第4章 刚体力学精选文档.ppt

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1、第4章刚体力学本讲稿第一页，共八十二页经典力学（上）经典力学（上）第四章第四章 刚体力学刚体力学本讲稿第二页，共八十二页4.1刚体的运动n刚刚体体 各质点（质元）之间距离均保持不变的质点系，或整体及各部分的形状、大小均保持不变的物体一、刚体一、刚体n自自由由度度 描述一个力学体系在空间的几何位置所需要的独立变量数二、刚体的自由度二、刚体的自由度本讲稿第三页，共八十二页n约束约束对力学系统的运动所施加的限制nN个自由质点的质点系，自由度为 3Nn自由质点，自由度为3，独立变量为：直角坐标系：x，y，z 柱面坐标系：r，z球面坐标系：r，n如限制在平面作运动的自由质点，（一个约束条件）自由度为：S

2、312本讲稿第四页，共八十二页n受到约束的质点系，其自由度会降低。nN个质点的质点系，并有k个约束，描写该质点系运动的自由度为：S=3Nkn距离保持不变的二质点系，在直角坐标系下，两质点的位矢为约束条件为该二质点系的自由度为：S3215本讲稿第五页，共八十二页三、刚体运动的几种形式三、刚体运动的几种形式1.1.平动平动在刚体上选任意两点连一条直线，在运动过程中，该条直线的方位保持不变（与最初始的方位保持平行）n运动特点运动特点刚体上各点的运动状态完全一样n自由度自由度S S3 3可将作平动的刚体视为质点来研究，常将质心作为代表点本讲稿第六页，共八十二页n彼此距离保持不变，且不共线三个质点构成的

3、质点系。其自由度为：S3336n刚体的自由度刚体的自由度n自由刚体的自由度 S=6本讲稿第七页，共八十二页2.2.定轴转动定轴转动 在刚体运动时，若存在着两点，过这两点连一条直线，则该直线上任意点保持不动，该条直线称为（固）定转轴，刚体绕固定轴转动，这种运动为称定轴转动定轴转动n运动特点运动特点刚体上各点作圆周运动n自由度自由度S S1 1如方位角可确定质点的位置本讲稿第八页，共八十二页3.3.平面平行运动平面平行运动 在刚体运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动为称平面平行运动平面平行运动n运动特点运动特点刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动状态完全一样

4、n在研究作平面平行运动的刚体时，只需考察刚体上与固定平面相平行的任一剖面即可n自由度自由度S S3 3本讲稿第九页，共八十二页4.4.定点转动定点转动 在刚体运动过程中，在空间总存在固定点，其位置保持不变，刚体绕着该点转动，这种运动为称定点转动。定点转动。n运动特点运动特点作定点转动的刚体，在任一瞬时总可视为是绕过固定点的瞬时轴转动。（瞬时轴的方位在变化）n自由度自由度 S S3 3本讲稿第十页，共八十二页5 5.一般运动一般运动 （自由刚体）（自由刚体）刚体不受任何约束的运动。可视为刚体随某基点（通常是质心）的平动与刚体绕基点作定点转动的组合。n自由度自由度 S S3 33 36 6本讲稿第

5、十一页，共八十二页4.2 4.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、一、角速度角速度 2.2.平均角速度平均角速度1.1.角位移角位移在在tt时间内，刚体绕转轴转过的角度时间内，刚体绕转轴转过的角度n不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则n 不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则本讲稿第十二页，共八十二页3.3.角速度角速度角速度定义为（弧度/秒）n大小n方向转动平面的正法向（逆时针转动）4.4.角加速度角加速度 （弧度/秒2）本讲稿第十三页，共八十二页5 5.角量与线量的比较角量与线量的比较 n角量角量n n n n n线量线量n n n n n线量与角量的关系线量与角量的关系n n n 本讲

6、稿第十四页，共八十二页n线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系n速度速度n加速度加速度本讲稿第十五页，共八十二页O O本讲稿第十六页，共八十二页二、转动定理二、转动定理 1.1.作定轴转动刚体的角动量作定轴转动刚体的角动量 O i iOz z本讲稿第十七页，共八十二页n在转轴上任选一点O为参考点，刚体上任一小质元m，其位矢 ，线速度 ，相对于O的角动量为即有本讲稿第十八页，共八十二页n总角动量总角动量 n在直角坐标系中的描述在直角坐标系中的描述 本讲稿第十九页，共八十二页n几点说明几点说明通常，角动量 J J 与角速度 的方向并不一致，二者间有一个夹角；当 为常量，J J 的方向也可能随时间

7、改变（J Jz 分量不变，J Jh 分量的方向变化）本讲稿第二十页，共八十二页当转轴为刚体的对称轴时，J与方向平行。在轴对称位置的任意两质元mi和mj，总有令I 称为刚体相对于转轴的转动惯量转动惯量则刚体相对于固定转轴的角动量具有的形式刚体相对于固定转轴的角动量具有的形式本讲稿第二十一页，共八十二页2.2.转动定理转动定理 据质点组的角动量定理（方向与轴向垂直）令（轴向）本讲稿第二十二页，共八十二页n说明说明 刚体作定轴转动，通常受到力矩的作用当转轴为刚体的对称轴时，称为转动定理称为转动定理当为常量时，刚体相对于转轴的角动量守恒本讲稿第二十三页，共八十二页三、转动惯量三、转动惯量 1.1.定义

8、：定义：刚体相对于固定转轴的转动惯量I为 n对于确定的转轴，I 仅与刚体的质量大小和分布有关；n转动惯量常用张量来描述或本讲稿第二十四页，共八十二页2.2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量n圆环n圆柱n圆筒n圆球n细棒n球壳本讲稿第二十五页，共八十二页3.3.回转半径回转半径n圆环转动惯量总可以写成n如圆筒n圆球n细棒n球壳k k 称为回转半径本讲稿第二十六页，共八十二页四、定轴转动刚体的动能及动能定理四、定轴转动刚体的动能及动能定理1.1.动能动能 本讲稿第二十七页，共八十二页2.2.力矩作功力矩作功 （内力作功（内力作功0 0）刚体作定轴转动时，刚体上任一点作圆周运动。

9、考虑任意质元mi，距转轴i。受外力Fi作用，mi的位移为：mi的角位移：Fi作的元功：而本讲稿第二十八页，共八十二页外力矩作元功：外力矩作总功：3.3.刚体作定轴转动的动能定理刚体作定轴转动的动能定理 本讲稿第二十九页，共八十二页4.3 4.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动一、基点法处理一、基点法处理平面平行运动平面平行运动 平面平行运动平面平行运动刚体随基点的平动刚体绕过基点的定轴转动刚体随基点的平动刚体绕过基点的定轴转动说明说明基点可以任意选择角速度与基点的选择无关通常将质心作为基点本讲稿第三十页，共八十二页O OP PA A本讲稿第三十一页，共八十二页ABCDABCDABDB”D

10、”1 12 2C”1 1 2 2n几何证明几何证明本讲稿第三十二页，共八十二页n 与基点的选择无关，通常将质心选作基点与基点的选择无关，通常将质心选作基点证明：证明：O为固定参考点，P为刚体上任一点，考察P点的速度P PA AB BO O以A为基点以B为基点以A为基点，考察B点的速度本讲稿第三十三页，共八十二页将（3）式代入（2）式得即或而即所以本讲稿第三十四页，共八十二页二、刚体作平面平行运动的动力学方程二、刚体作平面平行运动的动力学方程n质心（基点）的平动质心（基点）的平动n刚体绕过质心的固定轴转动刚体绕过质心的固定轴转动本讲稿第三十五页，共八十二页三、刚体作平面平行运动的能量三、刚体作平

11、面平行运动的能量n动能动能n重力势能重力势能本讲稿第三十六页，共八十二页n在任何瞬时，作平面平行运动的刚体上（或其延伸体）总有一点P，其速度vP0，该P点称为瞬时转动中心瞬时转动中心，简称瞬心。瞬心。在此瞬间，刚体绕P点转动n意义意义刚体剖面点上所有点在瞬时都绕瞬心作转动。经无限多次绕一系列的瞬心的转动实现了平面平行运动刚体在作平面平行运动中过程中，通常瞬心在空间运动，若瞬心不随刚体的运动而变化，则该瞬心为定轴四、瞬时转动中心四、瞬时转动中心本讲稿第三十七页，共八十二页n如何确定瞬心如何确定瞬心n几何法n计算法若已知刚体上一点A的位矢、速度和角速度，则瞬心的位矢为本讲稿第三十八页，共八十二页例

12、例 一半径为一半径为r r的小球在半径为的小球在半径为R R的半球形碗的内壁作的半球形碗的内壁作无滑滚动，以无滑滚动，以 代表极角，试导出代表极角，试导出 与角速度与角速度的的关系式。关系式。ROCP本讲稿第三十九页，共八十二页【解解】c为小球的质心，小球任一点的运动可分解为球整体随c的平动和该点相对于c的转动。因为小球作无滑滚动，所以球与碗的接触点P即是瞬心。应满足其数值关系为应为c点绕碗心o作圆周运动，故有代入上式得本讲稿第四十页，共八十二页五五.惯量张量惯量张量本讲稿第四十一页，共八十二页x xy yz z o o 在oxyz坐标系下五五.惯量张量惯量张量本讲稿第四十二页，共八十二页由得

13、代入1.1.动量矩动量矩本讲稿第四十三页，共八十二页可得可得本讲稿第四十四页，共八十二页即即本讲稿第四十五页，共八十二页令令显然有显然有本讲稿第四十六页，共八十二页则其中其中I Ixxxx、I Iyyyy、I I zzzz分别是刚体相对分别是刚体相对x x、y y、z z轴的转动惯量；轴的转动惯量；I Ixyxy、I Iyxyx、I I xzxz、I Izxzx、I Iyzyz、I I zy zy是交叉项，称作惯量是交叉项，称作惯量积。积。本讲稿第四十七页，共八十二页若是连续的质点组，应该是积分若是连续的质点组，应该是积分本讲稿第四十八页，共八十二页n 角动量的矩阵形式角动量的矩阵形式以上，以

14、上，I Ixxxx、I Ixyxy、I Izzzz等等9 9个量组成了一个个量组成了一个张量，称为张量，称为惯性张量惯性张量。本讲稿第四十九页，共八十二页当当z z轴与转轴重合时，轴与转轴重合时，x x y y0 0。角动量矩阵简化为角动量矩阵简化为即即本讲稿第五十页，共八十二页2.2.刚体的转动动能和转动惯量刚体的转动动能和转动惯量即本讲稿第五十一页，共八十二页代入可得本讲稿第五十二页，共八十二页而对比上两式，可得转动惯量 I I 的表达式本讲稿第五十三页，共八十二页又因为代入上式可得本讲稿第五十四页，共八十二页若将cos，cos，cos分别记为，和本讲稿第五十五页，共八十二页I I 的矩阵

15、形式为的矩阵形式为本讲稿第五十六页，共八十二页对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为坐标轴，则可消除掉交叉项坐标轴，则可消除掉交叉项I Ii ij j。例如例如z z轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点（x xi i，y yi i，z zi i），总存在一个对称点（），总存在一个对称点（x xj j，y yj j，z zj j），并有），并有 x xi ix xj j，y yi iy yj j，z zi iz zj j 使得使得本讲稿第五十七页，共八十二页n惯量积为惯量积为0 0时，时，J J、I I

16、、E Ek k的划简形式的划简形式 角动量角动量 转动惯量转动惯量 动能动能本讲稿第五十八页，共八十二页n矩阵形式矩阵形式角动量角动量本讲稿第五十九页，共八十二页转动惯量 动能本讲稿第六十页，共八十二页例例 一个质量为一个质量为m m，半径是，半径是R R的圆盘绕过其盘中心的圆盘绕过其盘中心的竖直轴以匀角速的竖直轴以匀角速 旋转，盘面的法线与竖直轴旋转，盘面的法线与竖直轴的夹角为的夹角为。求（。求（1 1）圆盘相对竖直轴的转动惯量；）圆盘相对竖直轴的转动惯量；（2 2）设支撑轴承）设支撑轴承A A、B B距盘心距盘心O O的距离为的距离为L L，求，求A A、B B处附加压力。处附加压力。本讲

17、稿第六十一页，共八十二页L LL Ly yx xz z A AB B R RO O z z x xz zx x J JJ Jz zJ Jx xJ J1 1x xz zJ J2 2本讲稿第六十二页，共八十二页以以O O点为原点，点为原点，z z轴沿盘面的法线方向，建立轴沿盘面的法线方向，建立O Oxyzxyz坐标系，坐标系，z z轴、轴、x x轴和转轴在一个平面内轴和转轴在一个平面内则而则有本讲稿第六十三页，共八十二页本题可以这样考虑，将本题可以这样考虑，将J Jx x和和J Jz z分别向转轴方向分别向转轴方向投影投影并求和，并求和，得到得到J J的转轴分量为的转轴分量为J J1 1而得到本讲

18、稿第六十四页，共八十二页求附加压力求附加压力角动量角动量J J的大小不变，方向改变，它随刚体绕转轴的大小不变，方向改变，它随刚体绕转轴旋转，所以旋转，所以J J是一个变量。是一个变量。J JJ Jz zJ Jx xJ J1 1x xz zJ J2 2J J2 2(t)(t)J J2 2(t+(t+t)t)J J2 2J J2 2本讲稿第六十五页，共八十二页J J的变化是由于的变化是由于J J的与轴垂直的分量的与轴垂直的分量J J2 2变化所致。变化所致。J J2 2绕转轴绕转轴以以 的角速度旋转。的角速度旋转。J J2 2 的大小不变，但方向变化。的大小不变，但方向变化。本讲稿第六十六页，共八

19、十二页本讲稿第六十七页，共八十二页n陀螺、又称为回转仪陀螺、又称为回转仪具有大的转动惯量对称轴，并绕该对称轴高速旋转的刚体称为回转仪回转仪，或称陀螺陀螺4.4 4.4 回转运动（陀螺的运动）回转运动（陀螺的运动）本讲稿第六十八页，共八十二页 mgmgO O玩具陀螺 本讲稿第六十九页，共八十二页常平架陀螺仪本讲稿第七十页，共八十二页杠杆回转仪本讲稿第七十一页，共八十二页n无外力矩作用时，自转轴方向不变n若陀螺、轴及重物系统的重心C偏离Z轴一距离l，导致有重力矩，杠杆仍保持水平，并按逆时针方向绕竖直轴（Z轴）缓慢地转动。一、杠杆陀螺的进动一、杠杆陀螺的进动n回转仪在绕自转轴高速旋转的同时，自转轴还

20、将绕某竖直轴回转的现象称为进动进动n杠杆回转仪运动特性杠杆回转仪运动特性本讲稿第七十二页，共八十二页A AP PZ Zmgmg l lO OZ ZX XO O本讲稿第七十三页，共八十二页n进动角速度进动角速度 而可得矢量形式本讲稿第七十四页，共八十二页二、玩具陀螺的进动二、玩具陀螺的进动 mgmgO O l lc cO O本讲稿第七十五页，共八十二页n进动角速度进动角速度 矢量形式矢量形式本讲稿第七十六页，共八十二页n陀螺的运动特点陀螺的运动特点n当对着旋转着的有一点固定的陀螺施加外力时，它不顺着外力方向倾斜，而向着与外力垂直的方向即力矩方向倾斜；n在外力矩作用下，陀螺并不产生与力矩成正比的角

21、加速度，而是产生与力矩成正比的进动角速度。本讲稿第七十七页，共八十二页n考虑陀螺进动所产生的附加角动量考虑陀螺进动所产生的附加角动量n陀螺进动所产生的附加角动量 它使总角动量的方向略有上翘n若陀螺在初始时刻的角动量沿水平方向，然后由静止释放，在稳定进动时，陀螺的头略向下倾斜，使总的角动量仍沿水平方向。本讲稿第七十八页，共八十二页本讲稿第七十九页，共八十二页n回转效应的应用回转效应的应用n自动导航n枪管炮筒中的来复线本讲稿第八十页，共八十二页例例 在在长长为为l l的的轴轴的的一一端端，装装上上回回转转仪仪的的轮轮子子，轴轴的的另另一一端端吊吊在在长长为为L L的的绳绳子子上上。当当轮轮子子绕绕轴轴快快速速转转动动时时，轮轮将将在在水水平平面面上上绕绕过过支支点点O O的的铅铅直直轴轴作作匀匀速速进进动动。轮轮子子的的质质量量为为MM，对对过过质质心心的的自自转转轴轴的的转转动动惯惯量量为为I I0 0，自自转转角角速速度度为为 s s，求求绳绳和和铅铅直线所成的小夹角直线所成的小夹角。l lT T O OL LMgMg本讲稿第八十一页，共八十二页因而质心作半径近似为l的圆周运动，体系必受到一指向铅垂轴的力，该力只能由绳子的张力分量提供。【解】轮子在自身重力作用下，作匀速进动，进动角速度为得到本讲稿第八十二页，共八十二页