学案推理与证明讲稿.ppt

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1、学案推理与证明第一页，讲稿共四十页哦推理与证明1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第二页，讲稿共四十页哦1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在不在.从近几年

2、的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一.2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证明近年来高不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的一项重要内容能力，是高考考查的一项重要内容

3、.3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证题思路判断、分析命题有独到之处题思路判断、分析命题有独到之处.4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有可能数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归纳归纳猜想猜想证明证明”这一基本思想方法这一基本思想方法.第三页，讲稿共四十页哦1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出全部对

4、象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，简言之，归纳推理是归纳推理是 、.由部分到整体由部分到整体 由个别到一般的推理由个别到一般的推理 第四页，讲稿共四十页哦 2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）比）.简言之，类比推理是简言之，类比推理是 .3.和和 都是根据已有的事实，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较

5、、联想，再进行归纳、类比，然后提经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.4.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理简言之，演绎推理 是是 .5.“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：由特殊到特殊的推理由特殊到特殊的推理 归纳推理归纳推理 类比推理类比推理 由一般到特殊的推理由一般到特殊的推理 第五页，讲稿共四十页哦 （1）已知的一般原理；已知的一般原

6、理；（2）所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；（3）根据一般原理，对特殊情根据一般原理，对特殊情况做出的判断况做出的判断.6.一般地一般地,利用已知条件和某些数学利用已知条件和某些数学 、等，经过一系列等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法做综合法.7.一般地一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 为止为止,这种证明方法叫做分析法这种证明方法叫做分析法.大前提大前提 小前提小

7、前提 结论结论 定义定义 公理公理 定理定理 判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）第六页，讲稿共四十页哦 8.反证法是间接证明的一种基本方法反证法是间接证明的一种基本方法.一般地，假设一般地，假设 不成立不成立(即在原命题的条即在原命题的条件下件下,结论不成立结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法法叫做反证法.原命题原命题 矛盾矛盾 第七页，讲稿共四十页哦 【分析】【分析】【分

8、析】【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项考点考点考点考点1 1 归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理 在数列在数列an中，中，a1=1,an+1=(nN+),猜想这个数列的通猜想这个数列的通项公式项公式.第八页，讲稿共四十页哦【解析】【解析】【解析】【解析】an中，中，a1=1,a2=a3=a4=,所以猜想所以猜想an的通项公式的通项公式an=.证明如下：因为证明如下：因为a1=1,an+1=,所以所以 即即 所以数列所以数列 是以是以 =1为首项为首项,公差为公差为 的

9、等差数的等差数列列.所以所以 .所以通项公式所以通项公式an=.第九页，讲稿共四十页哦【评评析析】【评评析析】通通过过归归纳纳推推理理得得出出的的结结论论可可能能正正确确，也也可可能能不不正正确确，它它的的正正确确性性需需通通过过严严格格的的证证明明，猜猜想想所所得得结结论论即即可可用用演演绎绎推推理理给给出出证证明明.虽虽然然由由归归纳纳推推理理所所得得出出的的结结论论未未必必是是正正确确的的，但但它它所所具具有有的的由由特特殊殊到到一一般般、由由具具体体到到抽抽象象的的认认识识过过程程，对对于于数数学学的的发发现现、科科学学的的发发明明是是十十分分有有用用的的.通通过过观观察察实实验验，对

10、对有有限限的的资资料料作作归归纳纳整整理理，提提出出带带有有规规律律性性的的猜猜想想，也也是是数数学学研研究究的的基基本本方方法法之之一一，归归纳纳推推理理的的一一般般步步骤骤是是：（1）通通过过观观察察个个别别情情况况发发现现某某些些相相同同性性质质；（2）从从已已知知的的相相同同性性质质中中推推出出一一个个明明确确表表达达的的一一般般性性命命题题（猜猜想想）.第十页，讲稿共四十页哦第十一页，讲稿共四十页哦第十二页，讲稿共四十页哦在在ABC中，中，ABAC于于A,ADBC于于D，求证，求证:，那么在四面体，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由

11、你能得到怎样的猜想，并说明理由.【分析】【分析】【分析】【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明.考点考点考点考点2 2 类比推理类比推理类比推理类比推理 第十三页，讲稿共四十页哦【证明】【证明】【证明】【证明】如图所示，由射影定理得如图所示，由射影定理得AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC.又又BC2=AB2+AC2,猜想：类比猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体猜想四面体ABCD中，中，AB,AC,AD两两垂直两两垂直,第十四页，

12、讲稿共四十页哦AE平面平面BCD.则则如图，连结如图，连结BE交交CD于于F，连结，连结AF.ABAC，ABAD,AB平面平面ACD，而，而AF面面ACD,ABAF.而而RtABF中，中，AEBF,在在RtACD中，中，AFCD,故猜想正确故猜想正确.第十五页，讲稿共四十页哦【评析】【评析】【评析】【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊

13、类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象

14、图形中的体积常常是类比的两类对象.类比推理的一般步骤是：（类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似）找出两类事物之间的相似性或一致性性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）质，得出一个明确的命题（猜想）.第十六页，讲稿共四十页哦第十七页，讲稿共四十页哦第十八页，讲稿共四十页哦第十九页，讲稿共四十页哦在锐角三角形在锐角三角形ABC中，中，ADBC，BEAC，D,E是垂足是垂足.求证：求证：AB的中点的中点M到到D,E的距离相等的距离相等.考点考点考点考点3 3 演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理 【分析】【

15、分析】【分析】【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中解答本题需要利用直角三角形斜边上的中 线线性质作为大前提性质作为大前提.第二十页，讲稿共四十页哦【证明】【证明】【证明】【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形三角形 大大前提前提在在ABD中，中，ADBC，即，即ADB=90 小前提小前提所以所以ABD是直角三角形是直角三角形 结论结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提大前提 而而M是是RtABD斜边斜边AB的中点，的中点，DM是斜边上的中线是斜边上的中线 小前提小前提所以

16、所以DM=AB.同理同理EM=AB.所以所以DM=EM.第二十一页，讲稿共四十页哦【评析】【评析】【评析】【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合讲就是：若集合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P，S是是M的子集，的子集，那么那么S中所有元素都具有性质中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二

17、个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从从而产生了第三个判断结论而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理演绎推理是一种必然性推理,演演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论但错误的前提可能导致错误的结论.第二十二页，讲稿共四十页哦证明证明证明证明:根据

18、题意根据题意,0 ,0 ,0+,又又tan=,tan=,tan(+)=0+0,故只要证故只要证考点考点考点考点4 4 分析分析分析分析综合法证明综合法证明综合法证明综合法证明 已知已知a0,求证求证:【分析】【分析】【分析】【分析】所给条件简单所给条件简单,所证结论复杂所证结论复杂,一般采用分析法一般采用分析法.第二十四页，讲稿共四十页哦从而只要证从而只要证只要证只要证 即即 ,而上述不等式显然成立而上述不等式显然成立,故原不等式成立故原不等式成立.即即第二十五页，讲稿共四十页哦【评析】【评析】【评析】【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明

19、就证明程序来讲程序来讲,它是一种从未知到已知它是一种从未知到已知(从结论到题设从结论到题设)的逻辑推理的逻辑推理方法方法.具体地说具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步由此逐步推出保证此结论成立的充分条件推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证而当这些判断恰恰都是已证的命题的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证已知条件时命题得证.第二十六页，讲稿共四十页哦已知已知a,b,c0.求证：求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).第二十七页，讲稿共四

20、十页哦【证明】【证明】【证明】【证明】a2+b22ab,a0,b0,(a2+b2)(a+b)2ab(a+b).a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2.a3+b3a2b+ab2.同理同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2.将三式相加得将三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).第二十八页，讲稿共四十页哦 【分析】【分析】【分析】

21、【分析】本题结论以本题结论以“至少至少”形式出现，从正面思考形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.考点考点考点考点5 5 反证法反证法反证法反证法若若x,y都是正实数，且都是正实数，且x+y2,求证：求证：或或 中至少有一个成立中至少有一个成立.第二十九页，讲稿共四十页哦 【证明】【证明】【证明】【证明】假设假设 ,都不成立都不成立,则有则有 和和 同时成立同时成立.因为因为x0且且y0，所以，所以1+x2y,且且1+y2x.两式相加，得两式相加，得2+x+y2x+2y.所以所以x+y2.这与已知条件这与已知条件x+y2矛盾矛

22、盾.因此因此 ,中至少有一中至少有一个成立个成立.第三十页，讲稿共四十页哦【评析】【评析】【评析】【评析】（1）当一个命题的结论是以）当一个命题的结论是以“至多至多”“至少至少”“唯一唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知与已知条件矛盾，条件矛盾，与假设矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器题的有力工具，

23、是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的否则，将出现循环论证的错误错误.第三十一页，讲稿共四十页哦第三十二页，讲稿共四十页哦第三十三页，讲稿共四十页哦第三十四页，讲稿共四十页哦第三十五页，讲稿共四十页哦1.(1)1.(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中数学研究中,在得到一个新结论前在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论合情推理能帮助猜测和发现结论,在在证明一个数学结论之前证明一

24、个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路合情推理常常能为证明提供思路与方向与方向.(2)(2)合情推理的过程概括为合情推理的过程概括为:从具体问题出发从具体问题出发 观察、分析、比较、联想观察、分析、比较、联想 归纳、类比归纳、类比 提出猜想提出猜想(3)(3)演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.(4)(4)合情推理仅是合情推理仅是“合乎情理

25、合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证为我们提供证明的思路和方法明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形前提和推理形式都正确的前提下式都正确的前提下).).第三十六页，讲稿共四十页哦(5)(5)在数学中在数学中,证明命题的正确性都是使用演绎推理证明命题的正确性都是使用演绎推理,而合情推理而合情推理不能用作证明不能用作证明.2.(1)2.(1)分析法的特点是分析法的特点是:从未知看需知从未知看需知,逐步靠拢已知逐步靠拢已知.(2

26、)(2)综合法的特点是综合法的特点是:从已知看可知从已知看可知,逐步推出未知逐步推出未知.(3)(3)分析法和综合法各有优缺点分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然分析法思考起来比较自然,容易寻容易寻找到解题的思路和方法找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行缺点是思路逆行,叙述较繁叙述较繁;综合法从条综合法从条件推出结论件推出结论,较简捷地解决问题较简捷地解决问题,但不便于思考但不便于思考.实际证题时常常两法实际证题时常常两法兼用兼用,先用分析法探索证明途径先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来然后再用综合法叙述出来.(4)(4)应用反证法证明数学命题应用反证法证明数学命题,一

27、般分下面几个步骤一般分下面几个步骤:第一步第一步:分清命题分清命题“pqpq”的条件和结论；的条件和结论；第二步：作出与命题结论第二步：作出与命题结论q q相矛盾的假定相矛盾的假定q;q;第三步：由第三步：由p p和和q q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q q不真，不真，于是原结论于是原结论q q成立，从而间接地证明了命题成立，从而间接地证明了命题pqpq为真为真.第三十七页，讲稿共四十页哦第三步所说的矛盾结果第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的

28、结果与已知公理矛通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.第三十八页，讲稿共四十页哦 1.1.归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明一步证明一步证明一步证明.2.2.分析法要注意叙述的形式：要证分析法要注意叙述的形式：要证分析法要注意叙述的形式：要证分析法要注意叙

29、述的形式：要证A A，只要证，只要证，只要证，只要证B B，B B应是应是应是应是A A成立的成立的成立的成立的充分条件充分条件充分条件充分条件.3.3.综合法证明不等式是综合法证明不等式是综合法证明不等式是综合法证明不等式是“由因导果由因导果由因导果由因导果”，分析法证明不等式是，分析法证明不等式是，分析法证明不等式是，分析法证明不等式是“执执执执果索因果索因果索因果索因”.”.它们是两种思路截然相反的证明方法它们是两种思路截然相反的证明方法它们是两种思路截然相反的证明方法它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题分析法便于寻找解题分析法便于寻找解题分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用.第三十九页，讲稿共四十页哦第四十页，讲稿共四十页哦