导数的概念讲稿.ppt

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1、导数的概念第一页，讲稿共三十页哦 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。微积分的产生。微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说，微积分靠解析几何的帮助，微积分的。可以说，微积分靠解析几

2、何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。法、农业密切相关。第二页，讲稿共三十页哦 来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等

3、问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。最小值。学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。问题：超市货品架上的罐装饮料问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积（圆柱形），当圆柱形罐的容积V一定时，如何选取圆柱的底半一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？径，能使所用材料最省？第三页，讲稿共三十页哦一一.瞬时速度瞬时速度 已已知知物物体体作作变变速速直直线线运运动动,其其运运动动方方程程为为ss(t)(表表示位移示位移,t表示时间表示时间),求物体在求物体在t0时刻的速度时刻的

4、速度 如图设该物体在时刻如图设该物体在时刻t0的位置是的位置是(t0)OA0,在时刻在时刻t0+t 的位置是的位置是s(t0+t)=OA1,则从则从t0 到到 t0+t 这段时间内这段时间内,物体的位移是物体的位移是:在时间段在时间段(t0+D Dt)t0=D Dt 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为:问题问题1：一个小球自由下落，它在下落：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是秒时的速度是多少？多少？第四页，讲稿共三十页哦 平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确但要精确地描述非匀速直线运动地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动

5、的快就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映也既需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t的的瞬时速度瞬时速度v，就是物体在，就是物体在t到到 t+t这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度:例例1:物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其中位其中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平

6、均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.第五页，讲稿共三十页哦解解:(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得:(2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得:即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于20(m/s).当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平均速度就越接近平均速度就越接近t0=2(s)时的时的瞬时速度瞬时速度v=20(m/s).第六页，讲稿共三十页哦练习练习:某质点沿直线运动某质点沿直线运动,运动规律是运动规律是s=5t2+6,求求:(1)2t2+t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度,这里这里t取值取值 范围为

7、范围为1;(2)t=2时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.第七页，讲稿共三十页哦一、物理意义一、物理意义瞬时速度瞬时速度当当 越来越小的时候，越来越小的时候，越来越接近某时刻越来越接近某时刻的瞬时速度的瞬时速度在物理学中，我们学过平均速度在物理学中，我们学过平均速度第八页，讲稿共三十页哦引入v问题问题:曲线曲线y=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方处的切线方程是什么程是什么?P(1,2)y=x2+1xy-111O法一法一:判别式法判别式法第九页，讲稿共三十页哦引入v问题问题:曲线曲线y=x2+1在点在点P(1,2)处的切线处的切线方程是什么方程是什么?v法二法二:函数极限法函数极限法QPy=x2

8、+1xy-111OjMDyDx第十页，讲稿共三十页哦3.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.第十一页，讲稿共三十页哦PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当请看当点点Q沿沿着曲线着曲线逐渐向逐渐向点点P接接近时近时,割割线线PQ绕绕着点着点P逐逐渐转动渐转动的情况的情况.第十二页，讲稿共三十页哦 我们发现我们发

9、现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把则我们把直线直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是

10、否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在则在此点有切线此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.第十三页，讲稿共三十页哦例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基

11、本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.第十四页，讲稿共三十页哦例例2:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.故过点故过点P的切线方程为的切线方程为:y-2=1(x-1),即即y=x+1.练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程.答案答案:y=3x-4.第十五页，讲稿共三十页哦二、小结二、小结1、瞬时速度是平均速度、瞬时速度是平均速度 当当 趋近于趋近于0时的极限；时的

12、极限；2、切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率、切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当当 趋近于趋近于0时的极限；时的极限；3、边际成本是平均成本、边际成本是平均成本 当当 趋近于趋近于0时的极限时的极限.第十六页，讲稿共三十页哦 导数的概念导数的概念 从上面三个实例从上面三个实例,一个是曲线的切线的斜率一个是曲线的切线的斜率,一个是一个是瞬时速度瞬时速度,具体意义不同具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的学表达式结构是一样的,即计算极限即计算极限 ,这就是我这就是我们要学习的导数的定义们要学习的导数的定义.定义定义：设函数：设函数y

13、=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限存的极限存在在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化或变化率率)记作记作 即即:第十七页，讲稿共三十页哦如瞬时速度就是位移函数如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间对时间t的导数的导数.是函数是函数f(x)在以在以x0与与x0+x 为端点的区间为端点的区间x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均变化平均变化率率,而导数则是函数而导数

14、则是函数f(x)在点在点x0 处的处的变化率变化率,它反映了函它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度数随自变量变化而变化的快慢程度 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=x0存在导数存在导数,就说函数就说函数y=f(x)在点在点x0处处可导可导,如果极限不存在如果极限不存在,就说函数就说函数 f(x)在点在点x0处处不可导不可导.第十八页，讲稿共三十页哦 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基处的导数的基本方法是本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的

15、形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.第十九页，讲稿共三十页哦练习练习:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:分析分析:利用函数利用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.第二十页，讲稿

16、共三十页哦练习练习:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:第二十一页，讲稿共三十页哦例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.第二十二页，讲稿共三十页哦第二十三页，讲稿共三十页哦 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就说就说函数函数yf(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.这时这时,对每一个对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间这样在区间(a，b)内内就构成一个新的函数就构成一个新的

17、函数.这个新的函数叫做函数这个新的函数叫做函数f(x)在区间在区间(a,b)内的内的导函数导函数,记作记作 ,即即:在不致发生混淆时，导函数也简称在不致发生混淆时，导函数也简称导数导数 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导处可导,那么函数在点那么函数在点x0处连续处连续第二十四页，讲稿共三十页哦求函数求函数y=f(x)的导数可分如下三步的导数可分如下三步:第二十五页，讲稿共三十页哦4.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即

18、曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:例例1:设设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 ,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所求的斜率为-2.第二十六页，讲稿共三十页哦例例3:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方

19、程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.第二十七页，讲稿共三十页哦6.小结小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；（量；（2）求平均变化率；（）求

20、平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数”之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。第二十八页，讲稿共三十页哦（3）如果函数）如果函数yf(x)在开区间在开区间(a,b

21、)内每一点都可导内每一点都可导,就说函数就说函数yf(x)在开区间在开区间(a,b)内可导，这时，内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一，都对应着一 个确定的导数个确定的导数 ，这样就在开区间，这样就在开区间(a,b)内内 可构成一个新的函数，称作可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。的导函数。（4）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。第二十九页，讲稿共三十页哦（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：第三十页，讲稿共三十页哦