTT，TTTTTT。2022/9/232022/9/23第14页，共17页，编辑于20

11、22年，星期六例例1.4.21.4.2一一个个正正三三角角形形被被均均分分为为三三个个小小三三角角形形，如如图图1.4.11.4.1所所示示。现现用用黑黑、白白二二色色对对其其小小三三角角形形着着色色，假假设设经经旋旋转转能能使使之之重重合合的的图图像像算算一一种种。试试写写出出由由不不同同图图像像构成的集合。构成的集合。图图1.4.11.4.1图图1.4.21.4.22022/9/232022/9/23第15页，共17页，编辑于2022年，星期六解解因因为为每每个个小小三三角角形形均均可可着着色色，三三个个小小三三角角形形共共有有222 222=8 8种种着着色色方方案案，所所以以可可得得8 8种种不不同同的的图图像像。又又因因为为经经旋旋转转能能使使之之重重合合的的图图像像算算一一种种，所所以以共共有有4 4种种不不同同的的着着色色方方案案。因因此此由由不不同同图图像像构构成成的的集集合合为为1,2,3,41,2,3,4。14322022/9/232022/9/23第16页，共17页，编辑于2022年，星期六第17页，共17页，编辑于2022年，星期六